辽宁省丹东市2019-2020学年高二上学期期末质量监测数学试题

辽宁省丹东市2019-2020学年高二上学期期末质量监测数学试题

丹东市 2019~2020 学年度上学期期末教学质量监测 高二数学 本试卷共 22 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．直线 3x－7＝0 的倾斜角为 A．0º B．60º C．90º D．120º 2．已知复数 z 满足(2＋i)z＝1－i，则 z 的共轭复数-z＝ A．3 5 －1 5i B．3 5 ＋1 5i C．1 5 －3 5i D．1 5 ＋3 5i 3．在空间直角坐标系中，已知 A(1，2，3)，B(－2，－1， 6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)， 则直线 AB 与 CD 的位置关系是 A．平行 B．垂直 C．异面 D．相交但不垂直 4．已知 F1，F2 分别为双曲线 C：x2 9 －y2 16 ＝1 的左右焦点，M 是 C 上的一点，若|MF1|＝7， 则|MF2|＝ A．13 B．1 或 13 C．15 D．1 或 15 5．一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为 3，那么这个四棱锥体积为 A．4 3 B．4 2 3 C．8 3 D．8 2 3 6．过点 P(2，0)作圆 x2＋y2＋4x－y－3＝0 的切线，切点为 Q，则|PQ|＝ A．2 B． 3 C．3 D．6 7．已知正四面体 OABC，M，N 分别是 OA，BC 的中点，则 MN 与 OB 所成角为 A．30º B．45º C．60º D．90º 8．已知点 A(0，1)，而且 F1 是椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的左焦点，点 P 是该椭圆上任意一点，则 |PF1|＋|PA|的最小值为 A．6－ 5 B．6－ 2 C．6＋ 2 D．6＋ 5 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．圆 x2＋y2－4x－1＝0 A．关于点(2，0)对称 B．关于直线 y＝0 对称 C．关于直线 x＋3y－2＝0 对称 D．关于直线 x－y＋2＝0 对称 10．正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝ 3AB，则 A．AC1 与底面 ABC 的成角的正弦值为1 2 B．AC1 与底面 ABC 的成角的正弦值为 3 2 C．AC1 与侧面 AA1B1B 的成角的正弦值为 3 4 D．AC1 与侧面 AA1B1B 的成角的正弦值为 13 4 11．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 10 和 6，则 p 的值 可取 A．1 B．2 C．9 D．18 12．如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为 正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 A．直线 BM，EN 是相交直线 B．直线 EN 与直线 AB 所成角等于 90º C．直线 EC 与直线 AB 所成角等于直线 EC 与直线 AD 所成角 D．直线 BM 与平面 ABCD 所成角小于直线 EN 平面 ABCD 所成角 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．复数 z＝1－i 1＋i 的模|z|＝ ． 14．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 2x－y＝0，则 C 的离心率 为 ． 15．已知曲线 C 的为 x2 m－2 － y2 6－m ＝1，若 C 是椭圆，则 m 的取值范围为 ， 若 C 是双曲线，则 m 的取值范围为 ． （本题第一空 2 分，第二空 3 分） C A B E D M N 16．设 A，B，C，D 是半径为 4 的球 O 表面上的四点，△ABC 是面积为 9 3的等边三角形， 当三棱锥 D－ABC 体积最大时，球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，此时三棱锥 D －ABC 的体积为 ． （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 已知直线 l 经过点 P(4，1)． （1）若 l 与直线 x＋2y－7＝0 平行，求 l 的方程； （2）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程． 18．（12 分） 已知圆 C 过点 A(6，0)和 B(1，5)，且圆心在直线 2x－7y＋8＝0 上． （1）求 AB 的垂直平分线的方程； （2）求圆 C 的方程． 19．（12 分） 如图，在直棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，D，E 分别是棱 AB，AC 上的点，且 BC∥平面 A1DE． （1）证明：DE∥B1C1； （2）若 D 为 AB 中点，求直线 A1D 与直线 AC1 所成角的余弦值． CA B E D A1 C1 B1 20．（12 分） 设直线 l：x－y－1＝0 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点． （1）求→OA ·→OB 的值； （2）求△OAB 的面积． 21．（12 分） 如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90º，SA 垂直于平面 ABCD， SA＝AB＝BC＝2，AD＝1． （1）求直线 SC 与平面 SAD 所成角的正弦值； （2）求平面 SAB 与平面 SCD 所成锐二面角的正切值． S A B C D 22．（12 分） 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1交于 A，B 两点，若线段 AB 的中点为 M(1，m)(m≠0)． （1）证明：k＝－ 3 4m ； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且→FP ＋→FA ＋→FB ＝0．证明： |→FA |，|→FP |，|→FB |成等差数列． 丹东市 2019~2020 学年度上学期期末教学质量监测 高二数学试题参考答案 一、单项选择题 1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 二、多项选择题 9． ABC 10． BC 11． BD 12． ABD 三、填空题 13．1 14． 15．(6，＋∞)，(2，6) 16．2，18 四、解答题 17．解： （1）由条件可设 l：x＋2y＋c＝0． 点 P(4，1)代入可得 c＝－6，所以 l 的方程为 x＋2y－6＝0． …………（4 分） （2）设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a． 若 a＝0，则 l 过点(0，0)和(4，1)，故 l 的方程为 y＝1 4x． 若 a≠0，设 l：x a＋y a＝1，点 P(4，1)代入得4 a＋1 a＝1，a＝5．l 的方程为 x＋y－5＝0． 综上可知，直线 l 的方程为 y＝1 4x 或 x＋y－5＝0． …………（10 分） 18．解： （1）直线 AB 的斜率为－1，AB 的中点坐标为( 7 2，5 2)， 所以 AB 的垂直平分线的斜率为 1，其方程为 y＝x－1． …………（6 分） （2）由垂径定理知圆心是直线 y＝x－1 与直线 2x－7y＋8＝0 的交 点，解得圆心坐标 C(3，2) ． 圆的半径 r＝|AC|＝，因此圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13． …………（12 分） 19．解法 1： （1）如图，以 C 为坐标原点，CA 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 C－xyz． 设 AC＝BC＝CC1＝2，CE＝a，则 A(2，0，0)，D(a，a，0)，E(a，0，0) ，A1 (2，0，2) ， B1 (0，2，2)，C1 (0，0，2)． 所以 DE＝(0，－a， 0)， B1C1＝(0，－2，0)，所以 2 DE＝a B1C1， DE 与 B1C1 共线． 因为 DE ⊄ 平面 CBB1C1，所以 DE∥B1C1． …………（6 分） （2）因为 D 为 AB 中点，所以 E 为 AC 中点，故 a＝1，于是 A1D＝(－1，1，－2)， AC1 ＝(－2，0，2)． 所以 cos＜ A1D， AC1＞＝ －2×2 2＋02＋22＝－3 6，因此直线 A1D 与直线 AC1 所成角的余弦值 为3 6． …………（12 分） 解法 2： （1）因为 BC∥平面 A1DE，BC ⊂ 平面 ABC， 平面 ABC∩平面 A1DE＝DE，所以 BC∥DE． 在直棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC∥B1C1，所以 DE∥B1C1． …………（6 分） （2）延长 CA 到 F，使 AF＝AC，连接 A1F，BF． 则 AF＝A1C1，AF∥A1C1，四边形 A1C1 AF 是平行四边形， 所以 AC1∥A1F．故∠DA1F 直线 A1D 与直线 AC1 所成角． 设 AC＝BC＝CC1＝2，则 A1F＝2，A1D＝． 因为 D 为 AB 中点，所以 E 为 AC 中点，故 AE＝1． 因为 AC⊥BC，所以 DE⊥AC，因此 DF＝＝． 在△A1FD 中， cos∠DA1F＝A1D 2＋A1F2－DF 2 2 A1D·A1F ＝3 6． 所以直线 A1D 与直线 AC1 所成角的余弦值为3 6． …………（12 分） 20．解法 1： （1）由 y2＝4x 得 x＝y2 4 ，代入 x－y－1＝0 得y2 4 －y－1＝0，△＝2＞0． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2＝－4，x1x2＝y12 4 · y22 4 ＝1． 所以 OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－3． …………（6 分） （2）由（1）知 y1＋y2＝4，因为抛物线 y2＝4x 焦点 F(1，0)在直线 l 上，所以 |AB|＝x1＋x2＋2＝y12 4 ＋y22 4 ＋2＝y1＋y22－2 y1y2 4 ＋2＝8． O 到直线 l 的距离为 d＝2 2．所以△OAB 的面积 S＝1 2×8×2 2＝2． …………（12 分） 解法 2： （1）同解法 1． （2）因为 y1＋y2＝4，所以|y1－y2|＝＝4． 直线 l 与 x 轴交点为 F(1，0)，|OF|＝1．所以△OAB 的面积 S＝1 2×|OF|×|y1－y2| ＝2． …………（12 分） 21．解法 1： （1）因为 SA⊥BA，DA⊥BA， 所以 BA⊥平面 SAD，于是 B 到平 面 SAD 的距离为 BA＝2． 因为 BC∥AD，所以 C 到平面 SAD 的距离等于 B 到平面 SAD 的距离等于 2． 由题设 SC＝2，所以直线 SC 与平面 SAD 所成角的正弦值为AB SC＝3 3． …………（6 分） （2）延长 BA，CD，设 E 点是它们的交点，连接 SE，则所求二角角延展为二面角 C－BE －S． 因为 DA⊥BA，DA⊥SA，所以 DA⊥平面 SAB． 在平面 SAB 内过 A 作 AF⊥SE 于点 F，连接 DF，由三垂线定理得 DF⊥SE，于是∠AFD 是 二面角 C－BE－S 的平面角． 由题设，AE＝AB＝AS＝2，所以 AF＝，所以 tan∠AFD＝AD AF＝2 2． 故平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角的正切值为2 2． …………（12 分） 解法 2： （1）如图，以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 A－xyz． 由已知得 A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，SC＝(2，2， －2)． 平面 SAD 的一个法向量为 AB＝(0，2，0)． 因为 cos＜SC，AB＞＝ －2×0 02＋22＋02＝3 3，因此直线 SC 与平面 SAD 所成角的正弦值为3 3． …………（6 分） （2）设平面 SCD 的法向量为 n＝(x， y，z) ，DC＝(1，2，0)． 由 SC·n＝0，DC·n＝0 得2x＋2y－2z＝0， x＋2y＝0． ，可取 n＝(－2，1，－1) ． 取平面 SAB 的法向量为 AD＝(1，0，0)． 所以|cos＜AD，n＞|＝| －1 2 |＝6 3． 所以|sin＜AD，n＞|＝3 3，|tan＜AD，n＞|＝2 2 由图知平面 SAB 与平面 SCD 所成二面角锐二面角，所以其的正切值为2 2． …………（12 分） 22．解： （1）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y12 3 ，y22 3 ． 两式相减，并由y1－y2 x1－x2得x1＋x2 4 ＋y1＋y2 3 ·k＝0． 由题设知 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m，于是 k＝－ 3 4m． …………（6 分） （2）由题意得 F(1，0)．设 A(x3，y3)，则 (x3－1，y3) ＋(x2－1，y2)＋(x1－1，y1)＝(0，0)，故 x1＋x2＋x3＝3， y1＋y2＋y3＝0． 因为 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2m，所以 x3＝1，y3＝－2m． 又点 P 在 C 上，所以 m＝±3 4，从而 P(1，±3 2)，|FP|＝3 2． 于是|FA|＝＝x12 4 ＝x1 2 x1 2 ＝2－x1 2 ． 同理|FB|＝2－x2 2 ． 所以|FA|＋|FB|＝4－x1＋x2 2 ＝3＝2|FP|． 因此|FA|，|FP|，|FB|成等差数列． …………（12 分）