2018-2019学年广西梧州市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年广西梧州市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 广西梧州市2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（　　）‎ A．16 B．8 C．7 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.‎ ‎2．已知复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，‎ 则根据复数的运算，得.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎18‎ A．2.6 B．-2.6 C．-2.8 D．-3.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据最小二乘法：，求得平均数后代入回归直线即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：；‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过，因此代入点即可求解出.‎ ‎4．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C．－1 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．‎ ‎【详解】‎ 由投影的定义可知：‎ 向量在向量方向上的投影为：，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．‎ ‎5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则.‎ ‎∴，‎ ‎∴所求的概率为 故选A.‎ ‎6．若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,即可求出 进而求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ，∴，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前 项和性质即可，属于基础题型.‎ ‎7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的的方程，由题意得，由此求得结果，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为，‎ 设直线的的方程，‎ 由题意知，圆上恰由3个点到直线的距离等于1，‎ 可得圆心到直线的距离等于1，即，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．2 B．6‎ C．10 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，画出原空间几何体，即可求得几何体的体积。‎ ‎【详解】‎ 由三视图，可得原空间几何体的结构图如下图所示：‎ 该几何体底面为直角梯形，根据各线段长度可得体积为 ‎ ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了由三视图还原空间结构体的应用，棱柱体积的求法，属于中档题。‎ ‎9．已知满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎10．在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则 的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值 ‎【详解】‎ 在中，‎ 由正弦定理可得 化为：‎ 即 在中，，故 ‎,‎ 可得，即 故选 ‎【点睛】‎ 本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点为，，左、右顶点为，，过的直线交于，两点(异于、)，的周长为，且直线与的斜率之积为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由椭圆定义可知，可知△AF1B的周长为，从而得，再设点，可得，从而可得，进而得解.‎ 详解：由△AF1B的周长为，可知.‎ 解得：.则.‎ 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得.‎ 即.①‎ 又，所以，②‎ 由①②解得：.‎ 所以C的方程为.‎ 故选C.‎ 点睛：‎ 此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义而得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积，考查了斜率的坐标表示，及点在椭圆上方程的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.‎ ‎12．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意得，令.‎ 则为内的偶函数，‎ 当时，，‎ 所以在内单调递减 又，故，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的图象在处的切线与直线垂直,‎ 函数的图象在的切线斜率 ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．‎ ‎14．已知实数满足不等式组则的最大值是_____．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，设z＝2x﹣y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【详解】‎ 设z＝2x﹣y，则y＝2x﹣z，‎ 作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：‎ 平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C（3，0）时，直线y＝2x﹣z 的截距最小，此时z最大．‎ z的最大值为z＝2×3＝6，．‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎15．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎∵ 函数的图象恒过定点 ‎∴‎ ‎∵点在直线上 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，当且仅当即时，取等号 ‎∴的最小值为1‎ 故答案为1‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎16．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，可得，在中，，，‎ 在直角三角形中，，‎ 可得，，‎ 取左焦点，连接 ，可得四边形为矩形，‎ ‎，‎ ‎，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法以及双曲线的应用，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列，且.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，若的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，计算为定值，得证，计算的通项公式，再计算的通项公式.‎ ‎（2）求得，利用分组求和法与错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ ‎.‎ 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 令，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得 ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的证明，数列的通项公式，分组求和，错位相减法，综合性强，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.‎ ‎18．随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照[500，1500），[1500，2500），…，[5500，6500]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）求这组数据的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；‎ ‎（3）利用分层抽样从手机价格在[1500，2500）和[500，5500）的人中抽取5人，并从这5人中抽取2人进行访谈，求抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）3720，3750；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用概率和为1计算得到答案.‎ ‎（2）利用平均数的公式计算，然后判断中位数处于落在第四组，根据比例关系得到答案.‎ ‎（3）先排列出所有可能性，共十种，满足条件的有6种，计算得到概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题图， ，‎ 解得.‎ ‎（2）平均数 ‎ （元）.‎ 前三组的频率之和为，‎ 前四组的频率之和为，‎ 故中位数落在第四组.‎ 设中位数为，则，解得.‎ ‎（3）由图知手机价格在和的人数之比为，故用分层抽样抽取的5人中，来自区间的有2人，设为，来自的有3人，设为，.则从这5人中抽取2人的取法有，‎ ‎，共10种.‎ 其中抽取出的2人的手机价格在不同区间的有，共6种 故抽取的2人的手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，平均值，中位数，是常考题型.‎ ‎19．已知四棱锥的底面为菱形，且，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接，证明，，进而得到平面平面 ‎（2）利用等体积法：计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取的中点，连接，‎ 由，知为等腰直角三角形，所以，‎ ‎，又知为等边三角形，所以.‎ 又由得，所以，‎ ‎，所以平面，‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）设点到平面的距离为，由（1）知是边长为2的等边三角形，‎ 为等腰三角形，由，得，‎ 因为，‎ 所以，即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直，等体积法求点到平面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎20．已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.‎ ‎（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.‎ 解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，‎ 所以，所以抛物线的方程为；‎ ‎（2）【解法一】因为点与点关于轴对称 所以设，，，‎ 设直线的方程为，‎ 代入得：，所以，‎ 设直线的方程为，‎ 代入得：，所以，‎ 因为，，所以，即，‎ 所以直线的方程为，必过定点.‎ ‎【解法二】‎ 设，，，‎ 因为点与点关于轴对称，所以，‎ 设直线的方程为，‎ 代入得：，所以，‎ 设直线的方程为，‎ 代入得：，所以，‎ 因为，所以，即，‎ 所以直线的方程为，必过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若是的极值点， 求函数的单调性；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，结合 f′（1）＝0求得a＝1，代入导函数，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上单调递增，且x＝1时y＝0，可得当0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1 时，f′（x）＞0，f （x）单调递增；‎ ‎（2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求导可得其最小值，则a的范围可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 因为是的极值点，‎ 所以，可得．‎ 所以，. ‎ 因为在上单调递增，且时，，‎ 所以时，，，单调递减；‎ 时， ，，单调递增．‎ 故在上单调递减，在上单调递增． ‎ ‎（2）由得，‎ 因为，所以.‎ 设，‎ 则. ‎ 令，‎ 则，‎ 显然在内单调递减，且，‎ 所以时，，单调递减，‎ ‎ 则，即，‎ 所以在内单减，从而.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】(1) ，;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得的极坐标方程。‎ ‎（2）联立直线的极坐标方程与曲线的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线的参数方程为（为参数），‎ 得曲线的普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，‎ 即.‎ 因为直线过原点，且倾斜角为，‎ 所以直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）设点，对应的极径分别为，，‎ 由，‎ 得，‎ 所以，，‎ 又，，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和，属于中档题。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值为3，求实数的值；‎ ‎（2）若时，不等式的解集为，当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）或-5.（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为 ，所以，解得或-5.(2)先利用零点讨论法求出不等式的解集为，再利用平方作差法证明不等式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为 ，‎ ‎（当且仅当时取=号）‎ 所以，解得或-5.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，由，得，解得；又，所以不等式无实数解；‎ 当时，恒成立，所以；‎ 当时，由，得，解得；‎ 所以的解集为.‎ ‎ .‎ 因为，所以，，所以，‎ 即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角绝对值不等式，考查绝对值不等式的解法和比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎