2017-2018学年广西省桂林中山中学高二上学期段考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年广西省桂林中山中学高二上学期段考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年广西省桂林中山中学高二上学期段考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是（　　）‎ A. 10 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为1+2+3+…+n=n（n+1），‎ 由n（n+1）≤100，‎ 得n的最大值为13，‎ 即最后一个13是数列的第91项，‎ 而14共有14项，‎ 所以，第100项应为14．‎ 故选D．‎ ‎2．命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0-1+lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A. p∧q B. p∨（￢q）‎ C. （￢p）∧q D. （￢p）∧（￢q）‎ ‎【答案】C ‎【解析】若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2，在c=0时不成立，故p是假命题； ‎ ‎∃x0=1＞0，使得x0-1+lnx0=0，故命题q为真命题， ‎ 故命题p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）是假命题； ‎ 命题（￢p）∧q是真命题， ‎ 故选：C ‎ ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵等差数列{an}中， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选B．‎ ‎4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，acosC=c（2-cosA），则cosB=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵acosC=c（2-cosA），‎ ‎∴acosC+ccosA=2c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinC，‎ ‎∴sinB=sin（A+C）=2sinC，‎ ‎∴b=2c，由a=b，可得a=b=2c，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎5．古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（　　）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，‎ 则由题意知： ，解得，‎ ‎，‎ 解得2n≥311，由29=512，28=256，‎ ‎∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9. ‎ 故选：C．‎ ‎6．不等式（m+1）x2-mx+m-1＜0的解集为 ，则m的取值范围（　　）‎ A. m＜-1 B. m≥ B. m≥ D. m≥或m≤‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵关于x的不等式（m+1）x2-mx+m-1＜0的解集为∅，‎ ‎∴不等式（m+1）x2-mx+m-1≥0恒成立，‎ ‎①当m+1=0，即m=-1时，不等式化为x-2≥0，解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立；‎ ‎②当m+1≠0时，即m≠-1时，∀x∈R，使（m+1）x2-mx+m-1≥0，‎ 即m+1＞0且△=（-m）2-4（m+1）（m-1）≤0，‎ 化简得：3m2≥4，解得m≥或m≤，‎ ‎∴应取m≥；‎ 综上，实数m的取值范围是m≥．‎ 故选：B．‎ ‎7．若等比数列{an}的前n项和为Sn， ，则=（　　）‎ A. 3 B. 7 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】若q=1可得据=2≠3，故q≠1，‎ ‎∴ ，化简得1-q8=3（1-q4），可得q8-3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎8．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出．‎ 解：lna、lnb、lnc成等差数列 ‎∴2lnb=lna+lnc ‎∴b2=ac 当2b=a+c时，‎ ‎2a、2b、2c成等比数列，‎ 这两个条件不能互相推出，‎ ‎∴是既不充分又不必要 故选D．‎ ‎【考点】等比关系的确定．‎ ‎9．a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（　　）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，‎ ‎∴由正弦定理可得：a2+b2-c2=2a2b2sinCcosC，‎ ‎∴2abcosC=absinC•4abcosC，‎ ‎∵cosC≠0，‎ ‎∴S△ABC=absinC=．‎ 故选：A．‎ ‎10．等比数列{an}各项均为正数，且a5a6+a4a7=54，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（　　）‎ A. 8 B. 10 C. 15 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵a4a7+a5a6=54，由等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=27=an•a11-n（n∈N，n≤10），‎ ‎∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2•…a10）=log3315=15．‎ 故选：C．‎ ‎11．设a＞0，b＞0， 是lg4a与lg2b的等差中项，则的最小值为（　　）‎ A. B. 3 C. 4 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是lg4a与lg2b的等差中项，‎ ‎∴2=lg4a+lg2b，‎ 即lg2=lg4a•2b，‎ ‎∴4a•2b=22a+b=2，即2a+b=1．‎ ‎∵. ‎ ‎∴，‎ 当且仅当即a=b=时取等号，‎ ‎∴的最小值为9．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题为利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值注意三点要求：“一正、二定、三相等”，两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，首先这两个数要求是正数，二两个正数的和为定值，则积有最大值，两个正数的积为定值，则和有最小值，三何时取等号，当且仅当这两个数相等时取等号，三条缺一不可.‎ ‎12．设F1，F2分别是椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，‎ ‎∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k ‎ ‎∵cos∠AF2B=，‎ 在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，‎ ‎∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），‎ 化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，‎ ‎∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，‎ ‎∴AF1⊥AF2，‎ ‎∴△AF1F2是等腰直角三角形，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴椭圆的离心率e=，‎ 故选：D．‎ 点睛：（1）解答圆锥曲线的问题时，若条件中出现了曲线上的点与焦点的连线，则一般应考虑用曲线的定义去解题，借助于定义可将问题转化，变得易于解决。‎ ‎（2）在本题中利用三角形的余弦定理建立边的方程，用到了平面几何的知识，进而得到三角形△AF1F2是等腰直角三角形。‎ 二、填空题 ‎13．已知正数满足的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以由题设只要求的最大值即可。画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线经过点时，‎ 在上的截距最大，且，，应填答案。‎ 点睛：本题旨在考查等价化归与转化的数学思想、数形结合思想的综合运用，求解时准确画出不等式组表示的区域是解答本题的关键，依据题设进行转化是求解本题的核心，借助图形的直观进行分析求解，从而使得问题简捷、巧妙 获解。‎ ‎14．已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和Sn，若Sn=2，S3n=14，则S6n= ___ ．‎ ‎【答案】126‎ ‎【解析】设各项均为正数的等比数列{an}的公比等于q，‎ ‎∵Sn=2，S3n=14，‎ ‎∴，‎ 解得：qn=2， ．‎ 则S6n =（1-q6n）=-2（1-64）=126．‎ 故答案为：126.‎ ‎15．设命题p：“已知函数f（x）=x2-mx+1，对一切x∈R，f（x）＞0恒成立”，命题q：“不等式x2＜9-m2有实数解”，若¬p且q为真命题，则实数m的取值范围为 ___ ．‎ ‎【答案】[2，3）∪（-3，-2]‎ ‎【解析】命题p 为真命题时：x2-mx+1＞0在R上恒成立 ‎∴△=m2-4＜0 即-2＜m＜2，‎ 命题q为真命题时：9-m2＞0⇔-3＜m＜3，‎ 若¬p且q为真命题，则P假且q真．‎ 即⇔m∈[2，3）∪（-3，-2] ‎ 故实数m的取值范围是[2，3）∪（-3，-2]．‎ 故答案为：[2，3）∪（-3，-2]．‎ ‎16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的最大值是 ______ ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵sin2B+sin2C=msinBsinC，‎ ‎∴b2+c2=bcm，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosA= ，‎ ‎∴m=2cosA+2sinA=4sin（A+），‎ ‎∴当sin（A+）=1即A=时，m取得最大值4．‎ 故答案为4．‎ 点睛：利用正弦定理将角化边得出，根据面积公式得出，代入余弦定理即可得出m关于A的式子，利用三角恒等变换求出m的最值．‎ 本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，三角恒等变换，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．在锐角中， .‎ ‎（Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析: （1）由正弦定理可得,又锐角,所以; （2）由,可得,根据化一公式化简解析式,当,即时， 有最大值2, 与锐角矛盾,故无最大值.‎ 试题解析:解：（Ⅰ）由正弦定理得， ‎ ‎ 因为，所以，从而， ‎ 所以 .‎ 因为锐角，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时， 有最大值2， ‎ 与锐角矛盾，故无最大值 ‎18．已知命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0． ‎ ‎（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假； ‎ ‎（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）[1，+∞）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．‎ ‎（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．‎ 试题解析：命题p：∃x∈R，kx2+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+2kx+1＞0．‎ ‎（1）当k=3时，命题p的否定￢p：∀x∈R，3x2+1＞0，是真命题．‎ ‎（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，‎ ‎∴￢p：∀x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：∃x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．‎ ‎∴，或k=0，1＞0；且△=4k2-4≥0，‎ 解得k≥1．‎ ‎∴实数k的取值范围是[1，+∞）．‎ 点睛：有关三个逻辑联结词“或”“且”“非”的问题，首先剖析命题和命题，然后根据题意的要求求出的真假，真则取其范围，假则取其（对立面）补集，根据的真假列出不等式组，求出的取值范围.‎ ‎19．已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4． ‎ ‎（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N）．‎ ‎【答案】（Ⅰ）{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an=3n-2．‎ ‎（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．‎ 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8．‎ 由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，‎ 由此可得an=3n-2．‎ 所以，{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有，，‎ 上述两式相减，得=．‎ 得．‎ 点睛：一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解，在写出“”与“”的表达式时应特别注意两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎20．已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的几何意义可知，，满足椭圆的定义。（2）直线与椭圆组方程组，由韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式，可求得 ‎ ‎．由，得及均值不等式可求得面积的最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．‎ 又，∴．‎ ‎∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．‎ 设曲线的方程为．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设．‎ 联立消去，得．‎ 此时有．‎ 由一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，．‎ ‎∴ ．‎ ‎∵原点到直线的距离，‎ ‎∴ ．‎ 由，得．又，∴据基本不等式，得 ‎．‎ 当且仅当时，不等式取等号．‎ ‎∴面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 转化定义法是求轨迹方程的常用方法，转化定义时一般需要用到几何关系，如本题就利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。‎ 求面积是圆锥曲线中的常见题型，常涉及到弦长公式和点到直线的距离公式。本题的难度在于处用均值不等式处理两个变量的关系，而得到一个定值，即最值。‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N)．‎ ‎(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2 010的n的最小值．‎ ‎【答案】（1）an＝2n－1.（2）10‎ ‎【解析】试题分析：（1）由将前n项和化为通项公式关系式，利用等比数列定义证明；（2）有一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列的和，通常将和式两边乘公比，再两式相减，得新等比数列，此法称错位相消法.‎ 试题解析：(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1‎ ‎－(n－1)(n≥2，n∈N)．两式相减，得an＝2an－1＋1.‎ 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N)，所以数列{an＋1}为等比数列．‎ 因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.‎ 所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①‎ ‎2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②‎ ‎①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.‎ 所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.‎ 若>2 010，则>2 010，即2n＋1>2 010.‎ 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.‎ 所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.‎ ‎【考点】等比数列的定义及判断方法；错位相消法.‎ ‎22．已知焦距为2的椭圆W： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，点M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之积为． ‎ ‎（1）求椭圆W的标准方程； ‎ ‎（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．‎ ‎（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知：2c=2，c=1，a2-b2=1，‎ ‎∵M（x0，y0）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，‎ ‎∴，=（a2-），=（b2-），‎ ‎•••=•••=•，‎ ‎=•=（）2=，则a2=2b2，‎ ‎∴a2=2，b2=1，‎ ‎∴椭圆W的标准方程；‎ ‎（2）证明：不妨设点A（x1，y1），D（x2，y2），B的坐标（-x1，-y1），C（x1，0），‎ ‎∵A，D在椭圆上，，=0，即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，‎ ‎∴=-，‎ 由AD⊥AB，‎ ‎∴kAD•kAB=-1，•=-1，•（-，）=-1，‎ ‎∴=，‎ ‎∴kBD-kBC=-=-=0，‎ kBD=kBC，‎ ‎∴B，C，D三点共线．‎