2017-2018学年湖北省高二下学期期末阶段摸底调研联合考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省高二下学期期末阶段摸底调研联合考试数学（文）试题（解析版）

湖北省2017-2018学年高二下学期期末阶段摸底调研联合考试 高二数学(文科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数的模为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合,,则下图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知向量,若与垂直,则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知等比数列的前项和为,若,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 己知函数,若,则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,则所得图象对应的函数的解析式为( )‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8. 已知双曲线的一个焦点坐标为,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )‎ A． B． ‎ C. D．或 ‎9. 执行如下图所示的程序框图,若输入的,则输出的的值分别为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 函数的大致图象为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11. 在正四棱锥中,已知,若都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的（ ）‎ A．倍 B．倍 C. 倍 D．倍 ‎12. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设等差数列的首项为,若,则的公差为 ．‎ ‎14. 抽样统计甲、乙两位同学次数学成绩绘制成如下图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为 ．‎ ‎15. 设满足约束条件,则的最大值是 ．‎ ‎16. 已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是 ．‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答 .‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17. 在中,角所对的边分别为,且.‎ ‎ (1)求角的大小 ‎ (2)若,求的值.‎ ‎18. 某大型商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了位顾客的购物总额(单位元),将数据按照，分成组,制成了如下图所示的频率分布直方图:‎ 该商场每日大约有名顾客,为了增加商场销售总额,近期对一次性购物不低于元的顾客发放纪念品.‎ ‎ (1)求频率分布直方图中的值,并估计每日应准备纪念品的数量； ‎ ‎ (2)若每日按分层抽样的方法从购物总额在三组对应的顾客中抽取名顾客,这名顾客中再随机抽取两名超级顾客,每人奖励一个超级礼包,求获得超级礼包的两人来自不同组的概率.‎ ‎19. 在多面体中, 平面,,四边形是边长为的菱形.‎ ‎ （1）证明: ；‎ ‎ （2）线段上是否存在点,使平面,若存在,求的值；‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点.‎ ‎ (1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率；‎ ‎ (2)若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎ (1)若函数的图象在点处的切线方程为,求的值；‎ ‎ (2)当时,在区间上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.‎ ‎(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为 ‎ .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎ (1)求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎ (2)若射线与的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎ (1)当时,求不等式的解集；‎ ‎ (2)当时, 的图象与轴围成的三角形面积大于,求的取值范围.‎ 高二数学参考答案(文科)‎ ‎1.A ，.‎ ‎2.B ，则或，由韦恩图可知图中阴影部分为.‎ ‎3.C 由,得, .因为与垂直,所以,解得.‎ ‎4.B .‎ ‎5.D ，即，所以.‎ ‎6.A 该几何体为一棱长为的正方体掏掉一个棱长为的小正方体,再放置进去一个半径为的球,所体积为.‎ ‎7.D 函数的图象经伸长变换得到的图象,再作平移变换得到的图象.‎ ‎8.A 由题可知双曲线的渐近线方程为,即，又焦点坐标为,所以,解得，故双曲线的方程为.‎ ‎9.C ；；；.‎ ‎10.A ，为奇函数,排除.‎ 又，故排除,从而选.‎ ‎11.D 在正四棱锥中, ,即为正三角形.设，则 底面,且,则,故即为球心,且此球的半径为,其表面积为,又正方形的面积为,故选.‎ ‎12.B 因为函数,所以,导函数在上是单调递增函数.又 ‎,,所以在上有唯一的实根,设为,且，则为的最小值点,且,即.故，因为,所以.‎ ‎13. ，.‎ ‎14. 由数据可以看出运动员乙成绩较稳定,其平均成绩为,其方差为 ‎.‎ ‎15. 不等式组表示以，为顶点的三角形区域,当直线经过点时，取得最大值.‎ ‎16. 设，则线段的中点坐标为，代入圆的方程得 ‎,即方程组有解,问题转化为两圆与 有公共点,所以，解得.‎ ‎17. 解:(1)由正弦定理得，‎ ‎ 由于,所以,所以，‎ ‎ 则.‎ ‎ 因为,所以,所以，‎ ‎ 所以.‎ ‎ (2)由可得,‎ 所以.‎ 由余弦定理得，‎ 所以.‎ ‎18. 解: (1) ，.‎ 该商场每日应准备纪念品的数量大约为.‎ ‎(2)由直方图可知三组人数比例为,所以这三组抽取的人数分别为.‎ 记这人分别为,.所有抽取的情况，‎ ‎，共15种.‎ 其中两人来自不同组有种,所以获得超级礼包的两人来自不同组的概率为.‎ ‎19. ‎ ‎ (1)证明:连接,由平面,得平面,‎ ‎ 又平面所以,‎ ‎ 由四边形是菱形,得,‎ ‎ 又,平面所以平面，‎ ‎ 因为平面,所以.‎ ‎ (2)解:存在这样的点，且.证明如下:‎ ‎ 连接交于,过作交于,连接.‎ ‎ 因为,且，所以.‎ ‎ 因为所以,即.‎ ‎ 因为平面,,所以,所以.‎ ‎ 因为,,所以.‎ ‎ 于是且,所以四边形为平行四边形，‎ ‎ 于是,即，‎ ‎ 又平面,平面,所以平面.‎ ‎20. 解:因为抛物线的焦点为,所以,故.‎ 所以椭圆.‎ ‎ (1)设,则 两式相减得，‎ 又的中点为,所以.‎ 所以.‎ 显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.‎ ‎ (2)椭圆右焦点.‎ 当直线的斜率不存在或者为时, .‎ 当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，‎ 设,联立方程得 消去并化简得，‎ 因为，‎ 所以，.‎ 所以 同理可得.‎ 所以为定值.‎ ‎21. 解:(1)因为,所以,即.‎ 又因为,所以切点坐标为,‎ 因为切点在直线上,所以.‎ ‎(2)因为,所以.‎ 当时, ,所以函数在上单调递增,令,此时,符合题意；‎ 当时,令,则,则函数在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎①当,即时,则函数在上单调递减,在上单调递增 ‎,解得.‎ ‎②当,即时,函数在区间上单调递减,则函数在区间上的最小值为,解得,无解.‎ 综上，，即得取值范围是.‎ ‎22. 解:(1)在直线的参数方程中消去可得, ，‎ 将代人以上方程中，‎ 所以,直线的极坐标方程为.‎ 同理,圆的极坐标方程为.‎ ‎ (2)在极坐标系中,由已知可设，.‎ 联立可得，‎ 所以.‎ 因为点恰好为的中点,所以,即.‎ 把代入，得，‎ 所以.‎ ‎23. 解:(1)当时, .‎ 不等式等价于 或 或 解得或，即.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎ (2)由题设可得, ‎ 所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，‎ ‎.‎ 所以三角形的面积为.‎ 由题设知, 解得.‎