2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：“若则”的逆命题是“若则”，所以原命题的逆命题是“若，则”，故选C.‎ ‎【考点】四种命题 ‎2．抛物线的准线方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线是焦点在轴，开口向上的抛物线，，且 准线方程为 故答案选 ‎3．双曲线的渐近线的方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，双曲线的标准方程为，令得，即双曲线的渐近线方程为。选C。 ‎ ‎4．已知向量， ，则“”是“”成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由条件得，解得。因此由“”可得“”，‎ 反之不成立。故“”是“”成立的充分不必要条件。选A。‎ ‎5．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎6．已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 ( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，当,则圆锥曲线是椭圆， ，离心；‎ 当时则是双曲线， a=1，离心率 ,故选C.‎ ‎7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为 ，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：曲线在点处切线斜率，不妨设，则，因此 ‎【考点】导数的几何意义；‎ ‎8．命题：“”，使，命题：“， 是 成立的充分条件”，则下列命题为假命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对恒成立,所以命题p是假命题.由不等式的乘法性质可知充分性成立. 所以命题q为真命题.所以B选项错.选B.‎ ‎9．函数的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数为偶函数。‎ ‎∵，故排除A,C。‎ 又，故排除B。选D。‎ ‎10．抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点， 为双曲线的右顶点， 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 因抛物线的准线是，故，则，由题设若可得，则，即，所以，应选答案C。‎ 点睛：解答本题的关键是深刻理解若这一条件信息，通过直线与曲线的位置关系求出交点坐标，再运用直线的斜率公式建立方程，通过解方程求得双曲线的离心率，从而使得问题巧妙获解。‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则， ，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．‎ ‎12．若实数满足，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ 将看成，即曲线。‎ 将看成，即直线。‎ 表示曲线上的点与直线上的点间的距离的平方。‎ 作与直线平行的曲线的切线，‎ 由，得，‎ 令，得，‎ 解得或（舍去）。‎ 所以切点为。‎ 故点到直线的距离为。‎ 故曲线上的点到直线的最小距离为。‎ ‎∴的最小值为5。 选C。‎ 点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子 的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。‎ 二、填空题 ‎13．若抛物线上的点到轴的距离是，则到焦点的距离为__________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】抛物线的焦点为，准线方程为。‎ ‎∵点到轴的距离是，‎ ‎∴点到准线的距离是10，‎ 根据抛物线的定义可得， 到焦点的距离为10.‎ 答案：10.‎ ‎14．已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：，所以．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：‎ ‎①商的求导中，符号判定错误．‎ ‎②不能正确运用求导公式和求导法则．‎ ‎(2)求函数的导数应注意：‎ ‎①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．‎ ‎②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．‎ 视频 ‎15．如图，点分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小是_________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，连,则有。‎ ‎∴即为异面直线和所成的角（或其补角）。‎ 在中， .‎ ‎∴.‎ ‎∴直线和所成的角为。‎ 答案： ‎ 点睛：（1）求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．‎ ‎（2）计算异面直线所成的角通常放在三角形中借助于解三角形的方法进行。‎ ‎16．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：焦点弦被焦点，则又 所以则 ‎【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系，当遇到抛物线焦点弦问题时，常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立，把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题，属于难题 三、解答题 ‎17．已知，且．设函数在区间内单调递减； 曲线与轴交于不同的两点，如果“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】）∵且,‎ ‎∴命题P为真 ‎ 命题Q为真 ‎ ‎ 或 ‎∵“”为真，“”为假 ‎∴命题一个为真一个为假 ‎∴或 ‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：本题考查复合命题真假判定，考查了指数函数的单调性与曲线的交点问题。根据指数函数在区间内单调递减，可得；曲线与轴交于不同的两点，则，求出或。因为“”为真命题，“”为假命题，所以与恰好一真一假，即可求出实数的取值范围。‎ 试题解析：由“函数在区间内单调递减”‎ 可知，‎ 由“曲线与轴交于不同的两点”‎ 可知或，‎ 因为“”为真命题，“”为假命题，‎ 所以与恰好一真一假，‎ 当真， 假时， ，‎ 即.‎ 当假， 真时， ，‎ 即.‎ 综上可知， 的取值范围为： .‎ ‎18．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， .‎ ‎（1）求证：PD⊥平面PAB； ‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件得平面PAD，因此，再结合 ，可得PD⊥平面PAB。（2）取AD的中点O，连PO，CO，可证得OP,OA,OC两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, AB⊥AD，‎ ‎∴平面PAD，‎ ‎∵平面PAD，‎ ‎∴,‎ 又，‎ ‎∴ PD⊥平面PAB。‎ ‎（2）取AD的中点O，连PO，CO。‎ ‎∵，‎ ‎∴CO⊥AD，‎ ‎∵PA=PD，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∴OP,OA,OC两两垂直，‎ 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，‎ 则。‎ ‎∴。‎ 设平面PCD的一个法向量为，‎ 由 ，得。‎ 令，则。‎ 设直线PB与平面PCD所成角为，‎ 则.‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为。‎ 点睛：利用向量法求线面角的方法：‎ ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．即设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|。‎ ‎19．已知双曲线： （）的离心率为，虚轴长为．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积．‎ ‎【答案】．（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意可得，‎ 解得，‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎(2)直线的方程为，‎ 由可得，‎ 设、，‎ 则， ，‎ ‎∴‎ 又原点到直线的距离为，‎ ‎∴。‎ 点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝|x1－x2|。‎ ‎20．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。‎ ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。‎ 点睛：‎ ‎（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：‎ ‎①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．‎ ‎（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．‎ ‎21．如图，在四棱锥中， 底面， ， ，点为棱的中点.‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先证明面 然后利用线面垂直的结论可得 .‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．‎ 试题解析：‎ ‎⑴证明：取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ 面 ‎ ‎⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 设面的法向量为 由，令，即 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ ‎22．已知椭圆： 的长轴长为6，且椭圆与圆： 的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点， ，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设， 的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．‎ 试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆： 的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的解析式为，设， 的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以， .因为，所以，即，所以.当时， ，所以；当时， ，所以.‎ 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.‎