【数学】广东省江门市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次考试（期中）试题

【数学】广东省江门市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次考试（期中）试题

广东省江门市第二中学2019-2020学年 高二下学期第二次考试（期中）试题 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.是虚数单位，若，则的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若“，则”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中，真命题的个数是（ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎3.，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.抛物线的准线是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知命题：，；命题：，，则下列判断正确的是（ ）‎ A.是假命题 B.是假命题 C.是假命题 D.是真命题 ‎6.已知＝(2,1,)，＝(7,2,4)，若⊥()，则实数的值为(　　)‎ A． B．1或 C.或3 D．3‎ ‎7.“”是“椭圆的焦距为6”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 ‎8.函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9.、是双曲线的焦点，过且与双曲线实轴垂直的直线与双曲线相交于、，且为正三角形，则双曲线的离心率（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10.若函数在处有极大值，则常数的值为（ ）‎ A．2 B．2或6 C．6 D.‎ ‎11.如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）‎ ‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎12.已知函数存在最大值0，则a的值为（ ）‎ A.1 B.2 C. D.‎ 一、 填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.已知为虚数单位， ．‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为　　 .‎ ‎15.是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______________.‎ ‎16.如图，平行六面体中，与 相交于，设、、，则 ‎⑴ （用、、表示）；‎ ‎⑵若、、三向量是两两成角的单位向量，‎ 则 ．‎ 二、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 17. ‎（本小题满分10分）‎ 是复平面内的平行四边形，、、三点对应的复数分别是、、，其中，是虚数单位．‎ ‎（1）求点对应的复数；‎ ‎（2）试判断、、、四点是否在同一圆上，若是，求出该圆的方程；否则，请说明理由．‎ 17. ‎（本小题满分12分）‎ 设椭圆过点，离心率为.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求的中点坐标及.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎⑴求这个函数的单调区间；‎ ‎⑵求这个函数在区间的最大值与最小值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，是四棱柱，底面，，，，．‎ ‎⑴求证：平面；‎ ‎⑵求平面与平面所成二面角的大小．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设双曲线的渐近线为，焦点在轴上且实轴长为1．若曲线 上的点到双曲线的两个焦点的距离之和等于，并且曲线：（是常数）的焦点在曲线上。‎ ‎⑴求满足条件的曲线和曲线的方程；‎ ‎⑵过点的直线交曲线于点、（在轴左侧），若，求直线的倾斜角.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ （1） 若，求的极值；‎ （2） 若当时，，求的取值范围.‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D D D C A B B C A D 二、 填空题 ‎13. 14. 15. ‎ ‎16.（2分），（3分）‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由题知，，，，因为.‎ 所以，所以点所对应的复数为.‎ ‎（2），，，，所以、、、四点都在以原点为圆心，半径为2的圆上，该圆的方程为.‎ ‎18.解：（1）将点代入椭圆的方程得，所以.……1分 又由，得，……2分即，所以.……3分 所以椭圆的方程为.……4分 （2） 过点且斜率为的直线方程为，……5分 设直线与的交点为，，‎ 联立方程消去得，得，.……7分 设线段的中点坐标为，则，……8分 ‎，……9分即中点坐标为.……10分 由弦长公式.‎ ‎……12分（公式、结果各1分）‎ ‎⒚⑴……2分，解得……3分，当时，……4分，所以函数在单调递增……5分；当时，……6分，所以函数在单调递减.……7分 ‎⑵由⑴知，在区间单调递增，在区间单调递减，……8分 所以最大值为……9分，而……10分；……11分。因为，所以，在区间的最大值，最小值……12分．‎ ‎20.⑴底面，所以……1分，‎ 取的中点，连接……2分，则是正方形，……3分，又，，所以，……4分，因为，所以平面……5分．‎ ‎⑵（法一）以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，……6分，，，……7分，由⑴知，平面的一个法向量为……8分，设平面的一个法向量为 ‎，则，即……9分，不妨设，则，‎ ‎，从而……10分，设所求二面角的大小为，‎ 则……11分，，所求二面角的大小为……12分．‎ ‎21.解：⑴双曲线满足：……1分，解得……2分 则，于是曲线的焦点、……3分，‎ 曲线是以、为焦点的椭圆，设其方程为……4分，‎ 解得，即：……5分，‎ 依题意，曲线的焦点为……6分，‎ 于是，所以，曲线……7分 ‎⑵法1：由条件可设直线的方程为……8分，‎ 由得，，‎ 由求根公式得：，……9分，‎ 由得……10分，于是，‎ 解得……11分，由图知，，直线的倾斜角为……12分 法2：由韦达定理得：①，②……9分 由得③……10分，‎ 解得：，……11分直线的倾斜角为……12分 ‎22.解：（1）时，‎ ‎，.……1分 令，则.……2分 当变化时，、变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎……4分（单调区间，极值各1分）‎ 由表可知有极大值，极小值.……6分 ‎（2），令，则.……7分 若，则当时，，为增函数，而，从而当时，，即；……9分 若，则当时，，为减函数，而，从而时，，即.……11分 综上：的取值范围为.……12分