高二数学下学期教学段考试题 理（含解析）

高二数学下学期教学段考试题 理（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学下学期教学段考试题 理（含解析）‎ 高二（理科）数学试题 一．选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）‎ ‎1. 若关于的方程有唯一的实数解，则正数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】方法一：验证法.当时，可得函数与函数在处的切线是相同的.故选A．‎ 方法二：因为，由得.设，‎ 由题意得当且仅当函数和的图象相切时满足题意，设切点为，‎ 则，解得.选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查方程解的情况，解题中将方程有唯一实数解的问题转化为两函数图象有唯一公共点的问题，通过合理的构造函数，经分析得到当两图象在某点处相切时满足条件，故可用导数的几何意义求解，在设出切点的前提下，构造出关于参数的方程组使得问题得以解决.‎ - 16 - / 16‎ ‎2. 设为函数f（x）的导数且f（x）= 则=（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据导函数定义，对f（x）= 求导得，代入 求得。所以可以确定 的解析式，代入 即可得到答案。...............‎ 详解：对函数求导得 ，所以 所以 所以 所以选B 点睛：本题考查了导数的简单应用，注意是个常数值，因而导数为0，是简单题。‎ ‎3. 已知函数，则是（ ）‎ A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增 C. 奇函数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】,所以为偶函数,‎ 设,则在单调递增, ‎ 在单调递增, ‎ 所以在单调递增,故选B - 16 - / 16‎ ‎4. 由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由曲线，直线，解得：‎ 由曲线，直线，‎ 可得交点坐标为 由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为 故选 ‎5. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.‎ 按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.‎ 点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ - 16 - / 16‎ ‎ 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎6. 已知为虚数单位，若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据表达式得，化简可求得，根据模的定义即可求得 。‎ 详解： ‎ 所以 ‎ 所以选C 点睛：本题考查了复数的简单运算和模的定义，化简过程中注意共轭复数和符号的变化，是简单题。‎ ‎7. 的展开式的第4项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.‎ ‎8. 由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）‎ - 16 - / 16‎ A. 300 B. 338 C. 600 D. 768‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；‎ 当1在个位时，同样共有96种；‎ 当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中排法，共有种 综上：共有=768‎ 故选：D 点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等.‎ ‎9. 已知随机变量 ，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由正态分布的对称性知，，故选B.‎ ‎10. 函数的最大值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C - 16 - / 16‎ ‎【解析】：∵f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]， ∴f′（x）=2x•ex+1+x2•ex+1=xex+1（2+x）， 当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0． 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0． ∴当x=0时，原函数有极小值为f（0）=0； 而当x=-2时，f（x）= ‎ 当x=1时，f（x）=e2． ∴函数f（x）=x2•ex+1，x∈[-2，1]的最大值为e2． ‎ 故选C ‎11. 已知函数，则的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时， ， ，所以在单调递增，则B、D错误；‎ - 16 - / 16‎ 当时， ， ，则在单调递减， 单调递增，所以A正确，故选A.‎ 点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象.由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象.图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项.‎ ‎12. 下列说法中正确的是（ ）‎ ‎①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心；‎ ‎③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好.‎ A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，则相关性越强，所以错误；‎ ‎②回归直线一定经过样本点的中心，正确；‎ ‎③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；‎ ‎④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误．‎ 所以正确的有②③。故选D。‎ - 16 - / 16‎ 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13. 已知函数f(x)＝ x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为___ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立．‎ 又∵y＝－x＋在上单调递减，∴max＝，‎ ‎∴2a≥，即a≥.‎ ‎14. 若函数满足都有，且， ，则__________．‎ ‎【答案】4033.‎ ‎【解析】在中，‎ 令，得，‎ 解得。‎ 令，则，‎ 解得。‎ 于是有，‎ 猜想。‎ ‎∴。‎ 答案：4033‎ ‎15.‎ - 16 - / 16‎ ‎ 某射手在一次射击训练中，射击10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为_________．‎ ‎【答案】0.49‎ ‎【解析】这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率为 ‎16. 已知随机变量， ，若， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：通过二项分布，可求得p值；由正态分布的对称情况，可求得的值。‎ 详解：由二项分布可知，‎ ‎ ，解得 ‎ 所以 ‎ 点睛：本题考查了二项分布和正态分布的简单应用，解题关键是掌握二项分布中X的取值，正态分布中对称性的应用，属于简单题。‎ 三、解答题（本题有6小题，共70分。）‎ ‎17. 一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．‎ ‎（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P；‎ ‎（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；‎ ‎（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．‎ - 16 - / 16‎ ‎【答案】（1）（2）（3）2‎ ‎【解析】试题分析：（1）求古典概型概率，关键正确计算事件所包含的基本事件. 一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；因此一次摸球中奖的概率.（2）因为每次摸球后把这两个球放回袋中，所以事件为独立重复试验. 由（1）得一次摸球中奖的概率是，所以三次摸球恰有一次中奖的概率是.(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中奖的概率是，这是三次函数，利用导数求最值. 由知在是增函数，在是减函数，所以当时，取最大值.‎ 试题解析：(1)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，‎ 其中两球颜色相同有种选法；‎ ‎∴一次摸球中奖的概率. 4分 ‎(2)若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. 8分 ‎(3)设一次摸球中奖的概率是，‎ 则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，‎ ‎∵，‎ ‎∴在是增函数，在是减函数，‎ ‎∴当时，取最大值. 10分 - 16 - / 16‎ 由.‎ ‎∴时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大． 12分 考点：古典概型概率，独立重复实验，利用导数求最值 ‎18. 已知是虚数， 是实数．‎ ‎（1）求为何值时， 有最小值，并求出|的最小值；‎ ‎（2）设，求证： 为纯虚数．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）设 ，化简 ，利用是虚数为实数，解得 的轨迹方程，利用几何意义即可的结果；（2）根据（1）的结论化简 即可得结论.‎ 试题解析：（1）设，则 所以，，又可得 ‎ 表示点到点的距离，所以最小值为 ‎ 解方程组并结合图形得 ‎ ‎（2）‎ 又，所以为纯虚数 - 16 - / 16‎ ‎【 思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算和复数模的概念及复数的几何性质，属于难题题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误．解本题的关键是先利用复数的模长公式列方程解出的值，然后根据复数的乘法、除法的运算法则和的性质化简+，最后再根据复数的几何意义求出的范围.；，，，（）．‎ ‎19. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”‎ ‎　‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.001‎ ‎　‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ (I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎(II)根据频率分布直方图填写下面2 x2列联表,并判断是否有95％的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.‎ 甲班（A方式）‎ 乙班(B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附： ‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ - 16 - / 16‎ ‎(1)结合题意可得的可能值为 0,1,2.，结合超几何分布求得分布列，然后计算数学期望可得；‎ ‎(2)首先完成列联表，结合列联表计算可得：根据列联表中数据可得有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.‎ 试题解析：‎ ‎（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.‎ 的可能值为 0,1,2.‎ ‎ ，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以，‎ ‎（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4、46.‎ 甲班 ‎(A方式)‎ 乙班 ‎(A方式)‎ 总计 成绩优秀 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 成绩不优秀 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 根据列联表中数据，‎ - 16 - / 16‎ 由于4.762>3.481，所以有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关 ‎20. 数列满足，前n项和．‎ ‎（1）写出；‎ ‎（2）猜出的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】（1）， ， ；（2），证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出，然后利用数学归纳法进行证明即得 试题解析：（1）令n=2,即 令n=3，得，即 令n=4，得，‎ ‎（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明.‎ ‎①当n=1时，结论成立.‎ ‎②假设当n=k时，结论成立，即，‎ 则当n=k+1时，‎ ‎∴当n=k+1时结论成立. ‎ 由①②可知，对一切n∈N+都有成立.‎ 考点：数列递推公式及数学归纳法 ‎21. 设，其中.‎ ‎（1）求证：曲线在点处的切线过定点；‎ ‎（2）若函数在上存在唯一极值，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ - 16 - / 16‎ ‎【解析】分析：（1）根据导数运算，求得，所以斜率为 ；点坐标为 ，可求得直线方程为，进而求出过的定点。‎ ‎（2）因为 ，所以得到函数与在上都是增函数，因为存在唯一极值点，通过解不等式组即可得到的取值范围。‎ 详解：（1）因为 所以，又，‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎，即，‎ 所以曲线在处的切线过定点.‎ ‎（2）因为，‎ 当，函数与在上都是增函数，‎ 所以在上是增函数，‎ 因为函数在上存在唯一极值，‎ 所以即 所以 所以正数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了导数在切线方程、根据存在性成立求参数取值范围上的综合应用，关键是利用导数判定单调性，确定极值，属于中档题。‎ ‎22. 某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（μ，σ2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩．‎ - 16 - / 16‎ ‎（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；‎ ‎（2）给出正态分布的数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．‎ 由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，97）的概率．‎ ‎【答案】（1）49（2）0.8185‎ ‎【解析】分析：（1）根据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值。‎ ‎（2）由3σ原则可知，成绩在（76，97）之间即在 之间的概率值，因而可求得概率值。‎ 详解：（1） =90，S2= =49‎ ‎（2）由（1）可估计，μ=90，σ=7．‎ P（76＜x＜97）=P（μ﹣2σ＜x＜μ）+P（μ＜x＜μ+σ）= + =0.8185‎ 点睛：本题考查了茎叶图的简单应用，利用3σ原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简单题。‎ - 16 - / 16‎