数学理卷·2018届四川省邻水实验学校高三上学期第一阶段检测（2017

数学理卷·2018届四川省邻水实验学校高三上学期第一阶段检测（2017

邻水实验学校2017年秋高三上第一阶段检测 数学（理）试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.“sinα=cosα”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.已知复数z=，则的虚部为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．3i D．﹣3i ‎3.曲线y=x2与直线y=2x所围成图形的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.函数f(x)＝x2(2x-2-x)的大致图像为（ ）‎ ‎5.在△ABC中，若BC=2，A=120°，则•的最大值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6.已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则=（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎7.（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520‎ ‎8.下列各式错误的是（　　）‎ A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6 C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4‎ ‎9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S10=110，则的最小值为（　　）‎ A．7 B．8 C． D．‎ ‎10.奇函数f（x）在（0，+∞）内单调递增且f（2）=0，则不等式>0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（1，2） B．（﹣2，0）∪（1，2）‎ C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）‎ ‎11.下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①函数的一个对称中心为 ‎②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4‎ ‎③在中，是的充要条件；‎ ‎④已知：，则的值域为 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12.已知函数f（x+）=．则f（）+f（）+…+f（）=（　　）‎ A．2017 B．2016 C．4034 D．4032‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设a＞0，b＞0，若是与的等比中项，则+的最小值是　 　．‎ ‎14.如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是　 　．‎ ‎15.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是　　．‎ ‎16.一天，小波老师在爬教学楼楼梯时,一步可以跨上1个台阶,2个台阶,或者3个台阶.共有13个台阶,请你帮忙计算小波老师爬完13个台阶共有______种不同走法．‎ 三、解答题（每小题12分，共60分）‎ ‎17.已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．‎ ‎（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎18.如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．‎ ‎19.已知正数数列{}的前n项和满足：2S=a+ （Ⅰ）求数列{}的通项公式； （Ⅱ）设 求数列{bn}的前2n项和．‎ ‎20.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.且满足b=acosC+csinA.‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若边长a=2，求面积的最大值。‎ ‎21.已知函数f（x）＝ln（2ax＋1）＋－（a∈R）．‎ ‎ （Ⅰ）若x＝2为f（x）的极值点，求实数a的值；‎ ‎ （Ⅱ）若y＝f（x）在[2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）当a＝－时，方程f（1－x）＝＋＋x－1有实根，求实数b的最大值．‎ 四.选做题（考生从22,23中选择一题作答，每小题10分，共10分）‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线C1和C2公共弦的长度．‎ ‎23.已知函数f（x）=|x﹣a|，a∈R ‎（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤﹣1}，求a的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1.B ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由“sinα=cosα”得：α=kπ+，k∈Z，‎ 故sinα=cosα是“”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎2.B ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案．‎ ‎【解答】解：由=，‎ 得，‎ ‎∴的虚部为3．‎ 故选：B．‎ ‎3.C ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】联立解方程组，得到曲线y=x2及直线y=2x的交点是（0，0）和A（2，4），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x﹣x2在[0，2]上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积．‎ ‎【解答】解：由，解得曲线y=x2与直线y=2x的图象交点为（0，0），（2，4）‎ 因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是 S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识．‎ ‎　‎ ‎4.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，‎ 由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，‎ 所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，‎ 于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，‎ 因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，‎ 故选A．‎ ‎5.A ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由，⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB， •=AC•ABcos120°即可 ‎【解答】解：∵，∴ ⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤‎ ‎∴•=AC•ABcos120°≤，则•的最大值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a2+b2≥2ab的应用，属于基础题．‎ ‎6.D ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意可知，且向量，的夹角为，然后求得，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵，且向量，的夹角为，‎ ‎∴==．‎ ‎∴=．‎ 故选：D．‎ ‎7.B ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据展开式中各项系数的和2求得a的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项．‎ ‎【解答】解：令x=1可得（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为（a+1）=3，∴a=2．‎ ‎∴（x+）（3x﹣）5 =（x+）（3x﹣）5 ‎ ‎=（x+）（•243x5﹣•162x3+•108x﹣•+•﹣•），‎ 故该展开式中常数项为﹣•72+2•108=1440，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求二项展开式各项的系数和的方法，属于中档题．‎ ‎8.C ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．‎ ‎【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；‎ B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；‎ C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；‎ D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；‎ 故选C．‎ ‎9.D ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】设等差数列{an}的公差为d，由已知易得an和Sn，代入可得，由基本不等式可求．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则，解得 故an=2+2（n﹣1）=2n，Sn=2n+=n2+n 所以==‎ ‎≥=，当且仅当，即n=8时取等号，‎ 故选D ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及基本不等式求最值，属基础题．‎ ‎10.D ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】通过当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），当0＜x＜1时，f（x）＜0，又函数f（x）为奇函数，求出x＜0时不等式的解集，进而求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，‎ 又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），∴x＞2．‎ 当0＜x＜1时，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 又函数f（x）为奇函数，‎ 则f（﹣2）=0且f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，‎ 则当x＜0时，f（x）＜0=f（﹣2），∴x＜﹣2，‎ 综上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜﹣2，‎ 故选：D ‎11.A ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3‎ ‎∴f′（x）=ex+4‎ 当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0‎ f（）=﹣1＞0‎ f（）=﹣2=﹣＜0‎ ‎∵f（）•f（）＜0，‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）‎ 故选：A ‎12.D ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性求值即可．‎ ‎【解答】解：f（x）===2+，‎ 令g（x+）=，得g（x+）是奇函数，‎ ‎∴f（）+f（）+…+f（）=2×2016=4032，‎ 故选：D．‎ ‎13.4‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．‎ ‎【解答】解：∵是3a与3b的等比中项 ‎∴3a•3b=3a+b=3‎ ‎∴a+b=1‎ ‎∴ab≤=（当a=b时等号成立）‎ ‎∴+==≥4．‎ 故答案为：4‎ ‎14.‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解即可．‎ ‎【解答】解：依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2‎ 所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，an﹣an﹣1=n 累加得 an﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．‎ ‎15.1﹣‎ ‎【考点】CF：几何概型．‎ ‎【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，‎ ‎∴三角形的高AD=4，‎ 则三角形ABC的面积S=，‎ 则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，‎ 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，‎ 则阴影部分的面积为S1=12﹣=12﹣2π，‎ 则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，‎ 故答案为：1﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．‎ ‎16.2‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】利用“当点P，M，N三点共线时，取得最大值”，此时≤，而，可得=，可知当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，求出即可．‎ ‎【解答】解：设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．‎ ‎∵，∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值．‎ 此时≤，而，‎ ‎∴=，‎ 当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，‎ ‎∴==2．‎ 故答案为2．‎ ‎17.‎ ‎【考点】H2：正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；‎ ‎（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，‎ ‎∴cosα=，‎ ‎∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣‎ ‎=×（+）﹣‎ ‎=；‎ ‎（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣‎ ‎=sinxcosx+cos2x﹣‎ ‎=sin2x+﹣‎ ‎=（sin2x+cos2x）‎ ‎=sin（2x+），‎ ‎∴f（x）的最小正周期为T==π；‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；‎ ‎∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎18.‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）求出平面PDB的法向量为，，从而可求点A到平面PBD的距离；‎ ‎（Ⅲ）求出平面ABP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD交于O点 ‎∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD 以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，‎ 则 ‎∵…‎ ‎∴‎ ‎∴DB⊥AP ‎∵AC⊥BD，AC∩AP=A ‎∴DB⊥平面PAC，又DB⊂平面PDB ‎∴平面PBD⊥平面PAC…‎ ‎（Ⅱ）解：设平面PDB的法向量为，‎ 由，∴‎ 令z1=1得…‎ ‎∵‎ ‎∴点A到平面PBD的距离=…‎ ‎（Ⅲ）解：设平面ABP的法向量，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴…‎ ‎∴…‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为…‎ ‎19.‎ ‎【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，利用错位相减法，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得：‎ 结合an＞0得an+1﹣an=1 …..‎ 令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，‎ 所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n…..‎ ‎（2）因为bn==（n≥2）‎ 所以Tn=+…+①‎ Tn=+…++②…..（8分）‎ ‎①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣，‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣．…..（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，属于中档题．‎ ‎20.‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）OA=2=2，可得y=f（x）=2x，x∈（0，40）．‎ ‎（2）平方利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）AB=2OA=2=2，‎ ‎∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）．‎ ‎（2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号．‎ ‎∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21.‎ ‎22.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2‎ α=1消去参数α可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．‎ ‎（II）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．求出圆心C1到公共弦所在的直线的距离d．利用公共弦长=2即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α可得普通方程：（x﹣1）2+y2=4，即x2+y2﹣2x=3．‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为x2+（y﹣2）2=4．‎ ‎（II）x2+y2﹣2x=3与x2+y2=4y相减可得公共弦所在的直线方程：2x﹣4y+3=0．‎ 圆心C1（1，0）到公共弦所在的直线的距离d==．‎ ‎∴公共弦长=2=．‎ ‎【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、两相交圆的公共弦长、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎23.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得绝对值不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）由不等式f（x）+3x≤0，求得x≤﹣，且x≤．分类讨论，根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，‎ 即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．‎ 由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，‎ 由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，故不等式的解集为{x|x≤﹣0.5}．‎ ‎（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），‎ 即 3x≤x﹣a≤﹣3x，求得 x≤﹣，且x≤．‎ 当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，‎ 可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．‎ 当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，‎ 可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．‎ 综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．‎