数学（理）卷·2017届山西省大同市灵丘豪洋中学高三下学期第四次模拟考试（2017

数学（理）卷·2017届山西省大同市灵丘豪洋中学高三下学期第四次模拟考试（2017

山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第四次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数的共轭复数为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. “”是“，使得是真命题”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎ ‎4. 某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：‎ 由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前334年商鞅造的一种标准量器＿＿商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位: 寸）. 若取，其体积为（立方寸），则三视图中的为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知实数满足，如果目标函数的最大值为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的正整数的所有可能取值的个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 函数，若，且函数的图象 关于直线对称，则以下结论正确的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 ‎ B．函数的图象关于点对称 ‎ C. 函数在区间内是增函数 ‎ D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 ‎10. 已知在中,角所对的边分别为，且，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知为坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为，右焦点为，以为直径作圆交于异于原点的点，若点在上，且,则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.函数对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 二项式的展开式中常数项为 ．‎ ‎14. 已知抛物线的焦点为，过焦点和点的射线与抛物线相交于点，若，则 ．‎ ‎15. 如图，已知三棱锥中，平面，，若分别是的中点，设三棱锥的外接球的球心为，则的面积为 ．‎ ‎16. 已知为内一点，且，若,则点到三边距离的最大值 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且是首项和公差均为的等差数列. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和为.‎ ‎18. 2017 年省内某事业单位面向社会公开招骋工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于分的才有资格参加面试，‎ 分以下（不含分）则被淘汰，现有名竞骋者参加笔试，参加笔试的成绩按区间分段，其频率分布直方图如图所示（频率分布直方图有污损），但是知道参加面试的人数为，且笔试成绩在的人数为.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估算竞骋者参加笔试的平均成绩；‎ ‎（2）若在面试过程中每人最多有次选题答题的机会，累计答对题或答错题, 答对题者方可参加复赛，已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，若他连续三次答题中答对一次的概率为，求面试者甲答题个数的分布列及数学期望.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，已知底面，异面直线和所成角等于.‎ ‎（1）求证: 平面平面；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值；‎ ‎(3) 在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置，若不存在，说明理由.‎ ‎20. 已知椭圆 过点，左、右焦点分别为，且线段与轴的交点恰为线段的中点，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）与直线斜率相同的直线与椭圆相交于两点，求当的面积最大时直线的方程.‎ ‎21. 已知函数. ‎ ‎（1）求证: 对；‎ ‎（2）若方程有两个根，设两根分别为,求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线的参数方程为为参数), 圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出直线的一般及圆标准方程；‎ ‎（2）设直线和圆相交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ 山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第四次模拟考试 数学（理）试题参考答案 一、选择题 ‎1-5: CBBAD 6-10:CBCDD 11-12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：(1)易知，当时，，即，当时，，两式相减得 ‎，即，经检验：满足，综上所述，数列的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)知，.‎ ‎.‎ ‎18. 解：(1)设竞聘者成绩在区间的人数分别为，则，解得.，解得.,‎ 解得，竞聘者参加笔试的平均成绩为 ‎.‎ ‎(2)设面试者甲每道题答对的概率为，则，面试者甲答题个数的可能取值为，则；‎ ‎.的分布列如下表：‎ ‎.‎ ‎19. 解：(1)底面，又平面 平面平面，平面平面.‎ ‎(2)如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由（1）易知是等腰直角三角形，.设，则，则，因为异面直线和所成角等于，，即，解得.设平面的一个法向量为，则由，得，所以可取，所以直线和平面所成的正弦值为.‎ ‎(3)假设存在，设，且，则，设平面一个法向量为，则由，得，取，又平面的法向量为，由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，由，解得或（不合题意）.‎ 所以存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.‎ ‎20. 解：(1)椭圆过点①，连接为线段的中点，为线段的中点，，则，②，由①②得，椭圆的离心率为.‎ ‎(2)由（1）知椭圆与的方程为，直线的斜率，不妨设直线的方程为，联立椭圆与直线的方程得，‎ ‎，解得.设，则，点到的距离 ‎，当且仅当时取等号，即.‎ ‎21. 解：(1)‎ ‎.下面证明：对，令，则，所以在上单调递增，所以，即，即证得对.‎ ‎(2)由，得，于是有，‎ 两式相加得， ① 两式相减得，②‎ 由②可得，③ 将③代入①可得，‎ 即，不妨设，则，由（1）可知，又因为，‎ ‎ ，即.‎ ‎22. 解：(1)由直线的参数方程消去参数可得，化简并整理可得直线的一般方程为，由可得，即，所以圆的标准方程为.‎ ‎(2)易知点在圆内，且直线上，联立圆的方程和直线的参数方程方程组，设，所以，所以，则 ‎，同理，‎ ‎.‎ ‎23. 解：（1）当时，原不等式可化为.‎ ‎①当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.②‎ 当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.③当时，原不等式可化为,解得，此时得不等式的解集为.综上所述，当时，不等式可化为，的解集为或.‎ ‎（2）不等式，因为不等式的解集包含，所以不等式在，所以不等式，所以可得，即，所以，解得，求实数的取值范围是.‎