南京市2020届高三年级学情调研卷参考答案和评分标准（答案）

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南京市2020届高三年级学情调研 ‎ 数学参考答案及评分标准 2019.09‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．‎ ‎1．[1，＋∞） 2． 3．4 4．0.018 5． ‎6．3 7． 8．[－1，2] 9． 10．(1，＋∞) ‎ ‎11．20 12．6 13．[－2，2] 14．(，2) ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．‎ ‎15．解：（1）因为asin2B＝bsinA，‎ 由正弦定理 ＝ 得 2sinAsinBcosB＝sinBsinA． ………………… 3分 因为A，B为△ABC的内角，所以sinA≠0，sinB≠0，‎ 所以cosB＝． …………………………… 5分 又因为B为△ABC的内角，所以0＜B＜π，‎ 所以B＝． …………………………… 7分 ‎（2）因为cosC＝，C∈(0，π)，‎ 所以sinC＝＝＝， …………………………… 9分 所以sin‎2C＝2sinCcosC＝2××＝，‎ ‎ cos‎2C＝2cos‎2C－1＝2×()2－1＝－． ………………………… 11分 因为B＝，所以A＋C＝，从而A－C＝(－C)－C＝－‎2C，‎ 因此 sin(A－C)＝sin(－‎2C)＝sincos‎2C－cossin‎2C ‎＝×(－)－(－)×＝．…………………………… 14分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 ‎16．证明：（1）在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB∥A1B1，AB＝A1B1．‎ C1‎ A B C A1‎ B1‎ E F ‎（第16题图）‎ 因为E，F分别为AB和A1B1的中点，‎ 所以AE∥FB1，AE＝FB1，‎ 所以四边形AEB‎1F是平行四边形， ‎ 所以AF∥EB1． ………………………… 4分 因为AFË平面B1CE，B1EÌ平面B1CE，‎ 所以AF∥平面B1CE．……………………… 7分 ‎（2）因为AB∥A1B1，A1B1⊥B‎1C，所以AB⊥B‎1C．‎ 在△ABC中，因为AC＝BC，E为AB的中点，‎ 所以AB⊥CE． …………………………… 10分 因为AB⊥B‎1C，AB⊥CE，B‎1C∩CE＝C，B‎1CÌ平面B1CE，CEÌ平面B1CE，‎ 所以AB⊥平面B1CE． …………………………… 12分 因为ABÌ平面ABC，‎ 所以平面B1CE⊥平面ABC． …………………………… 14分 ‎17．解：（1）因为p(t)＝其中t∈N．‎ 所以当载客人数不超过1500人时，4≤t＜9，‎ 此时p(t)＝1800－15(9－t)2随着t的增大而增大．‎ 当t＝4时，p(4)＝1800－15(9－4)2＝1425＜1500，符合题意；‎ 当5≤t＜9时，p(t)≥p(5)＝1800－15(9－5)2＝1560＞1500，不符合题意．‎ 因此，发车时间间隔t的值为4． …………………………… 5分 ‎（2）因为Q＝－100，‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 所以当9≤t≤15时，Q＝－100＝－100．‎ 由于Q的值随着t的增大而减少，‎ 故t＝9时Q取得最大值，此时Qmax＝220． …………………………… 7分 当4≤t＜9时，Q＝－100‎ ‎＝－100‎ ‎＝－100‎ ‎＝1520－90(t＋) …………………………… 9分 ‎≤1520－90×2＝260，‎ 当且仅当t＝，即t＝7时取得最大值． …………………………… 11分 由于260＞220，故t＝7时Q取得最大值． ‎ 答：当发车时间间隔为7分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元． …………………………… 14分 ‎18．解：（1）因为(，3e)和(b，e)都在椭圆＋＝1上，‎ 所以 …………………………… 2分 由①整理得，＝． ‎ 代入②得，＝1－3×＝． …………………………… 4分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 因为e＝，其中c2＝a2－b2，‎ 可得b2＝‎3c，a2＝‎4c，从而c2＝a2－b2＝c，解得c＝1，即a2＝4，b2＝3，‎ 故椭圆的标准方程为＋＝1． …………………………… 6分 ‎（2）由（1）可知A(－2，0)，B(2，0)．‎ 解法一：因为C是椭圆上异于A，B的任意一点，‎ 所以直线BC的斜率存在且不为0．设直线BC的方程为y＝k(x－2)，k≠0．‎ 联立，消去y，得 (3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0．‎ 解得x＝2或x＝，从而C(，－)． …………………… 9分 因为P是BC的中点，所以P(，－)．‎ 因为PQ⊥BC ，所以直线PQ的方程为y－(－)＝－(x－)，‎ 化简得y＝－＋． ③ ‎ 由A(－2，0)，C(，－)，可得直线AC的斜率为＝－，‎ 从而直线AC的方程为y＝－(x＋2)． ④ ‎ 联立直线PQ，AC的方程③④，消去y得－＋＝－(x＋2)，‎ 解得x＝，即点Q的横坐标为． …………………… 14分 因为＝(2，0)，所以·＝2(－)＝12，‎ 即·为定值12． …………………………… 16分 解法二：设C(x0，y0)，其中x0≠±2，y0≠0，则由P是BC的中点，得P(，)．‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 直线AC，BC的斜率均存在且不为0，直线BC的斜率为．‎ 因为PQ⊥BC ，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－)，‎ 即y＝－x＋＋．③ …………………………… 9分 又直线AC的斜率为，‎ 从而直线AC的方程为y＝(x＋2)．④‎ 联立直线PQ，AC的方程③④，‎ 消去y，得 －x＋＋＝(x＋2)， ‎ 两边同乘以y0，得 (2－x0)x＋＋＝(x＋2)．‎ 由＋＝1，得y02＝3－，‎ 代入化简得(2－x0)x＋＝(2－x0)(x＋2)． ‎ 因为x0≠2，解得x＝，即点Q的横坐标为． …………… 14分 因为＝(2，0)，所以·＝2(－)＝12，‎ 即·为定值． …………………………… 16分 ‎19．解：（1）由f (x)＝2lnx＋ax2－bx，得f ′(x)＝，‎ 因为曲线y＝f (x)在x＝1处的切线为y＝2x－3，‎ 所以f (1)＝a－b＝－1， f ′(1)＝‎2a－b＋2＝2，‎ 解得a＝1，b＝2． …………………………… 3分 ‎（2）因为a＝0，所以f (x)＝2lnx－bx，x∈(0，＋∞)；‎ 由f (x)≤－2得2lnx－bx≤－2，即b≥． …………………………… 5分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 设g (x)＝，x＞0，则g′(x)＝－，‎ 由g′(x)＝0得x＝1．‎ 当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，‎ 则g (x)在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，‎ 所以当x＝1时，g (x)有最大值g (1)＝2．‎ 于是b≥2，即实数b的取值范围为[2，＋∞) ． ……………………… 8分 ‎（3）函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，当b＝4时f ′(x)＝．‎ ‎①当a＝0时，f ′(x)＝，‎ 由f ′(x)＞0得0＜x＜；由f ′(x)＜0得x＞，‎ 所以f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)； ……………………… 9分 ‎②当a＜0时，由f ′(x)＞0得0＜x＜；由f ′(x)＜0得x＞，‎ 所以f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；‎ ‎……………………………11分 ‎③当0＜a＜1时，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞；‎ 由f ′(x)＜0，得＜x＜，‎ 所以f (x)的增区间为(0，)和(，＋∞)，‎ 减区间为(，)； ……………………… 13分 ‎④当a≥1时，f ′(x)≥0恒成立，于是f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；‎ 综上，当a＜0时，f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；‎ 当a＝0时，f (x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)；‎ 当0＜a＜1时，f (x)的增区间为(0，)和(，＋∞)，‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 减区间为(，)；‎ 当a≥1时，f (x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间． ‎ ‎…………………………… 16分 ‎20．解：（1）因为数列{}是以为公差的等差数列，‎ 所以＝＋(n－1)＝a1＋(n－1)＝，即Sn＝．…………… 2分 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1，‎ 又a1＝2＝1＋1，所以an＝n＋1，n∈N*. …………………………… 4分 ‎（2）①因为bn＝2nan＝(n＋1)2n，‎ 所以Tn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)2n， ‎ 因此2Tn ＝2×22＋3×23＋…＋(n＋1)2n＋1， ‎ 两式相减，得－Tn＝2×21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)2n＋1‎ ‎ ＝2＋2×－(n＋1)2n＋1‎ ‎ ＝－n·2n＋1， …………………… 6分 所以Tn＝n·2n＋1，因此＝2n＋1，从而＝2，‎ 故数列{}是以4为首项，2为公比的等比数列. …………………… 8分 ② 因为＝，‎ 所以＝，即＝，…………… 10分 设f (n)＝，n∈N*，‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 则f (n＋1)－f (n)＝－＝，‎ 当n≥3时，－n2－n＋4－2λ≤－32－3＋4－2λ＝－8－2λ≤－8－2(－2)＝－4＜0，‎ 所以当n≥3时，f (n＋1)＜f (n)，‎ 因此当m＞n≥3时，f (n)＞f (m)，与f (n)＝f (m)相矛盾，‎ 又n＞1，于是n＝2， 所以＝． ………………… 12分 当m≥5时，≤＝，‎ 又－＝≤＝－＜0，即＜，‎ 所以当m≥5时，＜，与＝相矛盾．‎ 又m＞n＝2，所以m＝3或4． ………………… 14分 当m＝3时，＝，解得λ＝－1；‎ 当m＝4时，＝，解得λ＝－2；‎ 因此λ的所有可能值为－1和－2. …………………………… 16分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 南京市2020届高三学情调研考试 ‎ 数学附加题参考答案及评分标准 2019．09‎ ‎21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． ‎ A．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）解法一：因为A＝，设A－1＝，则由A－‎1A＝E，得 ＝，‎ 所以 …………………………… 2分 解得a＝－，b＝，c＝，d＝－，‎ 从而A－1＝． …………………………… 4分 解法二：因为矩阵(ad－bc≠0)的逆矩阵为， ‎ ‎………………………… 2分 又A＝，所以A－1＝． …………………………… 4分 ‎（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(x′，y′)，‎ 则＝ ＝，所以 ……………………7分 因为(x′，y′)在曲线C′上，所以x′2－3y′2＝1，‎ 代入得(2x＋3y)2－3(2x＋y)2＝1， ‎ 化简得6y2－8x2＝1，即曲线C的方程为6y2－8x2＝1． ………………… 10分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 ‎ ‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 解：将直线l的参数方程化为普通方程，得ax－4y＝－4，即ax－4y＋4＝0． ‎ ‎…………………………… 2分 将曲线C的参数方程化为普通方程得(x－2)2＋y2＝1， …………………… 4分 所以曲线C是以(2，0)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以曲线C上的点P到直线l的距离的最大值为＋1．…………… 6分 又因为曲线C上的点P到直线l的距离的最大值为3，‎ 所以＋1＝3，即(a＋2)2＝a2＋16， ………………………… 8分 所以‎4a＋4＝16，解得a＝3． ………………………… 10分 ‎ C．选修4—5：不等式选讲 解：当x≥1时，原不等式化为x2＋2(x－1)＜6，‎ 即x2＋2x－8＜0，解得－4＜x＜2，‎ 所以1≤x＜2； …………………………… 4分 当x＜1时，原不等式化为x2－2(x－1)＜6，‎ 即x2－2x－4＜0，解得1－＜x＜1＋，‎ 所以1－＜x＜1． ………………………… 8分 综上1－＜x＜2．‎ 所以不等式的解集为(1－，2)． …………………………… 10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．‎ ‎22．解：（1）因为底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，‎ 故以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz．设AB＝a．‎ 因为PA＝AD＝2，E，F分别为PA，AB的中点，‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 所以C(a，2，0)，D(0，2，0)，F(，0，0)，E(0，0，1)，‎ ‎（第22题图）‎ A B C D P E F x y z ‎ 所以＝(，－2，0)，＝(－a，－2，1)， ………………………… 2分 因为DF⊥CE，所以·＝0，‎ 即 ×(－a)＋(－2)×(－2)＋0×1＝0，‎ 解得a＝2，‎ 所以AB的长为2．………………… 4分 ‎（2）因为a＝2，‎ 所以＝(，－2，0)， ＝(，0，－1)．‎ ‎ 设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 取n＝(，1，2)． …………………………… 6分 ‎ 又＝(－，－2，0)，‎ 所以cos＜，n＞＝＝＝－．‎ ‎………………………… 8分 记直线CF与平面DEF所成角为α，‎ 则sinα＝| cos＜，n＞|＝，‎ 即直线CF与平面DEF所成角的正弦值为． ……………………… 10分 ‎ ‎ ‎23．解：（1）当n＝5时，B＝{1，2，3，4，5}．‎ 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4． ‎ P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；‎ 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页 P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝． ‎ ‎…………………………… 4分 因此随机变量X的概率分布如下表：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望 E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝． …………………………… 6分 ‎（2）由题意知，‎ 当S＝1时，T＝n－2，此时，符合要求的取法共有CC种；‎ 当S＝2时，T＝n－1，此时，符合要求的取法共有CC种．………… 8分 故P(X＝n－3)＝ ＝． …………… 10分 高三期初调研数学答案 第 12 页 共 12 页