数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届湖南省岳阳县一中高二上学期期末考试（2017-01）

湖南省岳阳县第一中学 2016-2017 学年度第一学期高二期末考试 文科数学 命题：孙海华 审题：李焯 时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题：（本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分。） 1. 复数 的共轭复数是 ( ) A B C D 2. 抛物线 的焦点到准线的距离是 ( ) A B C D 3．以椭圆 的焦点为顶点，离心率为 的双曲线的方程 ( ) A B C 或 D 以上都不对 4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的 为 ， 则判断框中填写的内容可以是 （ ） A B C D 5.下列有关命题的说法错误的为 （ ） A．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ” B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．命题“存在 ，使得 ”的否定是“对任意 ，均有 ” D．若 为假命题，则 均为假 6．已知某种产品的支出广告额 与利润额 （单位：万元）之间有如下对应数据： 则回归直线方程必过 （ ） A． B． C． D． 7．若 ，且函数 在 处有极值，则 等于（ ） A. 2 B. 3 C .6 D．9 xy 102 = 2 5 5 2 15 10 11625 22 =+ yx 2 14816 22 =− yx 1279 22 =− yx 14816 22 =− yx 1279 22 =− yx 2 5 −i 2+i i−2 i−− 2 2−i S 11 12 6n = 6n < 6n ≤ 8n ≤ 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 2x < 2 6 0x x− − < x R∈ 2 1 0x x+ + < x R∈ 2 1 0x x+ + ≥ p q∧ ,p q x y ( )5,36 ( )5,35 ( )5,30 ( )4,30 0, 0a b> > 3 2( ) 4 2f x x ax bx= − − 1x = a b+ 8．已知函数 ，任取一个 使 的概率为 （ ） A． B． C． D． 9． 函数 单调递增区间是 （ ） A B C D 10.椭圆的中心在原点，左右焦点 在 轴上， 分别是椭圆的上顶点和右顶点， 是椭圆上一点，且 轴， ，则此椭圆的离心率等于 （ ） A． B． C． D． 11.设函数 ， .若 存在零点，则 在区间 上零点 个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 不确定 12. 在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L­距离”定义为： ||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1，F2 的“L­距离” 之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是 ( ) 　 　 A　　　　　 　B C　 D 二、填空题：（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13．若复数 是纯虚数，则实数 14.设 ； ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的 取值范围是___________． 15．点 是抛物线 的焦点， 是双曲线 的右焦点，若线段 的中点 恰为抛物线 与双曲线 的渐近线在第一象限内的交点， 则双曲线 的离心率 的值为 16．某种平面分形图如下所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹 xxy 14 2 += ),0( +∞ )1,(−∞ ),2 1( +∞ ),1( +∞ ( ) 2logf x x= 0 1 ,22x  ∈   ( )0 0f x > 1 4 1 2 3 4 2 3 1 2F F、 x A B、 P 1PF x⊥ 2 / /PF AB 1 3 1 2 2 2 5 5 ( ) 2 ln2 xf x k x= − 0k > ( )f x ( )f x (1, e i)i)(1( 2 mm ++ =m : 4 3 1p x − ≤ ( )( ): 1 0q x a x a− − − ≤ p q a F 2: 2 ( 0)x py pτ = > 1F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1FF P τ C C e 角为 ；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发 再生成两条长度为原来 的线段,且这两条线段与原线 段两两夹角为 ；…；依此规律得到 级分形 图． （1）4 级分形图中共有______条线段； （2） 级分形图中所有线段长度之和为______． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。） 17．（本小题满分 10 分） 设命题 实数 满足 ,其中 ；命题 实数 满足 ， （1）当 时，若 为真，求 范围； （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 18．（本小题满分 12 分） 已知双曲线 的离心率为 ，实轴长为 2． （1）求双曲线 C 的方程； （2）若直线 被双曲线 C 截得的弦长为 ，求实数 的值。 19. （本小题满分 12 分） 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务 区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 名 驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ / ）分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图． （1）求这 辆小型车辆车速的众数、平均数和中位数的估计值； （2）若从车速在 的车辆中任抽取 辆，求车速在 的车辆恰有一辆的概 率． 20.（本小题满分 12 分） 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3 120 1 3 120 n n :p x 2 24 3 0x ax a− + < 0a < :q x 5|72| <+x 1−=a qp ∧ x p¬ q¬ a mxy += | | 4 2AB = m 2016 50 40 km h [ )60,65 [ )65,70 [ )70,75 [ )75,80 [ )80,85 [ )85,90 40 [ )60,70 2 [ )65,70 已知函数 ， ．若 在 处与直线 相切。 （1）求 的值；（2）求 在 上的最大值。 21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的对称中心为原点 ，焦点在 轴上，左右焦点分别为 和 ，且 ，点 在该椭圆上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 的直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切的圆的方程． 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 ， ． （1）求 的单调区间； （2）若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围． 1F l 2F l 2( ) lnf x a x bx= − ,a b R∈ ( )f x 1x = 1 2y = − ba, ( )f x 1[ , ]ee C O x 1F 2F 221 =FF      2 31, BAF2∆ 7 212 ( ) 3 2f x x ax= − Ra∈ )(xfy = ( )y f x= 1y x= − a 湖南省岳阳县第一中学 2016-2017 学年度第一学期高二期末考试 文科数学参考答案 一. 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C D A C[来源] D C D A A 二、填空题 13．0 或 1 14. 15． 16（1） ，（2） ． 三、解答题 17 解：（1） 真，则 ； 真，则 , 因为 为真,则 真且 真,故 范围为 ; …………… 5 分 (2) 是 的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件， 因为 真，有 ,所以 ,故 . …………… 10 分 18.(1)由题意，解得 ，∴ ∴所求双曲线 的方程为 . …………… 5 分 (2) 由弦长公式得 …………… 12 分 19.【答案】（1）众数与中位数的估计值均等于 ，平均值为 77；（2） ． 【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 设图中虚线所对应的车速为 ，则中位数的估计值为： ，解得 即中位数的估计值为 平均数的估计值为： 1, 3a c= = 2 2 2 2b c a= − = C 2 2 12 yx − = 10 2a≤ ≤ 3 2 4 45 29[1 ( ) ]3 n− p 13 −<<− x q 16 −<<− x qp ∧ p q x ( )1,3 −− p¬ q¬ q p p axa <<3    −≥ −≤ 63 1 a a 12 −≤≤− a    =−−−⇒=− += 02212 222 2 mmxxyx mxy 1)2(44224 22 ±=⇒++⋅= mmm 77.5 15 8 77.5 x ( )0.01 5 0.02 5 0.04 5 0.06 75 0.5x× + × + × + × − = 77.5x = 77.5 770.0287.50.0582.50.0677.50.0472.50.0267.50.0162.55 =×+×+×+×+×+×× ）（ …………… 6 分 （2）从图中可知，车速在 的车辆数为： （辆）， 车速在 的车辆数为： （辆） 设车速在 的车辆设为 ， ，车速在 的车辆设为 ， ， ， ，则所有 基 本 事 件 有 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种 其中车速在 的车辆恰有一辆的事件有： ， ， ， ， ， ， ， 共 种 所以，车速在 的车辆恰有一辆的概率为 …………… 12 分 20.（1） ；（2）最大值为 . 【解析】（1） ． 由函数 在 处与直线 相切，得 ，即 ． 解得： ． …………… 6 分 （2）由（1）得： ，定义域为 ． 此时， ，令 ，解得 ，令 ，得 ． 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 在 上的最大值为 ． ……………12 分 21.（1）椭圆 C 的方程为 …………… 4 分 （2）①当直线 ⊥x 轴时，可得 A（-1，- ），B（-1， ）， A B 的面积为 3， 134 22 =+ yx l 2 3 2 3 ∆ 2F [ )60,65 1 0.01 5 40 2m = × × = [ )65,70 2 0.02 5 40 4m = × × = [ )60,65 a b [ )65,70 c d e f ( ),a b ( ),a c ( ),a d ( ),a e ( ),a f ( ),b c ( ),b d ( ),b e ( ),b f ( ),c d ( ),c e ( ),c f ( ),d e ( ),d f ( ),e f 15 [ )65,70 ( ),a c ( ),a d ( ),a e ( ),a f ( ),b c ( ),b d ( ),b e ( ),b f 8 [ )65,70 8 15 Ρ = 11, 2a b= = 1(1) 2f = − ' ( ) 2af x bxx = − ( )f x 1x = 1 2y = − ' (1) 0 1(1) 2 f f  = = − 2 0 1 2 a b b − = − = − 1 1 2 a b = = 21( ) ln 2f x x x= − (0, )+∞ 2 ' 1 1( ) xf x xx x −= − = ' ( ) 0f x > 0 1x< < ' ( ) 0f x < 1x > ( )f x 1( ,1)e (1, )e ( )f x 1[ , ]ee 1(1) 2f = − 不合题意． …………… 7 分 ②当直线 与 x 轴不垂直时，设直线 的方程为 y=k（x+1）．代入椭圆方程得： ，显然 ＞0 成立，设 A ，B ，则 ， ，可得|AB|= …………… 9 分 又圆 的半径 r= ，∴ A B 的面积= |AB|r= = ，化简得： 17 + -18=0，得 k=±1，∴r = ，圆的方程为 …… 12 分 22.【解析】（1） 当 时,R 上 单调递增; 当 时, , 为 增区间, 为 减区间; 当 , , 为 增区间, 为 减区间; …………… 5 分 （2）由题得方程 只有一个根， 设 ， 则 ，因为 所以 有两个零点 ，即 （ ）， 且 ， ， 不妨设 ，所以 在 单调递增，在 单调递减， 为极大值， 为极小值， l l 01248)43( 2222 =−+++ kxkxk ∆ ),( 11 yx ),( 22 yx 2 2 21 43 8 k kxx +−=+ 2 2 43 )1(12 k k + + 2F 21 ||2 k k + ∆ 2F 2 1 2 2 43 1||12 k kk + + 7 212 4k 2k 2 2)1( 22 =+− yx 2 2 21 43 124 k kxx + −= )23(23)( 2 axxaxxxf −=−=′ 0=a )(xfy = 0>a ( )0,∞−      +∞,3 2a )(xfy =      3 2,0 a )(xfy = 0 '( )g x 1 2,x x 23 2 1 0i ix ax− − = 1,2i = 1 2 0x x < 23 1 2 i i xa x −= 1 20x x< < ( )g x 1 2( , ),( , )x x−∞ +∞ 1 2( , )x x 1( )g x 2( )g x 方程 只有一个根等价于 且 ， 或者 且 ， 又 ， 设 ，所以 ，所以 为减函数， 又 ，所以 时 ， 时 ， 所以 大于 或小于 ，由 知， 只能小于 ， 所以由二次函数 性质可得 ，所以 . …………… 12 分 3 2 1 0x ax x− − + = 1( ) 0g x > 2( ) 0g x > 1( ) 0g x < 2( ) 0g x < 2 3 2 3 2 33 1 1( ) 1 1 1( 1,2)2 2 2 i i i i i i i i i i i x xg x x ax x x x x x ix −= − − + = − − + = − − + = 31( ) 12 2 xh x x= − − + 23 1'( ) 02 2h x x= − − < ( )h x (1) 0h = 1x < ( ) 0h x > 1x > ( ) 0h x < ( 1,2)ix i = 1 1 1 20x x< < ( 1,2)ix i = 1 2'( ) 3 2 1g x x ax= − − '(1) 3 2 1 0g a= − − > 1a <