考点54+数系的扩充与复数的引入-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点54+数系的扩充与复数的引入-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点54　数系的扩充与复数的引入 ‎【考纲要求】‎ ‎1.理解复数的基本概念．‎ ‎2．理解复数相等的充要条件．‎ ‎3．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．‎ ‎4．会进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ ‎【命题规律】‎ 分析近几年的高考命题不难发现复数是每年高考必须考查的内容之一，通常是第2题，分值5分，预计2018年仍会保持往年的命题规律，主要涉及到复数的概念、复数的运算、复数的几何意义等方面得知识，且不会与其它的知识相交汇．‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）复数的有关概念 例1 （1）【2015高考重庆，文11】复数的实部为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，故知其实部为．‎ ‎（2）【2013，安徽文1】设i是虚数单位，若复数(a∈R)是纯虚数，则a的值为 (　　 )‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】D ‎【方法技巧归纳】复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实数和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．‎ ‎【变式1】【变为根据复数为纯虚数求参数】设是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则（　　　）‎ A．　　　　B．‎1　‎　　　C．　　　　D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意： ，满足题意时，解得： ，故选B．‎ ‎【变式2】【变求复数的实部为求含有参数的复数的虚部】已知复数是纯虚数（其中为虚数单位，），则的虚部为（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】．∵复数是纯虚数，∴，∴，∴z的虚部为，故选A．‎ ‎（二）复数的几何意义 例2 【2017课标Ⅲ】复平面内表示复数的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】由题意：，在第三象限. 所以选C．‎ ‎【方法技巧归纳】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．复数对应的点的坐标就是向量的坐标，对于复数，其对应的点的坐标是．‎ ‎【变式1】【变确定复数对应的点所在象限为确定共轭复数对应的点】已知复数满足，则在复平面内复数对应的点为（　　　）‎ A．　　　 B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数满足， ,‎ ‎, 在复平面内复数对应的点为,故选A．‎ ‎【变式2】【变为根据复数对应的点所在象限求参数】复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：，满足题意时： ，据此可得： 的取值范围是，故选A．‎ ‎（三）复数的代数运算 例3 【2017课标Ⅱ】（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，故选B．‎ ‎【方法技巧归纳】（1）把看作一个字母，复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算；（2）在只含有的方程中，类似于代数方程中的，可直接求解；（3）在含有中至少两个的复数方程中，可设，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于的方程组，求出，从而得出复数．‎ ‎【变式1】【变乘法运算为除法运算】复数满足（其中为虚数单位），则（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）因为，故选C．‎ ‎【变式2】【变为乘法与除法混合运算】若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【数学思想】‎ ‎1．方程思想的应用：在复数的概念、运算、几何意义中涉及到参数的求值问题，通常要通过建立方程（组）来解决；‎ ‎2．数形结合思想的应用：复数与平面上的点是一一对应的，因此有一些复数问题，可考虑其几何意义，将涉及到的相关问题转化为平面坐标系中点、线的位置关系问题，利用图形的直观性求解，如满足的点是复平面上以点为圆心，以为半径的圆．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊模拟】复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数的虚部为，故选A.‎ ‎2．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命题，从而否命题为假命题，逆否命题为假命题。因此真假性的判断为假假真。选C．‎ ‎3．【辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考】已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】，所以，故选C．‎ ‎4．【广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考】设是虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，故选A．‎ ‎5．【广西玉林市、柳州市2017届高三4月联考】复数在映射下的象为，则的原象为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎6．【黑龙江省齐齐哈尔市2017届高三上学期第一次模拟】设，若（为虚数单位）为正实数，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵为正实数，∴，且，∴，故选B．‎ ‎7．【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年级第一学期联考】已知是虚数单位，若为纯虚数，则（ ）‎ A. 1 B. -1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】为纯虚数，故，故选D．‎ ‎8．【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考】已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎9．【湖北省八校2018届高三上学期第一次联考】已知复数的实部与虚部和为，则实数的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴解得，故选D．‎ ‎10．【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017届高三第二次模拟】已知复数，则复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，所以，故选A．‎ ‎11．【2018年高考2017年11月份衡水联考】已知为虚数单位，则下列各式计算错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ， ， ，故选C．‎ ‎12．【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数 ，在平面里对应的点为，故选B．‎ ‎13．【河北省保定市2017届高三下学期第一次模拟】在复平面内，若，则中，点C对应的复数为（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　 D．‎ ‎【答案】B ‎14．【河北省临漳县第一中学2018届高三上学期第一次月考】复数，若复数， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则有， ，故选A.‎ ‎15．【广东省德庆县香山中学2018届高三理科数学第一次模拟】已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得∴的取值范围是，故选C．‎ ‎16．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】已知函，若，有，则（是虚数单位）的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎17．【天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试】已知复数是纯虚数，（ 为虚数单位)，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以 ‎ ‎18．【内蒙古阿拉善左旗高级中学 2018届高三10月月考】定义一种运算如下： ，则复数的共轭复数是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数 ，其共轭复数为，故答案为．‎ ‎19．【江苏省盐城中学2018年高三模拟】已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎20．【河北省枣强中学2017-2018学年高三上学期期末考试】已知复数， ， ，它们在复平面上对应的点分别为，若，()，则的值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题设得三点的坐标分别为，将三向量的坐标代入得，因此，即，所以．‎ ‎21．【河北省邢台市2017-2018学年高三上学期期末】已知复数的实部为，其中　为正实数，则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】复数i的实部为2，其中为正实数，∴2a+b=2，∴.则,当且仅当时取等号．‎ ‎22．【福建省师大附中2017-2018学年高三下学期期中】已知， ，则的最大值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由已知， ，设 则．‎ ‎23．【天津市第一中学2018届高三下学期第五次月考】　若复数（， ‎ 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由题设可得，即．‎ ‎24．【江苏省扬州中学2016-2017学年高二4月月考】　=_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎25．【江苏省如东高级中学2018届高三下学期第一次阶段测试】　， ， ，则集合中元素的模的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，由题意可知： ， 表示以 为圆心， 为半径的圆及其内部， ， 表示的是以点 为端点的线段的垂直平分线，则集合M的轨迹为线段AB，据此可得：集合中元素的模的取值范围是.‎ ‎ ‎