2018-2019学年安徽省淮北师大附中高二下学期期末考试数学（理）试题（word版）

2018-2019学年安徽省淮北师大附中高二下学期期末考试数学（理）试题（word版）

淮北师大附中2018-2019学年第二学期期末考试试卷高二数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.‎ 1. 已知i 为虚数单位，复数 z 满足(1+ 2i) z = 4 + 3i ，则复数 z 对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 有下面三个判断，其中正确的个数是( )‎ ‎①命题：“设 a，b∈R，若 a＋b≠6，则 a≠3 或 b≠3”是一个真命题；‎ ‎②若“p 或 q”为真命题，则 p，q 均为真命题；‎ ‎③命题“对任意 a，b∈R，都有 a2＋b2≥2(a－b－1)成立”的否定是“存在 a，b∈R，使 a2＋ b2≤2(a－b－1)成立”．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 3. 曲线 f (x) = 2x - ex 在点(0, f (0)) 处的切线方程是（ ）‎ A． x - y + 1 = 0‎ ‎B． x - y -1 = 0‎ ‎C． x - y = 0‎ ‎D． 2x - y -1 = 0‎ 4. 抛物线 y = ax2 的焦点是直线 x + y -1 = 0 与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )‎ A. x = - 1‎ ‎4‎ ‎B. x = -1‎ ‎C. y = - 1‎ ‎4‎ ‎D. y = -1‎ 5. 某小区有 1000 户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 N (300,100) ，则用电量在 320 度以上的居民户数估计约为（ ）‎ ‎【参考数据：若随机变量x服从正态分布 N (m,s2 ) ，则 P(m-s< x£ m+s) » 0.6827 ，‎ P(m- 2s< x£ m+ 2s) » 0.9545 ， P(m- 3s< x£ m+ 3s) » 0.9973 . 】A．17 B．23 C．34 D．46‎ 6. 设 f '(x) 是函数 f (x) 的导函数， y = f '(x) 的图象如上图所示，则 y = f (x) 的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 2. 在DABC 中， B = p， BC 边上的高等于 1 BC ,则cos A = （ ）‎ ‎4 3‎ ‎3 10‎ ‎10‎ A. B.‎ ‎10 10‎ ‎C. - D. - ‎10‎ ‎3 10‎ ‎10 10‎ 3. 如图所示，点 A(1,0) ， B 是曲线 y = 3x2 +1上一点，向矩形OABC 内随机投 一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）‎ ‎1 1‎ A. B．‎ ‎2 3‎ ‎1 2‎ C． D．‎ ‎4 5‎ ‎1‎ 4. 已知 a > 0, b > 0 ，并且 a ‎, 1 ,‎ ‎2‎ ‎1 成等差数列，则a + 9b 的最小值为（ ）‎ b A．8 B．9 C．16 D．25‎ 5. 将 3 颗相同的红色小球和 2 颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少 1 颗，不同的分装方案种数为（ ）‎ A．40 B．28 C．24 D．16‎ x2‎ 6. 已知双曲线 a2‎ ‎y2‎ - ‎ = 1 (a > 0, b > 0) ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M , N b2‎ 两点，O为坐标原点.若OM ^ ON ，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎5‎ A. B．‎ ‎2‎ ‎1 + 5‎ ‎5‎ ‎3‎ C． D．‎ ‎2‎ 7. 已知 f (x) 是 R上的可导函数，f (x)+ 2 > f ¢(x) , f (0) = 1,则ln[ f (x)+ 2] > x + ln 3 的解集为 A． (- ¥，0) ‎B． (0，+ ¥) ‎C． (- ¥，1) ‎D． (1，+ ¥) 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案直接填在答题卡上.‎ ‎13. 设点 O(0,0,0)，A(1，0 , 3)，B(－1, 2, 3)，C(1, 2，－3)，若OA 与 BC 的夹角为θ，则 sin θ＝ .‎ 14. 已知多项式(2x - 3)n 的展开式中二项式系数之和为 64，则展开式中 x2 的系数为 （用数字作答）.‎ 15. 如图，已知正方形OABC ，其中OA = a(a > 1) ，函数 y = 3x2 的图像交 BC 于点 P ，函数 y = x ‎- 1‎ ‎2 的图像交 AB 于点Q ，当| AQ | + | CP | 最小时，则 a 的值 为 ．‎ 16. 已知从 2 开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为 2， 第二行为 4，6，第三行为 12，10，8，第四行为 14，16，18，20，…， 如图所示，在该数表中位于第i 行、第 j 行的数记为 ai, j ，如a3,2 = 10 ，‎ a5,4 = 24 .若 ai, j ‎= 2020 ，则i + j = ．‎ 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 17. ‎(本小题满分 10 分）‎ 已知 p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0. 若 p 是 q 的充分不必要条件，求正实数 a 的取值范围．‎ 18. ‎(本小题满分 12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足关于 x 的不等式 a x 2 - S ‎x + 2 < 0 的解集为( ,1) ，‎ ‎2‎ ‎7‎ (1) 求数列{an}的通项公式；‎ (2) 若数列{c }满足 c = a + 2an ，求数列{c }的前 n 项和T n n 2n ‎n n .‎ 19. ‎(本小题满分 12 分）如图 1，已知DPAB 中， PA ^ PB ，点 P 在斜边 AB 上的射影为点 H .‎ ‎（Ⅰ）求证：‎ ‎1‎ PH 2‎ ‎= 1‎ PA2‎ ‎+ 1 ；‎ PB2‎ ‎（Ⅱ）如图 2，已知三棱锥 P - ABC 中，侧棱 PA ， PB ， PC 两两互相垂直，点 P 在底面 ABC 内的射影为点 H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥 P - ABC 中 PH 与PA ， PB ， PC 的关系，并证明.‎ 16. ‎(本小题满分 12 分）‎ X （分钟）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 频数（次）‎ ‎50‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎40‎ 某校王老师每天自己开车上班，他在路上所用的时间 X （分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了 200 次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.‎ ‎（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望 E( X ) ；‎ ‎（Ⅱ）若王老师一周上班 5 天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过 E( X ) 的天数为Y ，求Y 的分布列及数学期望.‎ 17. ‎(本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆 E：x a2‎ ‎+ y2‎ b2‎ ‎= 1(a > b > 0) ‎， F1、F2 为其左右焦点， B1、B2‎ ‎‎ 为其上下顶点，‎ 四边形 F1B1F2 B2 的面积为 2。‎ （1） 求椭圆 E 的长轴 A1 A2 的最小值，并确定此时椭圆 E 的方程；‎ （2） 设 M、N 是椭圆 E 上的两个动点，当 B1 M ^ B1 N 时，直线 MN 是否过定点？若是求出 该定点，若不是请说明理由。‎ 18. ‎(本小题满分 12 分）‎ 函数 f (x) = ex - x -1 ， g(x) = ex (ax + x cos x +1) .‎ ‎（Ⅰ）求函数 f (x) 的极值；‎ ‎（Ⅱ）若 a > -1 ，证明：当 x Î(0,1) 时， g(x) > 1 .‎ 高二数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5: DBBDB 6-10: CCACB 11-12：BA 二、填空题 ‎13.0.6 14. 4860 15. 16. 71‎ 三、解答题 ‎17. 解不等式x2－8x－20＞0得p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．‎ 解不等式x2－2x＋1－a2＞0得q：B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．‎ 依题意，p⇒q但q不能推出p，说明AB.‎ 于是，有解得0＜a≤3.‎ ‎∴正实数a的取值范围是(0,3]．‎ ‎18.（1）依题意可得：且, …………6分 ‎（2） …………12分 ‎19.（Ⅰ）由条件得，，所以，‎ 由勾股定理，，所以，‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）猜想：.‎ 证明如下：‎ 连接延长交于点，连接，‎ 因为，，‎ 点，所以平面，又平面，得，‎ 平面，平面，则.‎ 在直角三角形中，由（Ⅰ）中结论，.‎ 平面，则，又平面，所以，‎ 而点，平面，所以平面，.‎ 又，由（Ⅰ）中结论，得.‎ 所以.‎ ‎[]‎ ‎20.（Ⅰ），，，，‎ 的分布列为 ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过的概率为，‎ 依题意，，‎ 分布列为，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎.‎ ‎21. （1）依题意四边形的面积为 因为长轴 此时 故长轴的最小值为，此时椭圆的方程为 ..........5分 ‎（2）设，，依题意直线的斜率存在，故设的方程为，‎ 联立得， ..........6分 ‎∴，即， ‎ 且，，‎ 又，‎ ‎ ........9分 ‎∵1是椭圆的上顶点，故1（0,1），‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∴， .......10分 ‎∴，，或， .......11分 ‎∵直线不过点1， ∴，直线过定点。 .......12分 ‎22.（Ⅰ）函数的定义域为，，‎ 由得，得，所以函数在单调递减，在单调递增，‎ 函数有极小值，无极大值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，当且仅当时等号成立，‎ 而，所以，即，所以，[]‎ 要证明，只需证明，‎ 而，故只要证明，即证，‎ 又，所以只要证明.‎ 令，，，则，‎ 所以在上单调递减，‎ ‎，即，‎ 所以证得.‎