湖北省沙市中学2020届高三上学期第四次双周练数学试题

湖北省沙市中学2020届高三上学期第四次双周练数学试题

‎2019—2020学年上学期2017级 第四次双周练数学试卷 命题人：高三数学命题组 考试时间：2019年11月28日 一、选择题（60分）‎ 高三年级第四次双周练数学答案 ‎．C ‎ ‎．已知集合，,则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎．B ‎．设,,则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎．D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1＜c＜0得0＜|c|＜1,又a＞b＞1,‎ ‎ ∴＜＜0, -＞-＞0, a＞b＞1＞0,∴-a＞-b,‎ ‎ 即b＞a.故选D. ‎ ‎．若，则 A． B． C． D．‎ ‎．A ‎．将函数的图象向 个单位长度可以得到函数的图象．‎ A．左平移 B．左平移 C．右平移 D．右平移 ‎ ‎．A 解析:设水深为x尺，则x2+62 =（x+2)2，解得，x=8 . ‎ ‎∴水深为8 尺，芦苇长为10 尺，‎ 以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，‎ 建立如图所示的平面直角坐标系,在牵引过程中，‎ ‎ P的轨迹是以O为圆心，半径为10 的圆弧，其方程为 x2 +y2=100（－6≤x≤6，8≤y≤10），①‎ E点的坐标为(- 4,8)，∴OE所在的直线方程为 y=- 2x，②‎ 设Q点坐标为(x,y),由①②联立解得 x=-2,DG=6-2≈1.53‎ ‎ 故点Q在水面上的投影离水岸边点D的的距离为1.53.‎ ‎．中国古代《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题。根据该问题我们改编一题：今有边长为尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接。如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD，芦苇根部为池底AB的中点，顶端为(注:芦苇与水面垂直)，在牵引顶端向水岸边点D的过程中，当芦苇经过DF的三等分点E（靠近D点）时，设芦苇的顶端为Q，则点Q在水面上的投影离水岸边点D的距离为____尺．‎ ‎（注： ≈2.236, ≈1.732, 精确到0.01尺）‎ A． B． C． D．‎ ‎．C ‎．已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为 A． B． C． D．‎ ‎．A【详解】因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则. 故选：A.‎ ‎．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 A． B． C． D．‎ ‎．C ‎．已知，点在线段上，且的最小值为，则的最小值为 A．　　 B．　　　　 C．　　　 D．‎ ‎．C 解析：∵数列从起单调递增，且，所以，，∴。‎ ‎．记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项 的最小项为，令，若数列的通项公式为，则数列的前项和为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎．D ‎．已知椭圆的左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ‎ A．　　 B．　　　　 C．　　　 D．‎ ‎． D 可设，均为增函数，符合、、均是增函数，说明①错误。‎ ‎．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均是增函数，则、、均是增函数；②若、、均是奇函数，则、、均是奇函数；③若、、均是以为周期的函数，则、‎ ‎、均是以为周期的函数。下列正确的是 A．①、②、③均为真命题 B．①、②均为假命题，③为真命题 C．①、③为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②、③为真命题 ‎ ‎．D ‎．四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，分别是的中点，且，，则球的体积为 A． B． C． D．‎ 二、填空题（20分）‎ ‎．‎ ‎．曲线在处的切线方程为 ．‎ ‎．-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式.由于{an}是正项等比数列，设an=a1qn-1，其中a1是首项，q是公比．‎ ‎ 则,解得 .故an=2n-5,∴= ‎ =(-4)+(-3)+…+(n-5)= n(n-9)= [(n-)2- ],∴当n=4或5时, 取最小值-10.‎ ‎．设等比数列满足且,,‎ 则的最小值为 ．‎ ‎． ‎ ‎．从图中所示的矩形区域内任取一点，则点取自阴影 部分的概率为 ．‎ ‎．3， 解：设，则，∴，中，∴，又∵，∴，所以渐近线方程为。‎ ‎．已知双曲线的左右焦点为,右支上一点与的连线交双曲线左支于点，若,则的面积为 ，此双曲线的渐近线方程为 ．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎．（1），‎ ‎ ∴或 ‎ 即 或 ‎∵是三角形内角，∴或，故是等腰三角形或直角三角形；‎ ‎（2）为锐角三角形，∴，又，设为中点 故在△中，，‎ ‎∴．进一步可得 ‎．在中，分别为角所对的边，若．‎ ‎ （Ⅰ）试判断的形状；‎ ‎ （Ⅱ）若为锐角三角形，且，求角的正切值．‎ ‎．（19年浙江19题改编）解：（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.‎ 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，‎ 平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC. ……………2分 ‎∴．‎ 解法一：又∵，故．∴平面. ……………4分 ‎ ∴．……………5分 ‎（2）取的中点，连接，则是平行四边形．‎ 连接交于，则是的中点．‎ ‎ 由于A1E⊥平面ABC，，故平行四边形是矩形． ……………7分 ‎ 由（1）知平面，∴平面平面且交于，‎ ‎∴在平面上的射影在直线上，‎ 则是直线与平面所成角（或其补角）． ……………8分 设直线与平面所成角为，则，设，则，‎ ‎，，，∴‎ ‎①当时，，△中，由余弦定理可解得：，‎ 则，∴，； ……………10分 ‎②当时，，由余弦定理可解得：，‎ 则，∴，； ……………11分 ‎ 综合①②可知，或 ………………………12分 解法二：取中点为原点，直线为轴，射线为轴正半轴，建立空间直角坐标系.（也可以：以为原点，为轴，或者以为轴，为轴），‎ 则，设 由得 ………………………3分 ‎，‎ ‎ ………………………5分 ‎（Ⅱ）由（1）知，设平面的法向量为 那么，令，得 ………………………8分 依题意，‎ 化简得，解得或 ………………………11分 或 ………………………12分 ‎．如图，已知三棱柱中，平面平面,，，，，分别是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长。‎ ‎．（1），， ，，‎ ‎∴，∴可用线性回归模型拟合．‎ ‎（2）当时，利润：（元），‎ 当时，利润：（元），‎ 当时，利润：（元）‎ ‎∴周总利润平均值为：（元）‎ ‎．某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去的50周资料显示，该地周光照量（单位：小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的对应数据为下表：‎ ‎（千克）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（千克）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ （Ⅰ）依据此表计算相关系数（精确到），并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系．（若，则线性相关很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎ （Ⅱ）蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量的限制，并有如下关系：‎ 周光照量/小时 光照控制仪运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去的50周的周总利润的平均值．‎ ‎ 相关系数公式：，参考数据：．‎ ‎．（1）F（，0），直线AB的方程为：．‎ 联立方程组，可得：，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎∴（，p），（0，p），直线的方程为y＝﹣x．∴C（，0），‎ ‎∴四边形为梯形，其面积为 ‎∴p＝2，即抛物线E的方程为：y2＝4x．‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，抛物线联立可得，，解得：，代入的方程，化简后可得，将点M，N的横坐标分别代入直线，‎ 得M（1，），N（﹣1，），‎ ‎∵F（1，0），∴，|NF|=，‎ ‎∴，∴点P在抛物线上移动时，恒为定值1．‎ ‎．如图1，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为直线交于两点，线段 的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点，四边形的面积等于7． ‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图2，设直线为抛物线的准线，直线是抛物线的通径所在的直线，过上一点（）（）作直线与抛物线相切，若直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：点在抛物线上移动时，恒为定值，并求出此定值．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎．（I）， ………………2分 ‎ , ‎ 在点处的切线方程为. ………………………4分 ‎（Ⅱ）令，则为偶函数 ‎∵时， ………………6分 ‎（1）当时，，不合题意 …………………………………8分 ‎（2）当时，，则，‎ 令则，故在上单调递增，‎ 又∵，∴ 在上恒成立，即在上单调递增，‎ 又∵，∴在上恒成立，‎ 满足题意 ………………10分 ‎（3）当时，∵，‎ 由(2)知恒成立, ‎ 综上, 的取值范围为 …………………………………12分 ‎．已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．‎ 选考题 请考生从以下两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。（12分）‎ ‎．【详解】（1）将的参数方程化为普通方程得，将 代入，并化简得C的极坐标方程为.‎ 的极坐标方程为 ‎ ‎（2）依题意可得点的极坐标为，即 ‎，即 因为，所以，当时，取得最大值.‎ ‎．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，将直线绕极点逆时针旋转个单位得到直线．‎ ‎（Ⅰ）求和的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线和曲线交于两点，直线和曲线交于两点，求的最大值．‎ ‎．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）不等式的解集为或．　…………5分 ‎（Ⅱ）．…………7分 ‎ ∵，∴在上单调递减，在和上单调递增 ‎∴当时取得最小值，…………9分 ‎ ∴，所以或，‎ ‎∵，∴为所求实数的取值范围． ……………10分 ‎．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，且对任意，，求实数的取值范围．‎