广西桂林十八中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

广西桂林十八中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题

桂林十八中2019-2020学年度18级高二下学期期中试卷 数 学（理科）‎ 注意事项：‎ ① 试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟,满分150分；‎ ‎ ②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；‎ ② 请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本题包括12小题。每小题只有一个选项符合题意。每小题5分，共60分）‎ ‎1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若双曲线的一个焦点为，则（ ）‎ A． B．‎8 ‎C．9 D．‎ ‎3.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了了解该年级学生的健康情况。从男生中抽取25人，从女生中抽取20人进行调查，这种抽样方法是 A．简单随机抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 ‎4．已知曲线在点处切线的斜率为8，则（ ）‎ A．7 B．－‎4 ‎C．－7 D．4‎ ‎5．已知随机变量服从正态分布，如果，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3.1‎ ‎4‎ 则（ ）‎ A．0.8 B．‎1.8 ‎C．0.6 D．1.6‎ ‎7．记，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．129 D．2188‎ ‎8．已知，是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：‎ ‎①若，，则；②若，，则；③若，，则 ‎；④若，，则．其中说法正确的个数为（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎C．1 D．0‎ ‎9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：‎ 第一步：构造数列，，，，…，． ①‎ 第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，．‎ 则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎11．已知，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（本卷共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.观察下列不等式 照此规律，第5个不等式是__________． ‎ ‎14.__________．‎ ‎15.一并排座位有10个，3人就坐，则每人左右两边都有空位的坐法有_________种（用数字作答）‎ ‎16.已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是 ‎ 三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若+=1，求的取值范围．‎ ‎19．（12分）某年，楼市火爆，特别是一线城市．某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．‎ ‎（l）求每个家庭能中签的概率；‎ ‎（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎20．（12分）如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是菱形，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正切值．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点、，P为椭圆E上的动点，，面积最大值为．‎ ‎（1）求圆O与椭圆E的方程；‎ ‎（2）圆的切线l交椭圆于点A,B，求的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知定义在区间上的函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求t的取值范围．‎ 桂林十八中2019-2020学年度18级高二下学期期中参考答案 一、 选择题：（每小题5分，共60分）‎ DBDBA BCCAB AA 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）‎ ‎13. ‎14.1. 15‎. 120. 16. ‎ 三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 解：（1）因为，‎ 所以当时，由得；‎ 当时，由得；‎ 当时，由得．‎ 综上，的解集为．‎ ‎（2）由得，‎ 因为，当且仅当取等号，‎ 所以当时，取得最小值5．‎ 所以当时，取得最小值5，‎ 故，即的取值范围为．‎ ‎18. 解：（1）由已知得，‎ 即有， ‎ 因为，∴．又，∴．‎ 又，∴，∴，‎ ‎（2）由余弦定理，有．‎ 因为，，‎ 有，又，于是有，即有．‎ ‎19. 解：（1）因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，‎ 所以每个家庭能中签的概率．‎ ‎（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，‎ ‎，，，‎ 的分布列为 的数学期望．‎ ‎20. 解：（1）依题意，在等腰梯形中，，，‎ ‎∵，∴，即， ‎ ‎∵平面平面，∴平面，‎ 而平面，∴．‎ 连接，∵四边形是菱形，∴， ‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴． ‎ ‎（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．‎ 所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．‎ 故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，‎ ‎． ‎ 设平面和平面的法向量分别为，，‎ ‎∵，．‎ ‎∴由，令，则， ‎ 同理，求得． ‎ ‎∴，故二面角的平面角的正切值为 ‎21. 解：（1）由题意得，解得：①·‎ 因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，； ‎ 设，则，所以，当时，‎ ‎，代入①解得，所以，， ‎ 所以，圆的方程为，椭圆的方程为．‎ ‎（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，‎ 因为直线与圆相切，所以，即，‎ 联立，消去可得，‎ ‎，，， ‎ ‎；·‎ 令，则，所以，，‎ 所以，所以． ‎ ‎②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得， ‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎22. 解：（1）， ‎ ‎①当时，．即是上的增函数． ‎ ‎②当时，，令得，‎ 则的增区间为，减区间为． ‎ ‎（2）由不等式，恒成立，得不等式，恒成立．‎ ‎①当时，由（1）知是上的增函数，，‎ 即当时，不等式，恒成立． ‎ ‎②当时，，，，． ‎ 令，则，．‎ ‎，·‎ 要使不等式，恒成立，‎ 只要．‎ 令，．‎ ‎．‎ 是上的减函数，又，‎ ‎，则，即，解得，故， ‎ 综合①，②得，即的取值范围是．‎