专题32+直线、平面垂直的判定与性质（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题32+直线、平面垂直的判定与性质（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l∥α，m⊥l，则m⊥α B．若l⊥m，m⊥n，则m∥n C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α ‎【答案】D ‎2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)‎ A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 ‎【答案】C ‎【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在。 ‎ ‎3．如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)‎ A．BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC ‎【答案】D ‎【解析】因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立。‎ ‎4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　)‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β C．若m⊥β，m⊥α，则α∥β D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n ‎【答案】D ‎【解析】选项A是线面垂直的性质定理；选项B是两个平面垂直的判定定理；选项C是两个平面平行的判定方法之一；选项D中，若m∥α，a∩β＝n，则只能得到m，n没有公共点，于是m∥n或m，n异面。‎ ‎5．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是(　　)‎ A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件 C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件 D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎6．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)‎ A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC ‎【答案】D ‎【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，‎ 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，‎ 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，‎ 故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC。 学……&科网 ‎7．如图7515，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)‎ 图7515‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 ‎【答案】A　‎ ‎8．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)‎ A．α⊥β且m⊂α　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β ‎【答案】C　 ‎ ‎【解析】对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C．‎ ‎9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.‎ ‎10．如图7510，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　) ‎ 图7510‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF ‎【答案】B　‎ ‎11．如图7511，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．‎ 图7511‎ ‎【答案】AB，BC，AC；AB　‎ ‎【解析】∵PC⊥平面ABC，‎ ‎∴PC垂直于直线AB，BC，AC．‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.‎ ‎12．如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 图7512‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)　‎ ‎13．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【答案】②③④　‎ ‎【解析】对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．‎ 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．‎ 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．‎ ‎14.如图7516，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图7516‎ ‎【答案】a或2a　‎ ‎15．已知不同直线m，n与不同平面α，β，给出下列三个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；‎ ‎③若m⊥α，m∥β，则α⊥β。‎ 其中真命题的个数是________个。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误。②根据线面垂直的性质可知②正确。③根据面面垂直的性质和判断定理可知③正确，所以真命题的个数是2个。‎ ‎16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为__________。‎ ‎【答案】2 ‎【解析】∵PC⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，‎ ‎∴PC⊥CM，∴PM＝＝。‎ 要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，‎ ‎∴CM＝＝2，∴PM的最小值为2。 ‎ ‎17．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF。‎ ‎【答案】a或2a ‎【解析】由题意易知B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF。‎ 要使CF⊥平面B1DF，‎ 只需CF⊥DF即可。令CF⊥DF，设AF＝x，‎ 则A1F＝3a－x。‎ 由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，‎ 即＝，‎ 整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a。‎ ‎18.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝，AB＝CC1＝2。‎ ‎(1)求证C1B⊥平面ABC。‎ ‎(2)设E是CC1的中点，求AE和平面ABC1所成角的正弦值的大小。‎ ‎【解析】(1)因为BC＝1，∠BCC1＝，CC1＝2，所以BC1＝，BC2＋BC＝CC，所以BC1⊥BC。因 ‎19.如图所示，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是线段PA上一动点。‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面NEF。‎ ‎(2)若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值。‎ ‎(3)若M是PA中点时，求二面角M－EF－N的余弦值。‎ ‎【解析】(1)连接BD，‎ 因为PA⊥平面ABCD，‎ 所以NO⊥EF，‎ 所以∠MON为所求二面角M－EF－N的平面角，‎ 因为点M是PA的中点，所以AM＝NC＝2，‎ 所以在矩形MNCA中，可求得MN＝AC＝4，NO＝，MO＝，在△MON中，由余弦定理可求得cos∠MON＝＝－，‎ 所以二面角M－EF－N的余弦值为－。 ‎ ‎20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直。已知AB＝2，EF＝1。‎ ‎(1)求证：平面DAF⊥平面CBF。‎ ‎(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小。‎ ‎(3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°。‎