2018-2019学年浙江省余姚中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年浙江省余姚中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

‎2018学年度 余姚中学 高二数学期中考试试卷 第一学期 命题老师：龚凤 审题老师：朱丽君 一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知椭圆与轴交于、两点，为椭圆上一动点（不与、重合），则（ ▲ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 下列命题一定正确的是（ ▲ ）‎ ‎ A. 三点确定一个平面 B. 依次首尾相接的四条线段必共面 ‎ C. 直线与直线外一点确定一个平面 D. 两条直线确定一个平面 ‎3. 边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为 （ ▲ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. 8‎ ‎4. 已知都是实数，那么“”是“”的（ ▲ ）‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ▲ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎7. 一个正方体纸盒展开后如右图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎ ①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°； ‎ ‎ ③EF与MN是异面直线；④MN∥CD． ‎ 其中正确的个数为（ ▲ ）个 ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为线段的中点．则下列结论中不正确的是（ ▲ ）‎ ‎ A. B.平面 ‎ C.平面平面 D.平面平面 ‎9. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（ ▲ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 在正方体中，点为对角面内一动点，点分别在直线和上自由滑动，直线与所成角的最小值为，则下列结论中正确的是（ ▲ ）‎ ‎ A. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 ‎ B. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 ‎ C. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 ‎ D. 若，则点的轨迹为椭圆的一部分 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.‎ ‎11. 已知原命题为“若，则”,写出它的逆否命题形式：___▲___；它是___▲___.(填写”真命题”或”假命题”) ． ‎ ‎12. 某几何体的三视图如右图所示，若俯视图是边长为2的等边三角形，则这个几何体的体积等于___▲___；表面积等于___▲___.‎ ‎13. 已知椭圆：，则其长轴长为___▲___；若为椭圆的右焦点，为上顶点，为椭圆上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值___▲___.‎ ‎14. 已知椭圆:与动直线相交于两点,则实数的取值范围为___▲___；设弦的中点为，则动点的轨迹方程为___▲___.‎ ‎15. 在四面体中， ，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是___▲___.‎ ‎16. 椭圆上一点.关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___.‎ ‎17. 已知，，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值是___▲___.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18. 已知条件：实数满足使对数有意义；条件：实数满足不等式.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，平面平面,,,是线段的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求与平面所成的角的正切值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ y x A C B D F2‎ F1‎ ‎20. 设椭圆方程，是椭圆的左右焦点，以及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为的正三角形.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过分别作直线，且，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ B C E G A P ‎21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，是重心，是线段上一点，且.‎ ‎（1）当平面时，求的值；‎ ‎（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值.‎ ‎22. 如图，已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点作圆：的切线分别交椭圆于两点，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由. ‎ 期中卷参考答案 一. 选择题 ‎1．D ‎2．【答案】C ‎【解析】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；‎ B：空间四边形，不共面，故错误；‎ C：正确；‎ D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误。‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】正方形的边长为，故面积为8，‎ 而原图和直观图面积之间的关系，‎ 故直观图的面积为8×= ，‎ 故选：C．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】试题分析：，满足，但，同样时，满足，但，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】方程，化为表示焦点在 轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故选B.‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】对于A：根据线面平行的性质可知，对；‎ 对于B：则或 或 故B错；‎ 对于C：则或或异面 故C错；‎ 对于D：或异面 故D错 ‎7．B ‎8．【答案】C ‎【解析】由题意，取中点，易知就是二面角的平面角，有条件可知，，所以平面与平面不垂直，故C错误。‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】设椭圆的另一个焦点为E，‎ 令|CF|=m，|BF|=|AE|=4m， |AF|=2a-4m，‎ 在直角三角形EAC中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，‎ 化简可得a=3m，‎ 在直角三角形EAF中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，‎ 即为5a2=9c2，可得e=．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】由题意结合最小角定理可知，若直线与所成角的最小值为，则原问题等价于：‎ 已知圆锥的母线与底面的夹角为，圆锥的顶点为点，底面与平面平行，求圆锥被平面截得的平面何时为双曲线.‎ 由圆锥的特征结合平面与平面所成角的平面角为可知：‎ 当时截面为双曲线的一部分；‎ 当时截面为抛物线的一部分；‎ 当时截面为椭圆的一部分.‎ 一. 填空题 ‎11.略; 真命题 ‎12. (1). ， (2). ‎ ‎【解析】‎ 由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥图中长方体中为棱的中点，到的距离为，四棱锥体积为，四棱锥的表面积为，故答案为(1) ， (2) .‎ ‎13. 【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意易得：长轴长为；‎ 四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，‎ 三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，‎ 设与直线BF平行的直线方程为y=﹣x+m，‎ 联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．‎ 由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．‎ ‎∵P为C上位于第一象限的动点，‎ ‎∴取m=，此时直线方程为y=﹣x+．‎ 则两平行线x+y=1与x+y﹣的距离为d=.．‎ ‎∴三角形BFP的面积最大值为S=．‎ ‎∴四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=．‎ 故答案为：．‎ ‎14. ‎ ‎15. 【答案】 ‎ ‎【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球 心，又，所以，‎ 所以，设外接圆半径为，则，所以.‎ ‎16. 【解析】已知椭圆焦点在x轴上，‎ 椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，‎ 则：连接AF，AF1，AF，BF 所以：四边形AFF1B为长方形．‎ 根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，‎ ‎∠ABF=α，则：∠AF1F=α．‎ ‎∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，‎ 由椭圆的离心率e===，‎ 由，,，‎ sin（α+）∈[，1]，‎ ‎∈[，]，‎ ‎∈，‎ ‎17. 【答案】4‎ ‎【解析】由题意可知，当时，有，所以，‎ 所以。‎ 点睛：本题考查基本不等式的应用。本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以。本题的关键是理解条件中的恒成立。‎ 一. 解答题 ‎18. 解：(1)由对数式有意义得－2t2＋7t－5>0，‎ 解得1，‎ 解得a>.‎ 即a的取值范围是.‎ 法二：令f(t)＝t2－(a＋3)t＋(a＋2)，因 f(1)＝0，故只需f<0，解得a>.‎ 即a的取值范围是.‎ ‎19. （Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，‎ ‎∵E是BP的中点，∴EF//AB且，‎ 又∵∴EFDC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD ‎ 又∵EC平面PAD，FD平面PAD∴EC//平面ADE ‎ ‎（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA＝PD，‎ 所以PH⊥AD ‎∵平面PAD⊥平面ABCD于AD ∴PH⊥面ABCD ‎∴HB是PB在平面ABCD内的射影 ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角 ‎ ‎∵四边形ABCD中，‎ ‎∴四边形ABCD是直角梯形，‎ 设AB=2a，则，在中，易得，‎ ‎，又∵，‎ ‎∴是等腰直角三角形，‎ ‎∴‎ ‎∴在中，‎ ‎（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a ‎ ‎，又∴，‎ 在中， ‎ ‎∴二面角P-AB-D的的余弦值为 ‎20.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（I）由题设可得：，，，‎ 故椭圆方程为 ‎（2）当直线斜率不存在时，‎ 当直线斜率存在时，设直线，代入椭圆方程得：‎ ‎,则 ‎ 所以弦长:‎ ‎ ，设直线A.C的斜率为，不妨设，则 ‎， ‎ ‎ ‎ 综上，四边形A.BCD面积的取值范围是. ‎ ‎21. （1） ‎ ‎（2）‎ ‎22. （1） ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎（2）由题意：切线PA,PB斜率相反，且不为0，令PA的斜率为K，则PB的斜率为-K。‎ PA的方程：‎ ‎ ‎ 假设 ，‎ 则有 ‎ 同理： ‎ 所以AB的斜率即AB的斜率为定值.‎