东城区2016届高三一模数学（理）试题及答案

东城区2016届高三一模数学（理）试题及答案

‎ 北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学 （理科） ‎ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知复数为纯虚数，那么实数的值为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）集合，若，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 否 ‎ 是 ‎ k<4‎ ‎ ‎ ‎ k=k+1‎ 输出s ‎ k=0，s=0‎ 开始 结束 ‎（3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人，‎ ‎ 中级职称90人，初级职称15人．现采用分层 ‎ 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 ‎ 人数分别为 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 俯视图 侧（左）视图 ‎1‎ ‎1‎ 正（主）视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎（6）一个几何体的三视图如图所示，那么该几 何体的最长棱长为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知三点P（5，2）、（－6，0）、‎ ‎ （6，0）那么以、为焦点且过点 ‎ P的椭圆的短轴长为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）已知为平面上的单位向量，与的起点均为坐标原点，与夹角为. 平面区域由所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ A B O C P ‎（9）在的展开式中，的系数值为__.(用数字作答)‎ ‎（10）已知等比数列中, ，那么的值为 ．‎ ‎（11）如图，圆O的半径为1，A,B,C是圆周上的三点，过点A 作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若，‎ 则__； . ‎ ‎（12）若且，则的值为 ．‎ ‎（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：‎ 货物 体积（升/件）‎ 重量（公斤/件）‎ 利润(元/件)‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.‎ ‎（14）已知函数，关于的不等式的解集为,其中，为常数. 当时，的取值范围是___;当时，的值是___;‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 在△中，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求的长度； ‎ ‎（Ⅱ）若，求与直线相邻交点间的最小距离． ‎ ‎ ‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ 已知三棱柱中，底面，，，，,、分别为棱、的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证 ；‎ ‎（Ⅱ）求直线与所成的角；‎ ‎（Ⅲ）若为线段的中点，在平面内的射影为，求.‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ ‎ 现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能.‎ 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 ‎25分钟 ‎20分钟 ‎35分钟 ‎（I）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；‎ ‎（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；‎ ‎（III）‎ 若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.‎ ‎（18）（本小题共14分）‎ 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：当时，．‎ ‎（19）（本小题共13分）‎ 已知抛物线，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：.‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 数列中，给定正整数，.定义:数列满足，称数列的前项单调不增.‎ ‎（Ⅰ）若数列通项公式为：，求.‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求证的充分必要条件是数列的前项单调不增.‎ ‎（Ⅲ）给定正整数，若数列满足：，且数列的前项和，求的最大值与最小值.(写出答案即可)‎ 北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学参考答案及评分标准 （理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7）（8）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） （11）， （12）（13） ‎ ‎（14） ，． ‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）　 ‎ ‎ ……3分 ‎ ，， ‎ ‎ ‎ ‎ ……7分 ‎（Ⅱ）由， ‎ 解得 或， ， ‎ 解得或，.‎ ‎ 因为 ，当时取等号,‎ 所以 当时，相邻两交点间最小的距离为. …………………13分 ‎（16）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）证明 因为三棱柱，底面 ‎ 所以 ．‎ 因为 ，‎ ‎ 　所以 ．‎ ‎　　　因为 ，‎ ‎　　　所以 ．‎ ‎　　　因为 ，‎ ‎　　　所以 . 　　　 ……４分 ‎（Ⅱ）解 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，‎ ‎ ，.‎ 所以 ，.‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 直线与所成的角为45°. ……９分 ‎（Ⅲ）解　设 ‎ 则 , .‎ 所在直线的向量与平面GEF的法向量平行.‎ 设平面GEF的法向量为，，‎ 因为 ，‎ 所以 ‎ 令，则.‎ 所以 所在直线的单位向量为.‎ 因为 ,‎ 所以 .‎ 因为 ，‎ 所以 . .…１４分 ‎（17）（本小题共13分）‎ 解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．　　　　　　　 　　…３分 ‎（II）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛.‎ ‎ 按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ ‎ 按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ ‎ 按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ ‎ 按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ ‎ 按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ ‎ 按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：‎ ‎（分钟）．‎ 且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为 ‎． …11分 ‎（III）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少 ‎ ---------------------------------------------------------13分 ‎（18）（共14分）‎ ‎－‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 解：（Ⅰ）当时，则，‎ 则.‎ 令得 所以 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增；‎ ‎　　　当时，．　 ……4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以恒成立，等价于恒成立．‎ 设，，‎ 得，‎ 当时，，‎ 所以　在上单调递减，‎ 所以　时，．‎ 因为恒成立，‎ 所以． ……11分 ‎（Ⅲ）当时，，等价于．‎ 设，．‎ 求导，得．‎ 由（Ⅰ）可知，时， 恒成立．‎ 所以时，，有．‎ 所以 ．‎ 所以在上单调递增，当时，．‎ 因此当时，． ……14分 ‎（19）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ 因为直线过点且与抛物线交于两点，，‎ 设，，直线（不垂直轴）的方程可设为．‎ 所以，．‎ 因为直线与的斜率之积为，‎ 所以． ‎ 所以，得 ． ……4分 ‎　由 消得 ‎ 其中 ‎ 所以， ．‎ 所以，抛物线． ……8分 ‎（Ⅱ）设，因为为线段的中点，‎ 所以，.‎ 所以直线的斜率为.‎ 直线的方程为代入抛物线的方程，‎ 得.‎ 所以 .‎ 因为 ,‎ 所以. ……13分 ‎（20）（共13分）‎ 解（Ⅰ） . ……2分 ‎ ‎ （Ⅱ）充分性：若数列的前项单调不增，即 此时有：‎ 必要性：反证法，若数列的前项不是单调不增，则存在使得，那么:‎ 由于.‎ ‎.‎ 与已知矛盾. ……9分 ‎（III）最小值为0.此时为常数列. ……10分 最大值为 ‎ 当时的最大值：此时, ……11分 ‎.‎ 当时的最大值：此时.‎ 由易证，的值的只有是大小交替出现时，才能让取最大值.‎ 不妨设：，为奇数，，为偶数. 当为奇数时有：‎ 当为偶数时同理可证. ……13分