2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第十一章 数学建模与数学探究(自主阅读)

2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版） 第十一章 数学建模与数学探究(自主阅读)

第2节　过程评价与案例赏析 一　测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 ‎[目的]　给出过程性评价，体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、归纳总结，发现问题、积累经验、提升素养.‎ ‎[评价过程]　在每一个学生都完成“测量报告”后，安排交流讲评活动.安排讲评的报告应当有所侧重.例如，测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真等；或误差明显而学生自己没有察觉，测量过程中构建的模型有待商榷等.事实表明，这种形式的交流讲评，往往是数学建模过程中学生收获最大的环节.‎ 附件：某个小组的研究报告的展示片段摘录.‎ 测量不可及“理想大厦”的方法 ‎1.两次测角法 ‎(1)测量并记录测量工具距离地面h m；‎ ‎(2)用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；‎ ‎(3)后退a m，重复(2)中的操作，计算并记录仰角β；‎ ‎(4)楼高x的计算公式为：‎ x＝＋h，‎ 其中α，β，a，h如图所示.‎ 两次测角法示意图 ‎2.镜面反射法 ‎(1)将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能够看到房顶的位置，测量人与镜子的距离；‎ ‎(2)将镜子后移a m，重复(1)中的操作；‎ ‎(3)楼高x的计算公式为x＝，其中a1，a2是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式.‎ 镜面反射法示意图 实际测量数据和计算结果，测量误差简要分析.‎ ‎(1)两次测角法 实际测量数据：‎ 第一次 第二次 仰角 ‎67°‎ ‎52°‎ 后退距离为25 m，人的“眼高”为1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为71.5 m，结果与期望值(70 m～80 m)相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小.‎ ‎(2)镜面反射法 实际测量数据：‎ 第一次 第二次 人与镜子的距离 ‎3.84 m ‎3.91 m 镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大.‎ 产生误差有以下几点原因：‎ 镜面放置不能保持水平；‎ 两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；‎ 人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点；‎ 人体不一定在两次测量时保证高度不变.‎ 综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小，我们准备用更多的测量方法找出理想的结果.‎ 对上面的测量报告，教师和同学给出评价.例如，对测量方法，教师和同学评价均为“优”，因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法；对测量结果，教师评价为“良”，同学评价为“中”，因为两种方法得到的结果相差较大.‎ 对测量结果的评价，教师和同学产生差异的原因是，教师对测量过程的部分项目实施加分，包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析；同学则进一步分析产生误差的主要原因，包括：‎ ‎(1)测量工具问题.两次测角法的同学，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；镜面反射法的同学，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差.‎ ‎(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后，他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a，使得测量精度得到较大提高.‎ ‎(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”，反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度，如照片所示.‎ 在结题交流过程中，教师通过测量的现场照片，引导学生发现问题，让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到，书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式.‎ 测量现场的照片和观察说明：‎ 照片 说明 左图：测量角的工具(量角器)太小，造成仰角的测量误差很大. ‎ 右上图：用腕尺法测量时，腕尺应与地面垂直，手臂水平，否则就没有相似的直角三角形. ‎ 右下图：用镜子反射法时，要保持镜面水平，否则入射三角形和反射三角形就不相似.‎ 测量仰角的工具好：把一个量角器放在复印机上放大4倍复印.在中心处绑上一个铅垂，这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出，这个角是待测仰角的余角.‎ 测量工具好：用自行车来测距离，解决了皮尺长度不够的问题.‎ ‎[分析]　建模活动的评价要关注结果，更要关注过程.‎ 对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%，主要由教师作评价.评价依据是现场观察和学生上交的测量报告，关注的主要评价点有：‎ ‎(1)测量模型是否有效；‎ ‎(2)计算过程是否清晰准确，测量结果是否可以接受；‎ ‎(3)测量工具是否合理、有效；‎ ‎(4)有创意的测量方法(可获加分)；‎ ‎(5)能减少测量误差的思考和做法(可获加分)；‎ ‎(6)有数据处理的意识和做法(可获加分)；‎ ‎……‎ 非数学的评价可以占总评价的40%，主要评价点有：‎ ‎(1)每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态；‎ ‎(2)测量过程中解决困难的机智和办法；‎ ‎(3)讨论发言、成果汇报中的表现等.‎ 非数学的评价主要是在同学之间进行，可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩，并写出评价的简单理由.‎ 二　黄金数的应用 班　　级：高三(　　)班 指导老师：‎ 组　　长：‎ 组　　员：‎ 研究背景：黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.我们在数学、物理、化学、生物及美学中都存在很多的最好、最优化的问题，如何实现最优化从而达到我们的要求，使得我们在各方面都能取得很好的成绩.‎ 研究目的和意义：‎ ‎1.培养学生对数学的学习兴趣；‎ ‎2.提高学习的查找、分析、集中能力；‎ ‎3.拓宽学生的知识面，感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神；‎ ‎4.通过集体配合较好完成对本课题的研究，增加同学间团结合作的精神.‎ 研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告.‎ 研究步骤：查阅资料、实际调查、计算、总结.‎ 预期成果：在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.‎ 研究结果：‎ 一、黄金数的发展“历史”‎ 黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的.一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便停下来仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段.怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1∶0.618的比例截断最优美.‎ ‎0.618在数学中叫黄金比值，又称黄金数.这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称.其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比，如五角星等.‎ 代数上也有许多黄金数的知识，其中最有名的裴波那契数列，也就是1，1，3，5，8，13，21，34，55，89…，或许大家要问这里面没有黄金数啊，其实如果用前一项比后一项，它的比值将会在0.618上下波动，如果你有兴趣还可以算下去，最后你还会得到一个数，一个无限接近于黄金数的比值，不信你可以试一试.‎ 二、黄金数的广泛应用 ‎1.艺术中的黄金数 ‎“0.618”，这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体.在美术史上曾经把它作为经典法则来应用.有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著.例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值.‎ 黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系.例如照相机的片窗比例：135相机就是24×36即2∶3的比例，这是很典型的.只要我们翻开影集看一看，就会发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比例.‎ ‎2.饮食、生活作息中的黄金数 ‎“黄金分割”的比值为0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数.日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素.在他们的膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值.‎ 医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病.‎ 还有喝5杯水.人体内的水分占体重的61.8%，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2 500毫升.其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升，大约占61.8%.其余1 000毫升需要补充，才能保持水平衡.因此，每人一天要喝5杯水.‎ 一天合理的生活作息也应该符合黄金分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道.掌握与运用好黄金分割，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量.‎ ‎3.植物中的黄金数 植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界.‎ 尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的.你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137.5°.如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数.植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的.叶子的排布，多么精巧叶子间的137.5°中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°－137.5°＝222.5°，137.5°∶222.5°≈0.618.瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618.‎ 有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的.‎ ‎4.建筑中的黄金数 世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”.遍布全球的众多优秀近现代建筑，尽管其风格各异，但在构图布局设计方面，都有意无意地运用了黄金分割的法则，给人以整体上的和谐与悦目之美.‎ 举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子，神庙外部呈长方形，长228英尺，宽101英尺，有46根多立克式环列圆柱构成柱廊.‎ 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618，能使平直单调的塔身变得丰富多彩；在现代建筑中，一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理，在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致.如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553.33米)，都是根据黄金分割的原则来建造的.上海的东方明珠广播电视塔，塔身高达468米.为了美化塔身，设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使笔直的塔身有了曲线变化.更妙的是，上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方，即从上球体到塔顶的距离，同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排，使塔体挺拔秀美，具有审美效果.‎ 三、开展生活中实际调查的研究及成果 经过我们的讨论，我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数.‎ ‎1.下面就是我们实地测量结果的统计表格，从中我们发现其实黄金数就在我们的身边.只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近！在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣，生活中处处都应用着数学的知识.‎ 物品 宽(cm)‎ 长(cm)‎ 比值 教室墙体砖块 ‎18‎ ‎29‎ ‎0.621‎ 一片叶子 ‎0.9‎ ‎104‎ ‎0.6428‎ 学生 ‎92‎ ‎150‎ ‎0.613‎ 安中学生证 ‎6.1‎ ‎10‎ ‎0.61‎ 安中校园雕像 ‎51‎ ‎83‎ ‎0.614‎ 安中课桌 ‎40‎ ‎65‎ ‎0.615‎ ‎2.在实地调查、相关问题的访问、同学们之间互相交流讨论后，我们从中获得了不少的生活小知识.‎ 如(1)报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？‎ 答：根据黄金分割，应站在舞台宽度的0.618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播得最好.‎ ‎(2)假如您打算买台25寸的国产彩色电视机，要想物美价廉，最佳价位是多少？‎ 答：如上所述，要想确定最佳价格，我们得知道同一品牌的最高价与最低价，然后根据公式：(最高价位－最低价位)×0.618＋最低价位＝最佳价位.‎ 以下是我们的调查结果 名牌 高档的价格(元)‎ 低档的价格(元)‎ 最佳的价格(元)‎ 长虹彩电 ‎1 350‎ ‎1 280‎ ‎1320‎ 创维彩电 ‎1 295‎ ‎1100‎ ‎1 221‎ ‎(3)请问在夏季，人们为什么格外留恋春天的感觉？‎ 答：人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温37摄氏度与0.618的乘积为22.8摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态.‎ 四、问题与建设 在这次研究性学习中，我们组成员互相合作，共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字，它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.‎ 在研究中，当然也会遇到各种无法预料的问题.刚开始，大家对于黄金数的知识都很缺乏，只是带着一份好奇去探询其中的奥秘，而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏，网上资料又是十分杂乱，对于信息需要筛选，留下对课题研究有用的部分.在学习大量资料以后，我们渐渐了解了黄金数，我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用！既然知道了，我们就更应该在生活中使用黄金数，美化生活.‎