数学卷·2018届福建省泉州市南安市柳城中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届福建省泉州市南安市柳城中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln 2‎ ‎2．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（　　）‎ A．f（x）=x3 B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣1‎ ‎3．下列求导运算正确的是（　　）‎ A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=‎ C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx ‎4．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（　　）‎ A．4 B． C．3 D．2‎ ‎5．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎6．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0‎ ‎7．函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（　　）‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 ‎8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）=，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（　　）‎ A．150 B．200 C．250 D．300‎ ‎9．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1‎ ‎11．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（　　）‎ A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）‎ ‎12．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（　　）‎ A．﹣log20152014 B．1‎ C．﹣1+log20152014 D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13．一质点按规律s=2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为　　m/s，在t=1时的瞬时速度为　　m/s．‎ ‎14．如图，函数y=﹣x2+2x+‎ ‎1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是　　．‎ ‎15．函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算下列定积分．‎ ‎（1）‎ ‎（2）设，则．‎ ‎18．已知曲线y=x3，‎ ‎（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程； ‎ ‎（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．‎ ‎19．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．‎ ‎（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．‎ ‎20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎22．已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致 ‎（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln 2‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）‎ ‎∴f′（x）=lnx+1，‎ ‎∵f′（x0）=2，‎ ‎∴f′（x0）=lnx0+1=2，‎ 解得x0=e，‎ ‎∴x0的值等于e．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（　　）‎ A．f（x）=x3 B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣1‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则，求出导数的原函数为f（x）=x4+c（c为常数），代入值计算即可得到c的值．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=4x3，‎ ‎∴f（x）=x4+c（c为常数），‎ ‎∵f（1）=﹣1，‎ ‎∴1+c=﹣1，‎ ‎∴c=﹣2，‎ ‎∴f（x）=x4﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．下列求导运算正确的是（　　）‎ A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=‎ C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由导数的运算法则逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：选项A，（x+）′=1﹣，故错误；‎ 选项B，（log2x）′=，故正确；‎ 选项C，（3x）′=3xln3，故错误；‎ 选项D，（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（　　）‎ A．4 B． C．3 D．2‎ ‎【考点】余弦函数的图象．‎ ‎【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．‎ ‎【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数为y′，再解y'＜0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．‎ ‎【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，‎ 令y′=1﹣＜0，得x＜1‎ ‎∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．‎ 因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则先求导，再判断其导函数为奇函数，问题得以解决 ‎【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，‎ ‎∴f′（x）=4ax3+2bx，‎ ‎∴f′（﹣x）=﹣4ax3﹣2bx=﹣f′（x），‎ ‎∴f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（　　）‎ A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1），‎ 可得f′（x）=3x2﹣3，令3x2﹣3=0，可得x=±1，‎ ‎±1∉（﹣1，1），x∈（﹣1，1），f（x）＜0．‎ 函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）是减函数，没有最值．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）=，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（　　）‎ A．150 B．200 C．250 D．300‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】先根据“利润=收入﹣成本”列出总利润关于x的函数表达式，由题意这是一个分段函数，再分别求出当0≤x≤390，及x＞390时的总利润的最大值，通过比较得到整个函数的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x，‎ 又总收入R与年产量x的关系是R（x）=，‎ ‎∴总利润Q（x）=，即Q（x）=‎ ‎①当0≤x≤390时，Q′（x）=﹣，令Q′（x）=0得x=300，‎ 由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此时Q（x）是减函数，‎ 由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此时Q（x）是增函数，‎ ‎∴当0≤x≤390时，Q（x）max=Q；‎ ‎②当x＞390时，Q（x）=﹣100x+70090是减函数，∴Q（x）＜Q；‎ ‎∴当x=300时，Q（x）的最大值为40000．‎ 故选D ‎　‎ ‎9．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0‎ ‎ 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．‎ ‎【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；‎ ‎﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；‎ x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．‎ 则符合上述条件的只有选项A．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）‎ A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．‎ ‎【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），‎ 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，‎ ‎∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．‎ ‎∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，‎ ‎∴极大值等于0或极小值等于0．‎ ‎∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，‎ ‎∴c=﹣2或2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（　　）‎ A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）‎ ‎【考点】正弦函数的对称性；函数的值；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】根据函数的对称性和函数的单调性即可比较大小．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=f（π﹣x），则f（x）关于x=对称 ‎∴f（3）=f（π﹣3），f（2）=f（π﹣2）‎ 当时，y=ex+y=sinx，单调递增，‎ ‎∴此时函数f（x）=ex+sinx是增函数．‎ ‎∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，‎ ‎∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），‎ 即f（3）＜f（1）＜f（2）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（　　）‎ A．﹣log20152014 B．1‎ C．﹣1+log20152014 D．﹣1‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1•x2•…•x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，‎ 令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点 ‎（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），‎ 不妨设y=0，可得xn=，‎ 则x1•x2•x3…•xn=••…•=，‎ 从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014‎ ‎=log2015（x1•x2…x2014）‎ ‎=log2015=﹣1．．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13．一质点按规律s=2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为　14　m/s，在t=1时的瞬时速度为　6　m/s．‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】根据平均速度的求解公式平均速度=位移÷时间，建立等式关系即可，利用导数的物理意义即可得出．‎ ‎【解答】解：在时间段[1，2]内的平均速度为=14，‎ v（t）=s′=6t2，‎ 把t=1代入可得t=1时的瞬时速度为v（1）=s′=6，‎ 故答案为：14，6．‎ ‎　‎ ‎14．如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx，计算后即得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=﹣x2+2x+1与y=1的两个交点为（0，1）和（2，1），‎ 所以封闭图形的面积等于S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx ‎=∫02（﹣x2+2x+1﹣1）dx ‎=∫02（﹣x2+2x）dx ‎=（﹣+x2）|=﹣+4=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是　﹣≤a≤　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】问题转化为y′=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，‎ 则只需y′=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，‎ ‎∴只需△=4a2﹣12≤0即可，‎ 解得：﹣≤a≤，‎ 故答案为：﹣≤a≤．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是　（0，]∪[1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，由函数f（x）在[1，2]上为单调函数，得到x∈[1，2]时，f′（x）=≥0恒成立，或f′（x）=≤0恒成立，分离参数a后引入新的辅助函数h（x）=4x﹣，由单调性求得其在[1，2]上的最值得答案．‎ ‎【解答】解：由f（x）=﹣2x2+lnx，得f′（x）=，‎ ‎∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，‎ ‎∴x∈[1，2]时，f′（x）=≥0恒成立，或f′（x）=≤0恒成立，‎ 即对x∈[1，2]恒成立，或对x∈[1，2]恒成立．‎ 设h（x）=4x﹣，‎ ‎∵函数h（x）在[1，2]上单调递增，‎ ‎∴h（2）=4×2﹣=①，或②．‎ 解①得，0＜a≤，解②得，a≥1．‎ ‎∴a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．‎ 故答案为：（0，]∪[1，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．计算下列定积分．‎ ‎（1）‎ ‎（2）设，则．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值函数，分段求出定积分即可，‎ ‎（2）根据分段函数，分别求出定积分即可．‎ ‎【解答】解：（1）=（x+1）dx+（﹣x﹣1）dx，‎ ‎=（x2+x）|﹣（x2+x）|，‎ ‎=2+2﹣+1﹣（﹣1﹣+3），‎ ‎=；‎ ‎（2）设，‎ 则=x2dx+（2﹣x）dx，‎ ‎=x3|+（2x﹣x2）|，‎ ‎=+（4﹣2）﹣（2﹣），‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．已知曲线y=x3，‎ ‎（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程； ‎ ‎（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，可得在x=2处切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程；‎ ‎（2）设切点坐标为（x0， x03），求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，代入点P，解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率和切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）y=x3，导数y′=x2，‎ 曲线在点P（2，f（2））处的切线斜率为4，‎ 切点为（2，），‎ 可得曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣=4（x﹣2），‎ ‎12x﹣3y﹣16=0；‎ ‎（2）设过点P（2，）的直线与曲线相切，‎ 切点坐标为（x0， x03），‎ 所以切线的斜率为，‎ 所以切线方程为，‎ 因为切线过点P（2，），‎ 所以，‎ 解得x0=2或x0=﹣1，‎ 当x0=2时，切线方程为12x﹣3y﹣16=0；‎ 当x0=﹣1时，切线方程为3y﹣3x﹣2=0．‎ 所以所求切线方程为12x﹣3y﹣16=0或3x﹣3y+2=0．‎ ‎　‎ ‎19．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．‎ ‎（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．‎ ‎（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．‎ ‎【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）‎ ‎（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，‎ 当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．‎ 所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）‎ ‎（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．‎ 因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．‎ 最大值在右端点取到．‎ 所以a=．‎ ‎　‎ ‎20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．‎ ‎【解答】解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，‎ 则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30，‎ 当x=10.2时，S取最大值 又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．‎ 即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元 ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；‎ ‎（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 由题意：即 解得 ‎∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6‎ 令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；‎ 令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，‎ ‎∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；‎ 在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．‎ ‎∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；‎ ‎∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．‎ 要使，只需，即：2c2＞7+5c 解得：c＜﹣1或．‎ ‎∴c的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎22．已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致 ‎（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f′（x）g′（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；‎ ‎（2）先求出f′（x）=0的根以及g′（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+a，g′（x）=2x+b．‎ ‎（1）由题得f′（x）g′（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，‎ 进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．‎ 故实数b的取值范围是[2，+∞）‎ ‎（2）令f′（x）=0，得x=．‎ 若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）=ab＜0，‎ 所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．‎ 因此b≤0．‎ 现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0；‎ 当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）＞0．‎ 因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，‎ 从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b≤0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，‎ 又当a=﹣，b=0时，f′（x）g′（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f′（x）g′（x）＞0．‎ 故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年5月17日 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎