2017-2018学年四川省双流中学高二3月月考数学文试题（解析版）

2017-2018学年四川省双流中学高二3月月考数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省双流中学高二3月月考数学文试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 抛物线的准线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线方程即为，故准线方程为选A．‎ ‎2. 若将复数表示为，是虚数单位)的形式,则的值为 A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选.‎ ‎3. 给出如下四个命题：‎ ‎①若“或”为假命题，则，均为假命题；‎ ‎②命题“若且，则”的否命题为“若，则”； ‎ ‎③在中，“”是“”的充要条件；‎ ‎④命题“若”的逆否命题为真命题。其中正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据或命题的真假性可知①正确.否命题要否定条件和结论,且的否定要改为或,故②错误.当,故③错误. ④的原命题为真命题,故逆否命题为真命题,所以正确.综上所述,正确的命题个数为,故选.‎ ‎4. 已知变量之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知,故选.‎ ‎5. 已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴，故．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为．选C．‎ 点睛：求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 ‎(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ ‎(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系．‎ ‎6. 若函数在处有极大值，则 A. 9 B. 3 C. 3或9 D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】因为若函数在处有极大值，所以，解得或，当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极小值（舍去）；当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极大值，即；故选A.‎ ‎7. 在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，‎ 所以动点在以A,B为焦点的椭圆上，其中 由余弦定理可得：， ‎ 整理得:，解得：.‎ 则的面积为.‎ 故选B.‎ ‎8. 方程表示的曲线是 A. 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 一条直线和一条射线 ‎【答案】D ‎【解析】由，‎ 得2x+3y−1=0或.‎ 即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.‎ ‎∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.‎ 故选D.‎ 点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。‎ 在求解方程时要注意变量的范围.‎ ‎9. 在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，M是CD与AB的交点，是等边三角形，O是外心，也是重心，因此有OA＝2OM ‎，记ON＝OM，显然当点在线段MN之间时，所得弦长超过圆内接正三角形边长，因此所求概率为，故选C．‎ ‎10. 已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据反射定律，圆心C（2，-1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，‎ 再由点P（-1，-3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程 ‎11. 已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意不妨设在第一象限 ‎，‎ 双曲线：可化为，‎ 椭圆的离心率为 故选 ‎12. 设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于点，且.记与的面积分别为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x=−,‎ 分别过A. B作准线的垂线，垂足分别为D.E，连结AD、BE、AF.‎ genju 设,直线AB的方程为,与联立消去y，‎ 得,所以，‎ ‎∵|BF|=2,∴根据抛物线的定义,得|BF|=|BE|=+=3,解得=.‎ 由此可得,所以|AD|=+=，‎ ‎∵△CAD中,BE∥AD,∴.‎ 故选：A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出,本题就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知直线与直线互相垂直，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】①当时，两直线的方程分别为和，故两直线垂直；‎ ‎②当时，两直线的斜率分别为和，‎ 由题意得，解得．‎ 综上可得 整理得或．‎ 答案：‎ ‎14. 动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)‎ 动圆过定点P(1,0)，且与定直线l:x=−1相切 即圆心到定点P和到直线l的距离都等于半径 根据两点间的距离公式可知,(x−1)2+y2=(x+1)2整理得.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎15. 函数在处的切线方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，‎ ‎∴，‎ 又 ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 即 答案：‎ ‎16. 已知f (x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝0.现给出如下结论：‎ ‎①f(0)f(1)＞0; ②f(0)f(1)＜0； ③f(0)f(3)＞0; ④f(0)f(3)＜0.‎ 其中正确结论的序号是____________________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，‎ 由f′(x)<0，得10，‎ 得x<1或x>3，‎ ‎∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．‎ 又a0，‎ y极小值＝f(3)＝－abc<0.‎ ‎∴00.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．‎ ‎∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.‎ 解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设是实数,已知命题函数的最小值小于；已知命题： “方程表示焦点在轴上的椭圆”，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】【试题分析】对于命题,二次函数的对称轴,函数在对称轴处有最小值,由此求得的取值范围.对于命题,根据不等式,可求得的取值范围.由于真,假,故一真一假,分别求得真假和假真时点的取值范围并取并集.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ ‎ 真假 ‎ 假真 综上得的范围是或 ‎18. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主). ‎ ‎(1)根据茎叶图,帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.‎ ‎(2)根据以上数据完成如下2×2列联表.‎ ‎(3)能否有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?‎ ‎【答案】（1）50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主（2）见解析（3）有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关 ‎【解析】【试题分析】(1) 由茎叶图可知,30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主.(2)根据题目所给数据,计算,故有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ (1)由茎叶图可知,30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主,50岁以下的人饮食多以肉类为主 ‎(2) 2×2列联表如下所示:‎ ‎(3)由题意,随机变量的观测值 故有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）1:1‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平面几何知识确定，再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取AC的中点O，连结DO，BO.‎ 因为AD=CD，所以AC⊥DO. ‎ 又由于是正三角形，所以AC⊥BO.‎ 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.‎ ‎（2）连结EO.‎ 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.‎ 在中，.‎ 又AB=BD，所以 ‎，故∠DOB=90°.‎ 由题设知为直角三角形，所以.‎ 又是正三角形，且AB=BD，所以.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.‎ ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20. 已知函数的图象过点（0，3），且在和上为增函数，在上为减函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在R上的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）极大值，极小值-6‎ ‎【解析】试题分析：（1）第(1)问，一般根据已知条件得到的方程组，解方程即可. (2)第（2）问，按照求极值的步骤解答即可.‎ 试题解析：（1）的图象过点（0,3）， ‎ ‎， ‎ 又由已知得是的两个根， ‎ ‎ （2）由已知可得是的极大值点， 是的极小值点 ‎21. 已知椭圆（）的两个焦点，，点在此椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】试题分析： （1）第（1）问，根据题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即可. (2)先求出的表达式，再化简为定值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）依题意知：，‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（Ⅱ）∵直线AB过点M(1，0)，∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵N（3，2），∴，‎ 为定值.‎ 点睛：本题的第（2）问的化简，这里化简主要是利用了韦达定理和直线的方程.在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45°，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为,斜率为,根据斜率为可求得的值.化简的表达式,求出的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. ‎ 当a＞0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； ‎ 当a＜0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； ‎ 当a＝0时，f(x)不是单调函数． ‎ ‎(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，‎ ‎∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.‎ ‎∴g(x)＝x3＋x2－2x， ‎ ‎∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.‎ ‎∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，‎ 即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，‎ ‎∴‎ 当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，‎ 由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，‎ 即m＜－5且m＜－9，即m＜－9； ‎ 由g′(3)＞0，即m＞－. ‎ 所以－＜m＜－9.‎ 即实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法. 求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,‎