2013湖北卷（理）数学试题
理科数学)
1． 在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．D [解析] z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i，z对应的点在第四象限，选D.
2． 已知全集为，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁B)＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0
4}，可得答案为C.
3． 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∨(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.
4． 将函数y＝cos x＋sin x(x∈)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
4．B [解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.
5． 已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．D [解析] e＝＝，C1与C2的＝tan2 θ，故e1＝e2，选D.
6． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B. C．－ D．－
6．A [解析] ＝(2，1)，＝(5，5)，||·cos〈，〉＝＝，选A.
7． 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
7．C [解析] 令v(t)＝0，得3t2－4t－32＝0，解得t＝4，求定积分得行驶距离为s＝v(t)dt＝(7－3t＋)dt＝[7t－t2＋25ln(1＋t)])0＝4＋25ln 5，选C.
8． 一个几何体的三视图如图1－1所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )
图1－1
A．V10，f(x2)>－
B．f(x1)<0，f(x2)<－
C．f(x1)>0，f(x2)<－
D．f(x1)<0，f(x2)>－
10．D [解析] f′(x)＝ln x－(2ax－1)＝0ln x＝2ax－1，函数y＝ln x与函数y＝2ax－1的图像有两个交点，令y1＝ln x，y2＝2ax－1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y
＝2ax－1与曲线y＝ln x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝，故曲线y＝ln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是y－ln x0＝(x－x0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x0＝－1，解得x0＝1，故过点(0，－1)的曲线y＝ln x的切线斜率是1，故2a＝1，即a＝，所以a的取值范围是(0，)．因为00，f(x)递增，f(1)＝－a，f(x1)f(1)＝－a>－，选D.
11． 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
图1－3
11．(1)0.004 4 (2)70 [解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1x＝0.004 4.
(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.
12． 阅读如图1－4所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.
图1－4
12．5 [解析] 逐次运算结果是a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5，满足条件，输出i＝5.
13． 设x，y，z∈，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.
13. [解析] 由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y＋3z)2＝14，当＝＝时取“＝”，故x＝，y＝，z＝，则x＋y＋z＝.
14． 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1
，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n，3)＝n2＋n，
正方形数 N(n，4)＝n2，
五边形数 N(n，5)＝n2－n，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.
14．1 000 [解析] 观察得k每增加1，n2项系数增加，n项系数减少，N(n，k)＝n2＋(4－k)，故N(10，24)＝1 000.
图1－5
15． (选修4－1：几何证明选讲)
如图1－5所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
15．8 [解析] 设AB＝6k，则AD＝2k，DO＝k，CO＝3k，设EO＝x，由射影定理：DO2＝EO·CO，k2＝x·3k，x＝，故＝＝8.
16． (选修4－4：坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
16. [解析] 直线l的直角坐标方程为x＋y－m＝0，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线与圆相切得：m2＝2b2.又椭圆C的一般方程为＋＝1，直线过椭圆焦点，故m＝c，所以c2＝2b2e＝＝.
17． 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5 ，b＝5，求sin Bsin C的值．
17．解： (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0.
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
因为0n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；
(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．
图1－9
21．解： 依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a>m>n>0，λ＝>1.
(1)方法一：如图①，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，所以＝.在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，于是＝＝＝.
若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.由λ>1，可解得λ＝＋1，故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
方法二：如图①，若直线l与y轴重合，则
|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；
S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.
所以＝＝＝，若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝＋1，故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.
(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则
因为d1＝＝，d2＝＝，所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ，即|BD|＝λ|AB|.由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是
＝.①
将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
xA＝，xB＝.
根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是
＝＝＝.②
从而由①和②式可得
＝.③
令t＝，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2＝.因为k≠0，所以k2>0，于是③式关于k有解，当且仅当>0，等价于(t2－1)(t2－)<0，由λ>1可解得1，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.
方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，
点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则
因为d1＝＝，d2＝＝，所以d1＝d2.
又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ.
因为＝＝＝λ，所以＝.
由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，可得
＋＝1，＋＝1，两式相减可得＋＝0，依题意xA>xB>0，所以x>x，所以由上式解得k2＝.
因为k2>0，所以由>0，可解得1<<λ，
从而1<<λ，解得λ>1＋，所以
当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；
当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.
22．， 设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；
(2)证明：0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0.
(2)由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等号当且仅当x＝0时成立，故当x>－1且x≠0时，有(1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.①
在①中，令x＝(这时x>－1且x≠0)，得>1＋.
上式两边同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即
nr<.②
当n>1时，在①中令x＝－(这时x>－1且x≠0)，类似可得nr>，③
且当n＝1时，③也成立，综合②，③得
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