2018-2019学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．从已经编号的名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是　　‎ A．74 B．83 C．92 D．96‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 样本间隔为，‎ 第10组抽取的号码是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．‎ ‎2．命题“，”的否定是　　‎ A．“， B．“，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是：，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎3．甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完 若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于丙、丁的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．‎ ‎【详解】‎ 如下图，利用隔板法，‎ 得到共计有种领法，‎ 乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，‎ 乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，‎ 乙获得“最佳手气”的情况总数，‎ 乙获得“最佳手气”的概率．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎4．对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是　　‎ A．甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63‎ B．甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56‎ C．甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数 D．甲消费额的方差小于乙消费额的方差 ‎【答案】D ‎【解析】由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可得：‎ 对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；‎ 对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；‎ 对于C，，，可得，可得正确；‎ 对于D，，‎ ‎，‎ 可得：，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．‎ ‎5．抛物线C：的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为　　‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线C：的焦点为，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即，‎ 时，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎6．已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为　　‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．‎ ‎【详解】‎ 函数，可得，切线的斜率为：，‎ 切点坐标，切线方程l为：，‎ l在y轴上的截距为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．求切线方程的方法：‎ ‎①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；‎ ‎②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.‎ ‎7．已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点，双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，可得，‎ 可得，解得，‎ 所以双曲线C的渐近线方程：‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎8．正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与平面所成角的正弦值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ 正方体中，O为底面ABCD的中心，‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体中棱长为2，‎ 则1，，0，，0，，2，，‎ ‎，，1，，‎ 设平面的法向量y，，‎ 则，取，得0，，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则．‎ 直线与平面所成角的正弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。‎ ‎9．函数在时有极值0，那么的值为　　‎ A．14 B．40 C．48 D．52‎ ‎【答案】B ‎【解析】，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数，，若在时有极值0，‎ 可得，‎ 则，解得：，或，，‎ 当，时，满足题意函数在时有极值0．‎ 当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s，k依次是　　‎ A．15，4‎ B．15，5‎ C．31，6‎ D．31，7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 ‎，，， ‎ 第1次执行循环体，，，， ‎ 第2次执行循环体，，，， ‎ 第3次执行循环体，， ‎ 第4次执行循环体，，，， ‎ 第5次执行循环体，， ‎ 第6次执行循环体，， ‎ 第7次执行循环体，， ‎ 第8次执行循环体，，，， ‎ 此时，满足条件，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎11．已知双曲线C：，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB的面积是　　‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，则，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 设PA和渐近线平行，PB和渐近线平行，‎ 由PA：，PB：，‎ 且PA和渐近线的距离为，‎ 由和，求得，‎ 可得，‎ 即有四边形OAPB的面积是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点、，并设直线l的方程为，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并结合韦达定理得出直线QM和直线NQ的斜率互为相反数，得出的角平分线为x轴，利用角平分线的性质得出，可得出，代入韦达定理并消去可得出关于的函数表达式，可计算出的范围，由可得出直线MN的斜率k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 设直线l的方程为，则，设点、‎ 将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．‎ ‎．‎ 所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，‎ 将式代入韦达定理得，‎ ‎，则，所以，，‎ ‎，所以，．‎ 设直线MN的斜率为k，则 即，所以，，解得或．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与抛物线的综合问题，考查角平分线的性质，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象在点处的切线斜率为______．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】先对函数进行求导运算，根据在点处切线的斜率为在点处的导数值，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 函数的图象在点处的切线斜率为：0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题．‎ ‎14．已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，底面ABCD，底面ABCD为正方形，现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥的内部的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 四棱锥扩展为正方体，‎ 则正方体的对角线的长是外接球的直径，‎ 即，即，‎ 则四棱锥的条件，球的体积为，‎ 则该点取自四棱锥的内部的概率，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．‎ ‎15．椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的短轴长是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用椭圆的定义以及余弦定理以及三角形的面积，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，‎ ‎，，，，‎ 可得：，，，‎ ‎，‎ 解得：‎ 则椭圆C的短轴长是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎16．函数，，，若存在实数x，使得成立，则a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 函数，，，‎ 若存在实数，使得成立，‎ 可得成立，‎ 可令，‎ ‎，‎ 由，时，，递增；‎ 时，，递减，‎ 可得处取得极小值，且为最小值，‎ 可得，解得，‎ 故a的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．导数问题经常会遇见有解的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ 三、解答题 ‎17．已知p：，q：，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出p的等价条件，结合必要条件的定义转化为当时，恒成立问题进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由得，即p：，‎ 若q是p的必要条件，即，‎ 即当时，恒成立，‎ 即恒成立，‎ 设，函数的导数，‎ 当时，恒成立，即此时为增函数，‎ 即当时，函数取得最小值为，‎ 则，‎ 即实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的定义，根据必要条件的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎18．某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：‎ 车辆数x ‎10‎ ‎18‎ ‎26‎ ‎36‎ ‎40‎ 用次卡消费的车辆数y ‎7‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎23‎ Ⅰ根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ 的结果保留两位小数 Ⅱ试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数．‎ 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中，，．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)27.‎ ‎【解析】Ⅰ由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；Ⅱ在Ⅰ中求得的线性回归方程中，取求得y值，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 则y关于x的线性回归方程为；‎ Ⅱ由Ⅰ的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎19．过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到频率分布直方图：‎ Ⅰ估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；‎ Ⅱ采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？‎ Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？‎ ‎【答案】(Ⅰ) 中位数为，平均数为47；(Ⅱ) 三个组依次抽取的人数为2，4，2；(Ⅲ).‎ ‎【解析】Ⅰ由频率分布直方图能求出中位数和平均数的估计值;Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，由此能求出三个组依次抽取的人数;Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，利用对立事件概率计算公式能求出第三组至少有1个人被抽到的概率．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ年龄在，，的频率为，，，‎ ‎，，‎ 中位数为，‎ 平均数的估计值为：．‎ Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，‎ 三个组依次抽取的人数为2，4，2．‎ Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，‎ 基本事件总数，‎ 第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，‎ 第三组至少有1个人被抽到的概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中位数、平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20．如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，，，面ABCD，，，异面直线AF，CD所成角的余弦值为．‎ Ⅰ求证：面面EDB；‎ Ⅱ求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】Ⅰ推导出，从而，进而面EBD，由此能证明面面EDB;Ⅱ推导出四边形EFOD是平行四边形，从而，由面ABCD，得面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ四边形ABCD是菱形，，‎ 面ABCD，面ABCD，，‎ ‎，面EBD，‎ 面ACF，面面EDB．‎ Ⅱ四边形ABCD是菱形，，，‎ ‎，，‎ ‎，，，，‎ 四边形EFOD是平行四边形，，‎ 面ABCD，面ABCD，‎ 以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，0，，设0，，‎ 则，，‎ ‎，，‎ 解得，则0，，1，，‎ ‎1，，，，，‎ 设平面AFB的法向量y，，‎ 则，取，得，‎ 设平面AFE的法向量y，，‎ 则，取，得0，，‎ 设二面角的平面角为，由图形得为钝角，‎ 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.‎ ‎21．已知，，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．‎ Ⅰ求点K的轨迹C的方程；‎ Ⅱ经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 经过定点.‎ ‎【解析】Ⅰ利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；Ⅱ设直线AM的方程为，代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ，‎ 点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，‎ 点K的轨迹方程为：，‎ Ⅱ设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，‎ 联立可得，整理，可得，‎ 则，则，代入，可得，‎ ‎，‎ 同理可得，‎ 当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，‎ 故直线MN的方程为，‎ 令，可得，‎ 此时直线MN经过点，‎ 当M，N的横坐标相等时，有，解得，‎ 此时点M，N的横坐标为，‎ 此时直线MN经过点，‎ 综上所述直线MN经过点 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题．圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.‎ ‎22．已知，．‎ Ⅰ讨论的单调性；‎ Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为恒成立，设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ的定义域是，‎ ‎，‎ 当时，，在递增，‎ 当时，在上，，递减，‎ 在上，，递增，‎ 综上，当时，在递增，‎ 时，在递减，在递增；‎ Ⅱ恒成立，即恒成立，‎ 设，则，‎ ‎，的单调性和相同，‎ 当时，在递增，，‎ 故在递增，，‎ 当时，在递减，在递增，‎ 当时，，在递增，‎ ‎，‎ 故是增函数，故，‎ 当时，在区间上，递减，‎ 故，‎ 故递减，故，不合题意，‎ 综上，a的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎