数学理卷·2018届甘肃省陇东中学高二下学期期末考试（2017-07）

数学理卷·2018届甘肃省陇东中学高二下学期期末考试（2017-07）

陇东中学2016-2017学年第二学期期末考试 高二级数学试题（理）‎ 卷面分值:150分 考试时间：120分钟 一、选择题（5*12=60）‎ ‎1、已知， ，且，则的值是（ ）‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎2、已知，若向量共面，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、设函数可导，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、设，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、观察下列各式：，则的末四位数字为 （ ）‎ A. 3125 B. 5625 C. 0625 D. 8125‎ ‎6、利用数学归纳法证明：不等式（， ）的过程中，由变为时，左边增加了（ ）‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎7、已知， 是虚数单位，若与互为共轭复数，且，则在复平面中所表示的点在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 ‎8、为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）‎ A. 150 B. 180 C. 200 D. 280‎ ‎9、若的展开式中的系数为（ ）‎ A. 36 B. -144 C. 60 D. -60‎ ‎10、设随机变量服从正态分布， ，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知随机变量满足，若，则分别是（ ）‎ A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6‎ ‎12、如图所示，在空间直角坐标系中，是坐标原点，有一棱长为的正方体，和分别是体对角线和棱上的动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（5*4=20）‎ ‎13、已知向量=（0,2,1），=（-1,1,-2）,则与的夹角的大小为 ．‎ ‎14、曲线与所围成的图形的面积是__________.‎ ‎15、甲、乙、丙三人代表班级参加校运动会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：‎ ‎（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步，可以判断丙参加的比赛项目是__________．‎ ‎16、给出下列命题：‎ ‎①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；‎ ‎②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；‎ ‎③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；‎ ‎④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.‎ 其中真命题的是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（10分）甲、乙两人各自独立地进行射击比赛，甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．‎ ‎（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；‎ ‎（2）求两人各射击3次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．‎ ‎18、（12分）―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为,若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为.‎ ‎（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？‎ ‎（2）若一次从盒子中随机取出个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率.‎ ‎19、（12分）如图，已知四棱锥的底面为矩形，，且平面分别为的中点.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20、（12分）已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线的点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.‎ ‎21、（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：．‎ ‎（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎22、（12分）已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线方程为，求的极值；‎ ‎（2）若，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ 高二理数答案 一、单项选择 ‎1、【答案】B ‎2、【答案】B ‎【解析】由题意可知，存在实数， 使 ，则 ，解得 .故选B.‎ ‎3、【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ ‎4、【答案】C ‎5、【答案】D ‎【解析】写出幂的前几项，观察后四位，，发现以4为周期，2011除以4余3，所以与后四位相同，故选D． ‎ ‎6、【答案】D ‎【解析】由题设从到，共有个整数，因此左边应增加项，应选答案D。‎ ‎7、【答案】A ‎8、【答案】A ‎【解析】由题设可分如下两类：‎ （1） 若分成的形式，则有种分配方法；（2）若分成1,2,2的形式，‎ （2） 则有种分配方法；由分类计数原理可得，应选答案A。‎ ‎9、【答案】D ‎10、【答案】D ‎11、【答案】B ‎【解析】 随机变量，，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 故选：B．‎ ‎12、【答案】B ‎【解析】题图所示的空间直角坐标系中，易得，，，，则，设，则，设，‎ 于是，‎ 显然当时，，故选B．‎ 二、填空题 ‎13、【答案】‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】由积分的几何意义可知，.‎ ‎15、【答案】参加了跑步比赛.‎ ‎【解析】由题意得，根据（1）（4）可知，甲是最矮的，丙是最高的，‎ 所以甲参加了跳远比赛，且乙参加了铅球比赛，所以丙参加了跑步比赛。‎ ‎16、【答案】①④‎ 三、解答题 ‎17、【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）记“甲连续射击3次至少有1次未击中目标”为事件，‎ 由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，‎ 由 .......5分 ‎（2）记“甲射击3次，恰有2次击中目标”，为事件，‎ ‎“乙射击3次，恰有1次击中目标”为事件，‎ 则．‎ 由于甲、乙射击相互独立，故 。。。。10分 ‎18、【答案】(1)红球个,白球个；(2).‎ 试题解析：‎ ‎（1）设该盒子里有红球个,有白球个.根据题意得 。。。。。。。。。4分 ‎.解方程组得.‎ 红球个,白球个. 。。。。。。。。6分 ‎（2）设“从盒子中任取个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件,则.‎ 因此,从盒子中任取个球,取到的白球个数不少于红球个数的概率为. 。。。。。。。。。12分 ‎19、【答案】(1)详见解析;(2).‎ 试题解析：(1)以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，又平面平面平面. 。。。。。。。6分 ‎(2),由（1）可知为平面的一个法向量，设平面 的法向量为，则，，令，得，二面角的余弦值为.。。。。。12分 ‎20、【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，，‎ ‎∴， 。。。。。。。。。。。1分 ‎∴. ‎ ‎∴切线方程为. 。。。。。。。。。。。。。4分 ‎（Ⅱ）函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令得或. 。。。。。。。。。。。。5分 ‎①当，即时，在上递增.‎ ‎∴在上的最小值为，符合题意； 。。。。。。。7分 ‎②当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴在上的最小值为，不合题意；。。。。。。。。。。。。9分 ‎③当，即时，在上递减，‎ ‎∴在上的最小值为，不合题意； 。。。。。。。。。。。。11分 综上，的取值范围是.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ‎21、【答案】（Ⅰ），人；（Ⅱ）的分布列见解析，．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除外的频率和为，‎ ‎∴ 。。。。。。。。2分 ‎500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）。。。。。。。。。。4分 ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故的可能取值为． 。。。。。。5分 ‎，，‎ ‎，．‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎。。。。。。10分 所以． 。。。。。。。。。。。。。12分 ‎22、【答案】（1），无极小值；（2）.‎ 试题解析：（1）依题意，，。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 又由切线方程可知，，斜率，‎ 所以，解得， 。。。。。。。。。。。3分 所以，‎ 所以，‎ 当时，的变化如下：‎ ‎+‎ ‎－‎ 极大值 所以，无极小值. 。。。。。。。。6分 ‎（2）依题意，，所以，。。。。。。。。。7分 ‎①当时，在上恒成立，故无极值； 。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ‎②当时，令，得，则，且两根之积，‎ 不妨设，则，即求使的实数的取值范围.‎ 由方程组消去参数后，得，‎ 构造函数，则，所以在上单调递增，‎ 又，所以解得，即，解得.‎ 由①②可得，的范围是. 。。。。。。。。 12分