2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为复数 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题.‎ ‎2．已知复数，，若为纯虚数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题，将复数，，代入化简，纯虚数可知实部为0，可求得a的值，可得，即可求得模长.‎ ‎【详解】‎ 因为复数，，‎ 则 因为 为纯虚数，所以 ‎ 此时 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的知识，熟悉复数的化简和性质知识点是解题的关键，属于基础题.‎ ‎3．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为已知随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又，所以，‎ ‎ ，故选C．‎ ‎4．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题，将点化为直角坐标，求得平行x轴的直线方程，即可得到平行极轴的极坐标方程.‎ ‎【详解】‎ 因为点P，化为直接坐标 所以过点P平行x轴的直线： ‎ 即过点P平行极轴的直线： ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程，熟悉极坐标的公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．二项展开式中，有理项的项的个数是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，先将二项式展开项求得，然后由题，有理项即x得次数为整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，二项式展开项为：‎ ‎ ‎ 当时，即时，为有理项，共3项 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理，熟悉二项式定理的公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由表中数据得，由在直线得，即线性回归方程为，经过计算只有和在直线的下方，故所求概率为，选B．‎ ‎【考点】线性回归方程，古典概型．‎ ‎7．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A．‎ ‎【考点】次独立重复试验．‎ ‎8．某学生邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有（ ）种邀请方法．‎ A．84种 B．140种 C．98种 D．210种 ‎【答案】C ‎【解析】由题，分两名同学都邀请和两名同学都不邀请两种情况，分别求得结果，再相加即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，分2种情况 一种为：两名同学都邀请，那么就要从剩下的8名同学中再邀请4位，有种；‎ 另一种为：两名同学都不邀请，那么就要从其余的8名同学中再邀请6位，有种 所以共有：种 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合，熟悉分类计数原理和分步计数是解题的关键，属于较为简单题.‎ ‎9．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的均值为（ ）‎ A．20 B．25 C．30 D．40‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为： ‎ 因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以服从二项分布 ‎ 则 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10．设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1‎ 展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a=7b，则m＝ ( )‎ A、5 B、‎6‎ C、7 D、8‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】，，因为，解得m=6.‎ ‎【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人．‎ ‎（K2≥k0）‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ A．12 B．6 C．10 D．18‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，设男生人数x，然后列联表，求得观测值，可得x的范围，再利用人数比为整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设男生人数为，则女生人数为，‎ 则列联表如下：‎ 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 女生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 ‎ 即 解得 ‎ 又因为为整数，所以男生至少有12人 故选A ‎【点睛】‎ 本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.‎ ‎12．已知点为抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得抛物线的焦点和准线，再根据定义可得取最大值时，PA与抛物线相切，利用判别式可求得PA的方程，即可求得点P的坐标，利用距离公式求得.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线，所以焦点,准线方程，即点 ‎ 过点P作准线的垂线，垂足为N，由抛物线的定义可得 ‎ 因为，所以 设PA的倾斜角为，所以 ‎ 当m取最大时， 最小，此时直线与抛物线相切，设直线PA：，代入抛物线，可得 ‎ 即 可得点 ‎ 此时 ‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线与直线的知识，熟悉抛物线的图像，定义以及性质是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，先将复数化简，求得其对应的点坐标，即可求得关于虚轴对称的点A的坐标，写出对应复数即可.‎ ‎【详解】‎ 复数，所对应的点为 ‎ 所以关于虚轴对称的点，故A对应的复数为 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的相关知识点，对复数的运算是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有_________种．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】先将妈妈按顺序拍好，甲坐戊妈妈的车，对其余小孩排列，分别列出来，再找出满足题意的情况即可.‎ ‎【详解】‎ 设5个妈妈为ABCDE，5个小孩为12345，对5位小孩排列后坐5位妈妈的车即可，因为甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，所以排列的第5个位置一定是1，‎ 对其他4位的小孩进行排列为：‎ ‎2345,2354,2534,2543,2435,2453‎ ‎3245,3254,3524,3542,3425，3452‎ ‎4235,4253,4523,4532,4325,4352‎ ‎5234,5243,5324,5342,5432,5423‎ 共24种，其中满足题意的是2345，2453，2543, 3425，3452，3542, 4325, 4352，4523, 5342, 5423共11种 故答案为11‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合问题，属于错位问题，分别列出来是解题的关键，属于中档题.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．则的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先将圆化为普通方程，直线与交于，两点，转化为圆心到直线的距离小于半径，求得的取值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的参数方程为，（为参数），可得是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆 当时，直线l与圆有2个交点；‎ 当，设直线l： ‎ 要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径，‎ 即解得或 所以的取值范围为 ‎ 综上所述，的取值范围 ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程和直线与圆的位置关系，解题的关键在于转化，易错点是没有考虑直线斜率不存在的情况，属于中档题型.‎ ‎16．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，根据椭圆和双曲线的定义可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，设椭圆为：，双曲线为：‎ 由定义可得 ‎ 在三角形中，由余弦定理可得：‎ ‎ ‎ 整理可得：‎ 由柯西不等式： ‎ 所以，当且紧当时取等号.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆和双曲线的综合知识，熟悉性质和定义是解题的关键，还有了解余弦定理以及柯西不等式，综合性强，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】（Ⅰ）先由极坐标公式，化为普通方程，再化为参数方程即可；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的普通方程，可得关于t的一元二次方程，再由可求得倾斜角的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由得：，∴，‎ 即直角坐标方程为，参数方程为（为参数）‎ ‎（Ⅱ）将代入圆的方程得，‎ 化简得．设、两点对应的参数分别为、，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标和参数方程，解题的关键是在于能否清楚将直线的参数方程代入圆的普通方程去解决，属于较为基础题.‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)求出关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)试预测加工10个零件需要的时间。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析： （1）先根据平均数定义求出，再将数据代入求，利用求，（2）求当时，的值.‎ 试题解析:（1）‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎（2）时，‎ 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.‎ ‎19．某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：‎ 混凝土耐久性达标 混凝土耐久性不达标 总计 使用淡化海砂 ‎25‎ t ‎30‎ 使用未经淡化海砂 s ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？‎ ‎（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,能；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由图易知，然后由已知数据，利用公式得通过查表可知能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关；（Ⅱ）由图可知使用淡化海砂的样本中混凝土耐久性达标与不达标的比例为25:5，即5:1.从而知这6个样本中“混凝土耐久性达标”的为5，混凝土耐久性不达标”的为1.再计算从这6个样本中任取2个的基本事件总数，以及取出的2个样本混凝土耐久性都达标的对立事件数，再利用古典概率的公式即可得到所求概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）(2分)‎ 假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：‎ 因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关． (6分)‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为“混凝土耐久性不达标”的为1．‎ ‎“混凝土耐久性达标”的记为“混凝土耐久性不达标”的记为．‎ 从这6个样本中任取2个，共有可能，‎ 设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件，‎ 它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（），（），‎ ‎（），（），（）共5种可能，‎ 所以.‎ 则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是. (12分)‎ ‎【考点】1.独立性检验；2.古典概率.‎ ‎20．设袋子中装有个红球，个黄球，个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．‎ ‎（Ⅰ）当，，时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数．若，，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题，可能取值为：2，3，4，5，6，分别求得其概率即可求得其分布列；‎ ‎（Ⅱ）先列出的分布列，再利用的数学期望和方差公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得取2，3，4，5，6．‎ 故，，，‎ ‎，．‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）由题意知的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎，‎ ‎．‎ 解得 ，，故 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散随机变量，解题的关键是在于公式的熟练和概率的求法，属于较为基础题.‎ ‎21．某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为.‎ ‎（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；‎ ‎（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.‎ ‎①求一棵种树苗最终成活的概率；‎ ‎②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①0.96；②700棵.‎ ‎【解析】（1）依题意，得到的所有可能值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；‎ ‎（2）由（1）可知当时，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵树苗最终成活的概率；②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，求得，要使，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3.‎ 则；‎ ‎ ，‎ 即，‎ ‎ ，‎ ‎；‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 .‎ ‎（2）当时，取得最大值.‎ ‎①一棵树苗最终成活的概率为.‎ ‎②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，‎ 则，，，‎ ‎，要使，则有.‎ 所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，以及期望的实际应用问题，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎22．已知椭圆的中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程;‎ ‎（Ⅱ）若，求k的值；‎ ‎（Ⅲ）求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）直接由题可得，可得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由题，写出直线，的方程，设，由题可得 ‎，再可得，即可求得k的值；‎ ‎（Ⅲ）利用点到直线的距离公式求得到的距离，再求得AB的长，再利用四边形的面积公式和基本不等式可求得面积的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）解：依题易知椭圆的长半轴为，短半轴为 所以椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）直线，的方程分别为．如图，设，其中，且满足方程，‎ 故．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，解得或，‎ ‎（Ⅲ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，‎ 又，所以四边形的面积为 ‎，‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的综合知识，综合能力很强，解题的难点在于计算的问题和转化问题，属于难题.‎ 直线与圆锥曲线解题步骤：‎ ‎(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；‎ ‎（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；‎ ‎（3）转化，由题已知转化为数学公式；‎ ‎（4）计算，细心计算.‎