2017-2018学年北京四中高二年级下学期期中考试数学试题（理科）-解析版

2017-2018学年北京四中高二年级下学期期中考试数学试题（理科）-解析版

绝密★启用前 北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】分析：把已知等式变形，利用复数的四则运算化简，求出复数的坐标，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，得，‎ 所以复数在复平面内对应的点的坐标为位于第一象限，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算，以及复数的坐标表示，其中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎2．定积分的值为(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： = .故选C.‎ 考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.‎ 视频 ‎3．曲线y=x3-2x+l在点（1，0）处的切线方程为 A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由函数，可得，所以，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可求解切线的方程. ‎ 详解：由函数，可得，‎ 所以，即在点处的切线的斜率为，‎ 所以在点处的切线方程为，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义，求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎4．函数y=xcosx的导数为 A. y'=cosx-xsinx B. y'=cosx+xsinx C. y'=xcosx-sinx D. y'=xcosx+sinx ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用导数的四则运算和基本初等函数的导数，即可求解. ‎ 详解：由题意，根据导数的四则运算可知：‎ 函数的导数为，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了导数的四则运算和基本初等函数的导数，其中熟记导数运算的基本公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎5．设f（x）=x2-2x-4lnx，则函数f（x）的增区间为 A. （0，+） B. （-，-1），（2，+）‎ C. （2，+） D. （-1，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求得函数的导数，利用和函数的定义域，即可求解函数的递增区间. ‎ 详解：由函数，且 ‎ 可得，‎ 令，解得，所以函数的单调递增区间为，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎6．若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：先通过复数的基本概念，求出“为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论. ‎ 详解：“为纯虚数”的充要条件为，即，‎ 因为成立推不出城，反之若成立，则成立，‎ 所以“为纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. ‎ ‎7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），其导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内极小值点的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用函数的极小值两侧导函数值需左负右正，结合图象看满足导函数值左负右正的自变量有几个，即可得到结论. ‎ 详解：因为函数的极小值两次的导函数满足左负与正，‎ 由图象可的，满足导函数的函数值左负右正的只有一个，‎ 所以原函数的极小值点只有一个，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导函数研究原函数的极值，其中熟记导函数的函数值与函数的极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力. ‎ ‎8．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为 A. B. 9 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，嘴周依据微积分基本定理求解即可得到答案. ‎ 详解：由题意，联立直线与曲线得到，解得或，‎ 则围成图象的面积为 ，‎ 故选D. ‎ 点睛：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. ‎ ‎9．若函数y=f（x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质. 下列函数中具有T性质的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数的导数上存在两点，使得这两点的导数之积为，‎ 当时，，满足条件；‎ 当时，恒成立，所以不满足条件；‎ 当时，恒成立，所以不满足条件；‎ 当时，恒成立，所以不满足条件，‎ 故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，其中解答中正确理解题意，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎10．函数f（x）=x3-3x，若对于区间[-3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，则实数t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求得最值，即可求解. ‎ 详解：由题意，对于曲线上的任意都有，等价于对于曲线上任意，都有，‎ 因为，则，且，‎ 所以函数上函数单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，所以，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，函数恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. ‎ ‎11．设函数f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf'（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是 A. （-，-1）（0，1） B. （-1，0）（1，+）‎ C. （-，-1）（-1，0） D. （0，1）（1，+）‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知时总有成立，可判定函数 为减函数，由已知是定义在R上的奇函数，可得为上的偶函数，根据在上的单调性和奇偶性，模拟的图象，而不等式等价于，数形结合即可求解. ‎ 详解：设，则的导数，‎ 因为当时，总有成立，即当时，，‎ 所以函数在上为单调递减函数，‎ 又因为，所以为定义域上的偶函数，‎ 又由，所以函数的图象类似如图所示：‎ 数形结合可得，不等式等价于，‎ 所以或，解得或，故选A. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的图象求解不等式问题，其中根据函数的单调性和函数的奇偶性得到函数图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. ‎ ‎12．设函数f（x）=（x－2）lnx－ax+l，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是 A. （0，） B. （，]‎ C. （，1） D. [，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求导数判断函数的单调性，结合图象可得，且 ‎，即可求解关于的不等式组，得到答案. ‎ 详解：设，‎ 由题意存在唯一的整数使得在直线的下方，‎ 因为，所以当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 直线恒过定点，且斜率为，‎ 由题意结合图象可知，存在唯一的整数，‎ 故，‎ 解得，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 ‎13．下列是关于复数的类比推理：‎ ‎①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；‎ ‎②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；‎ ‎③已知a，b∈R，若a－b>0，则a>b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2>0，则z1>z2；‎ ‎④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. ‎ 其中推理结论正确的是__________.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】分析：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量的加法的几何意义可以类比到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到的，还有两个复数是不能比较大小的，即可得到答案. ‎ 详解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，所以①是正确的；‎ 由实数绝对值的性质类比得到复数的性质，即这两个长度的求法不是通过类比得到的，所以②是错误的；‎ 对于③中，已知，若，则，因为两个复数是不能比较大小的，所以是错误的；‎ 由向量的几何意义可以类比得到复数的几何意义，所以④是正确的. ‎ 点睛：本题主要考查了类比推理的判定及应用，其中本题的解答中熟记实数的运算，以及向量的运算和复数的运算之间的区别和联系是解答的关键，着重考查了分类问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力. ‎ ‎14．已知函数f（x）=ax3+x2a∈R. 在x=－处取得极值. ‎ ‎（I）确定a的值；‎ ‎（II）若g（x）=f（x）·ex，讨论g（x）的单调性.‎ ‎【答案】（1）a=.（2）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.‎ ‎【解析】分析：（I）由题意，求得函数的导数，又由题意得，即可求解实数的值；‎ ‎（II）由（I）得，求得，求得的根，即可求解函数的单调区间. ‎ 详解：（I）对f（x）求导得f'（x）=3ax2+ax，‎ 因为f（x）在x=－处取得极值，所以f'（－）=0，‎ 即3a·+2·（－）=－=0，解得a=. ‎ ‎（II）由（I）得g（x）=（）ex，故g'（x）=（）ex+（）ex＝（）ex ‎=x（x+1）（x+4）ex. 令g'（x）=0，解得x=0，x=－1或x=－4. ‎ 当x<－4时，g' （x）<0，故g（x）为减函数；‎ 当－40，故g（x）为增函数；‎ 当－10时，g'（x）>0，故g（x）为增函数. ‎ 综上知，g（x）在（－，－4）和（－l，0）内为减函数，在（－4，－1）和（0，+∞）内为增函数.‎ 点睛：本题主要考查了利用函数的极值求参数，以及利用导数求解函数的单调区间，其中求解函数的导数，明确导数的取值与函数的单调性、极值之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎15．设f（x）=a（x-5）2+61nx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）. ‎ ‎（I）确定a的值；‎ ‎（II）求函数f（x）的单调区间与极值.‎ ‎【答案】（1）a=（2）在（0，2），（3，+）上为增函数；在（2，3）上为减函数.在x=2处取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3处取得极小值f（3）=2+6ln3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．‎ 试题解析：（1）因为，‎ 故．‎ 令，得，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 由点在切线上，可得，解得．‎ ‎（2）由（1）知，（），‎ ‎ ．‎ 令，解得，．‎ 当或时，，故的递增区间是，；‎ 当时，，故的递减区间是．‎ 由此可知在处取得极大值，‎ 在处取得极小值．‎ 考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．‎ ‎【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 ‎（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；‎ ‎（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；‎ ‎（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．‎ 视频 ‎16．已知函数f（x）=ex+.‎ ‎（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；‎ ‎（II）函数f（x）是否存在零点?若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y=－3x－l.（2）见解析 ‎【解析】分析：（I）求得函数的导数，得，即可利用直线的点斜式方程得到切线的方程；‎ ‎（II）由函数的解析式，分类和讨论，其中当时，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到函数零点的个数. ‎ 详解：（I）f（x）=ex+，f'（x）=ex－，f' （0）=1－. ‎ 当a=时，f'（0）=－3. 又f（0）=－1，则f（x）在x=0处的切线方程为y=－3x－l. ‎ ‎（II）函数f（x）的定义域为（－，a）（a，+）. ‎ 当x∈（a，+）时，ex>0，>0，所以f（x）=ex+>0，‎ 即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点. ‎ 当x∈（－∞，a）时，f（x）=ex+=，‎ 令g（x）=ex（x－a）+1，只要讨论g（x）的零点即可. ‎ g'（x）=ex（x－a+1），g'（a－1）=0. ‎ 当x∈（－∞，a－1）时，g'（x）<0，g（x）是减函数；‎ 当x∈（a－1，a）时，g'（x）>0，g（x）是增函数，‎ 所以g（x）在区间（－∞，a）上的最小值为g（a－1）=1－ea－1. ‎ 当a=1时，g（a－1）=0，所以x=a－1是f（x）的唯一的零点；‎ 当a0，所以f（x）没有零点；‎ 当a>l时，g（a－1）=1－ea－1<0. 所以f（x）有两个零点.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. ‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;‎ ‎（ii）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若,求证: .‎ ‎【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明 ‎,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时, ,定义域为 ‎（i）‎ 所以切点坐标为,切线斜率为 所以切线方程为 ‎（ii）令,‎ 所以在上单调递减,且 所以当时, 即 所以当时, 即 综上所述, 的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(Ⅱ)方法一:‎ ‎,即 设 设 所以在小于零恒成立 即在上单调递减 因为 所以,‎ 所以在上必存在一个使得 即 所以当时, , 单调递增 当时, , 单调递减 所以 因为 所以 令得 因为,所以,‎ 因为,所以恒成立 即恒成立 综上所述,当时, ‎ 方法二:‎ 定义域 为了证明,即 只需证明,即 令 则 令,得 令,得 所以在上单调递增,在上单调递减 所以 即,则 ‎ 令 因为,所以 所以恒成立 即 所以 综上所述, ‎ 即当时, .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ 评卷人 得分 三、填空题 ‎18．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________. ‎ ‎【答案】-2011‎ ‎【解析】分析：由题意，函数的图象在点处的切线的斜率就是函数 在该点处的导数值，以内可求得，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得的值，即可求解答案. ‎ 详解：根据函数的图象可知，函数的图象在点处的切线切于点，‎ 所以，‎ 又由切线的方程为，‎ 所以为函数的图象在点处的切线的斜率，所以，‎ 所以. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎19．已知函数f（x）=ex-x+a有零点，则a的取值范围是_________.‎ ‎【答案】（-,-1]‎ ‎【解析】分析：求出，得到函数在单调递减，在上单调递增，求得函数的极小值为，即可求解答案. ‎ 详解：由函数，则，‎ 当时，，当时，，‎ 则函数在单调递减，在上单调递增，‎ 所以当时，函数取得极小值，极小值为，‎ 令，解得，即实数的取值范围是. ‎ 点睛：本题主要考查了函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性和极值的应用，其中把函数的零点转化为函数的极值问题求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力. ‎ ‎20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________.‎ ‎【答案】（4,-11）‎ ‎【解析】分析：求出导函数，利用函数在处的极值为，得到和，解方程组即可得到的值. ‎ 详解：由函数，则，‎ 因为函数在处的极值为，‎ 所以和，即，解得或，‎ 当时，此时，此时函数单调递增，所以没有极值，不满足条件，‎ 所以经经验可知当满足条件，此时. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件，求解之后注意进行检验，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎21．函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=－1处取得极值，给出下列判断：‎ ‎①f（1）+f（－1）=0； ②f（－2）>0；‎ ‎③函数y=f'（x）在区间（－，0）上是增函数. 其中正确的判断是_________. （写出所有正确判断的序号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】分析：由题意得且，求出，判定符号即可，最后根据开口向下，对称轴为的二次函数，可得函数在区间上单调递增，即可得到答案. ‎ 详解：由函数的图象，且在和处取得极值，‎ 则且，则，‎ 所以，所以①不正确；‎ ‎，所以②正确，‎ 又由是开口向下，对称轴为，‎ 所以函数在区间上单调递增，所以③是正确的，‎ 综上正确命题的序号为②③. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性的应用，其中正确理解导函数的图象与原函数的关系是解答的关键，着重考查了图象的识别能，以及分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎22．对于函数f（x）=（2x-x2）ex ‎①（-，）是f（x）的单调递减区间；‎ ‎②f（-）是f（x）的极小值，f（）是f（x）的极大值；‎ ‎③f（x）没有最大值，也没有最小值；‎ ‎④f（x）有最大值，没有最小值. ‎ 其中判断正确的是_________.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】分析：对函数进行求导，然后令求出，再根据的正负判断得到函数的单调性，进而确定①不正确；②正确，根据函数的单调性可判断极大值，既是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案. ‎ 详解：由函数，则，‎ 由，解得，所以函数在单调递增；‎ 由，解得或，所以函数在单调递减，‎ 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值，‎ 所以①不正确；②正确；‎ 进而根据函数的单调性和函数的变化趋势，可得函数没有最大值，也没有最小值，‎ 所以③正确，④不正确，‎ 所以正确命题的序号为②③. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的极值与最值中的应用，其中熟记函数的导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力. ‎