数学理卷·2018届山东省武城县第二中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届山东省武城县第二中学高二下学期期中考试（2017-04）

高二数学期中考试试题（理科）‎ 一、选择题 ‎1.已知是虚数单位，若，则的虚部为（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列三句话按“三段论”模式排列，顺序正确的是（　　）‎ ‎①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数 A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①‎ ‎3.求曲线在点处的切线方程为（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.等于（　　）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎5.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名学生，则不同的保送方案有（　　）‎ A.12种 B.72种 C.18种 D.36种 ‎6.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度 C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度 ‎7.函数有（　　）‎ A.极大值5，无极小值 B.极小值，无极大值 C.极大值5，极小值 D.极大值5，极小值 ‎8.在的展开式中，的系数为（　　）‎ A. B.120 C. D.15‎ ‎9.设，若函数，有大于0的极值点，则（　　）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.函数是定义域为的函数，对任意实数都有成立，若当时，不等式成立，设，，，则的大小关系是（　　）‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎11的展开式中的系数是（　　）‎ A. B. C.3 D.4‎ ‎12.已知，是三次函数的两个极值点，且，，，则的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13.函数的单调递减区间是 .‎ ‎14.四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种.（用数字作答）‎ ‎15.函数在区间上的极值点为 .‎ ‎16.已知是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是 .‎ ‎‎ 三、解答题 ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知的展开式中，第三项的系数为.‎ ‎（Ⅰ）求该展开式中所有偶数项的二项式系数之和；‎ ‎（Ⅱ）求该展开式的所有有理项.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某商场举行抽奖活动，规则如下：甲箱子里装有个白球和个黑球，乙箱子里装有个白球和个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次抽奖都从这两个箱子里各随机地摸出个球，若摸出的白球个数不少于个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）在一次游戏中，求获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）在三次游戏中，记获奖次数为随机变量，求的分布列.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线为，若时，有极值。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在上的最大值和最小值。‎ ‎‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知.经计算得　.‎ ‎（Ⅰ）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得分，负者得分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为. ‎ ‎（Ⅰ）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率；‎ ‎（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列.‎ ‎22. （本小题满分12分） ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．‎ 高二数学期中考试试题（理科）‎ ‎1～5　ABCCD 6～10　BACCD 11～12　BA ‎13. 14.42 15.1 16.‎ ‎17.解：（Ⅰ），. ‎ 由题意可知：第三项的系数为， ‎ 即，‎ ‎，‎ ‎. ‎ 该展开式中所有偶数项的二项式系数之和为. ‎ ‎（Ⅱ），.‎ 要求该展开式中的有理项，只需令， ‎ ‎， ‎ 展开式中的有理项为：；；‎ ‎；. ‎ ‎18.解：（Ⅰ）设在一次游戏中获奖为事件，则 ‎ . ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知：一次游戏中获奖的概率为，三次游戏，相当于进行三次独立重复试验，可能取的值为：. ‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎. ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎19. 解：（1）由得，‎ 当时，切线的斜率为，可得 ① ‎ 当时，有极值，得 ‎ 可得 ②‎ 由①②解得 ‎ 由于切点的横坐标为 ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得 ‎ ‎ 令，得或 当变化时，的取值及变化如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎4‎ 在上的最大值为13，最小值为 ‎ ‎20.解（Ⅰ）由题意知， ‎ ‎. ‎ 由此得到一般性结论：. ‎ ‎（或者猜测也行）‎ ‎（Ⅱ）证明：‎ ‎（1）当时，， 所以结论成立. ‎ ‎（2）假设时，结论成立，即 ‎ 那么，时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当时，结论也成立. ‎ 综上所述，上述结论对都成立，所以猜想成立. ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，‎ 甲队获得第一名的概率为； ① ‎ 同理：乙队获得第一名的概率为. ② ‎ 由①②得：. ‎ ‎ 所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率. ‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为：. ‎ ‎. ‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎22．解：（Ⅰ）当时，，，切点，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 曲线在点处的切线方程为：，即．‎ ‎（Ⅱ），定义域为，‎ ‎①当，即时，令，‎ 令，‎ ‎ ‎ ‎②当，即时，恒成立， ‎ 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎ 当时，在上单调递增． ‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，在上存在一点，使得成立，‎ 即在上存在一点，使得，‎ 即函数在上的最小值 ‎ 由第（Ⅱ）问，①当，即时，在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎； ‎ ‎②当，即时，在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎③当，即时，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 此时不存在使成立． ‎ ‎ 综上可得所求的范围是：或． ‎