数学理卷·2017届湖南省长沙市高三12月联考（2016

数学理卷·2017届湖南省长沙市高三12月联考（2016

湖南省长沙市2017届高三12月联考 数学（理科）‎ 本试题卷共6页，23题（含选考题）‎ 全卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）设集合≥，，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（2）已知复数满足，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎（3）已知数列的前项和，则“”是“数列是等比数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件【来源：全,品…中&高*考+网】‎ D．既不充分且不必要条件 A B C D P ‎（4）在矩形中，，在上任取一点，的最大边是的概率是（ ）‎ A．‎ B． ‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球 的表面积为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C．‎ D．‎ ‎（6）若变量满足约束条件，则的最小值是__ __．‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（7）已知是双曲线的左，右焦点，过点且与垂直的直线与双曲线左支交于点，已知是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（8）是边长为的等边三角形，向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 输出 开始 结束 是 否 ‎（9）执行如图所示程序框图，若输出的值为，则条件 框内应填写（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（10）等差数列的前和为，且＜，若存在自然 数≥，使得，则当＞时，与的大小关系是（ ）‎ A．＜‎ B．≤‎ C．＞‎ D．大小不能确定 ‎（11）已知函数（，）‎ 的部分图象如图，则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎（12）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第II卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13）已知直线与圆相交，弦长为，则________．‎ ‎（14）在的展开式中含项的系数是___________（用数字作答）．‎ ‎（15）有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所 ‎ 成角的余弦值为___________．‎ ‎（16）有一支队伍长米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了米，则传令兵所走的路程为___________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且 ‎（I）求；‎ ‎（II）若为边上的中线，，，求的面积．‎ A B C D ‎（18）（本小题满分12分）‎ 为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．‎ 用电量（度）‎ 户数 ‎（I）在该县山区居民中随机抽取户，记其中年用电量不超过度的户数为，求的数学期望；‎ ‎（II）已知该县某山区自然村有居民300‎ 户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？ ‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．‎ P B C D M A ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，设点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．‎ ‎（I）求点的轨迹方程；‎ ‎（II）设点的轨迹为，点、是轨迹为上不同于的两点，且满足，，求证：的面积为定值．‎ B A P O x y ‎（21）（本小题满分12分），‎ 函数（，）．‎ ‎（I）若函数在上为增函数，求的取值范围；‎ ‎（II）若函数在上不单调时：‎ ‎（i）记在上的最大值、最小值分别为、，求；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（ii）设，若对恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，设倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点、．‎ ‎（I）若，求线段的中点的直角坐标；‎ ‎（II）若直线的斜率为，且过已知点，求的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）‎ 已知函数（）．‎ ‎（I）若不等式的解集为或，求的值．‎ ‎（II）若对，，求实数的取值范围．‎ 数学（理科）参考答案 ‎1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算．‎ 答案：D．‎ ‎2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算．‎ 答案：A．．，故选A．‎ ‎3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．‎ 答案：B．若，则，故数列不是等比数列；若数列是等比数列，则，，，由，得．选B．‎ ‎4．命题依据：几何概型．‎ A B D P C P1‎ P2‎ 答案：D．分别以、为圆心，为半径作弧，交于、，则当在线段间运动时，能使得的最大边是，易得，即的最大边是的概率是．‎ ‎5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．‎ 答案：B．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为，从而计算得表面积为．故选B．‎ ‎6．命题依据：线性规划的应用．‎ 答案：B．作出可行域为开放区域，在直线与直线的交点处取得最小值．故选B．‎ ‎7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．‎ 答案：C．由已知，即，得，解得，故选C．‎ ‎8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算．‎ 答案：C．易得．‎ ‎9．命题依据：算法，程序框图．‎ 答案：D．‎ ‎10．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性 答案：C．若＜，存在自然数≥，使得，则．因为若＜，则数列是递减数列，则，不会有．由于＜，，当≥，有，则，，而，显然．故选C．‎ ‎11．命题依据：的图象与性质．‎ 答案：B．易得，由五点法作图可知，得．‎ 即．‎ 故，，，，，，‎ ‎．故选B．‎ O x y ‎12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．‎ 答案：B．由题意得即方程有正根，‎ 即有正根，‎ 作函数与的图象，‎ 则可知时，‎ 故．故选B．‎ ‎13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．‎ 答案：．由已知可得圆心到直线的距离为，所以，解得．‎ ‎14．命题依据：二项式定理的应用．‎ 答案：．‎ ‎15．命题依据：线线角，面面垂直．‎ 答案：．‎ ‎16．命题依据：数学应用，数学建模．‎ 答案：．‎ 思路一：设传令兵的速度为，队伍行进速度为，则传令兵从队尾到排头的时间为，从排头到队尾的时间为，往返共用时间为，则传令兵往返路程．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了米，则．故 ‎ ，可得．‎ 即，解得，传令兵所走的路程为．‎ 思路二：设传令兵的速度为，队伍行进速度为，则传令兵从队尾到排头的时间为，从排头到队尾的时间为，则易得 ‎，化简得，得，‎ 由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为．‎ ‎17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．‎ ‎【分析】（I）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出值．‎ ‎（II）先根据两角和差的正弦公式求出，再根据正弦定理得到边长的比值关系，再在或利用余弦定理可求的值，再由三角形面积公式可求结果．‎ ‎【解答】（I）因为 ，由正弦定理得：‎ ‎，即 ‎，……3分 化简得：，所以．……5分 在中，，所以，得．……6分 ‎（II）在中，，得．……7分 则．……8分 由正弦定理得．……9分 设，，在中，由余弦定理得：‎ ‎，则 ‎，解得，‎ 即，……11分 故．……12分 ‎18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．‎ 解：（I）记在该县山区居民中随机抽取户，其年用电量不超过度为事件．由抽样可知，．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取户，记其中年用电量不超过度的户数为服从二项分布，即，故．……6分 ‎（II）设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得 ‎（度）……10分 则该自然村年均用电约度．‎ 又该村所装发电机组年预计发电量为度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约度，能为该村创造直接收益元．……12分 ‎19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用．‎ ‎【分析】（I）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明；‎ ‎（II）假设存在点，利用二面角的大小为确定点的位置，再利用平面的法向量求线面角．‎ A D B C ‎【解答】（I）如图，由已知得四边形是直角梯形，‎ 由已知，，‎ 可得是等腰直角三角形，即，‎ 又平面，则，‎ 所以平面，‎ 所以．……4分 ‎（II）存在．法一：（猜证法）‎ 观察图形特点，点可能是线段的中点．下面证明当是线段的中点时，二面角的大小为．……5分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 过点作于，则，则平面．‎ 过点作于，连接，则是二面角的平面角．‎ P B C D M N G A z x y 因为是线段的中点，则，，‎ 在四边形求得，则．……8分 在三棱锥中，可得，‎ 设点到平面的距离是，，‎ 则，解得．……10分 在中，可得．‎ 设与平面所成的角为，则．……12分 法二：（作图法）‎ 过点作于，则，则平面．‎ 过点作于，连接，则是二面角的平面角．‎ 若，则，又，易求得．‎ 即是线段的中点．……8分 ‎（以下同解法一）‎ 法三：（向量计算法）‎ 建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 设（），则的坐标为．……6分 设是平面的一个法向量，则 ‎，得，则可取．……8分 又是平面的一个法向量，‎ 所以 解得．即点是线段的中点．……10分 此时平面的一个法向量可取，．‎ 与平面所成的角为，则．……12分 ‎20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。‎ ‎【分析】（I）由题意易得；‎ ‎（II）此题本质利用对于椭圆上一点有这一结论，得到，再利用直线与椭圆的位置关系，建立的表达，虽然直线的位置不确定，由于，则其斜率与在轴上的截距必定满足方程关系，代入的面积表达式则可求得的面积．‎ ‎【解答】（I）由已知设点的坐标为，由题意知 ‎，‎ 化简得的轨迹方程为．……5分 ‎（II）由题意、是椭圆上非顶点的两点，且，，则直线，斜率必存在且不为．‎ 又由已知．‎ 因为，，所以．……6分 设直线的方程为，代入椭圆方程，得 ‎，……① ……7分 设、的坐标分别为，，则、是方程①的两根，‎ 则，．……8分 又，……9分 所以，得．……10分 又 所以，即的面积为定值．……12分 ‎21．命题依据：导数的应用，三次函数的图象与性质，不等式的应用，分类讨论的数学思想．‎ ‎【分析】‎ ‎【解答】‎ 由已知得， ……1分 令，则，所以在上必为增函数；‎ ‎……2分 令，则．‎ 令，得，所以在和上是增函数，在上为减函数．……3分 ‎（I）因为在上是增函数，所以在为增函数，所以．……4分 ‎（II）因为函数在上不单调，所以． ‎ ‎（i） 当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以，．……5分 ‎①当，即时，，‎ ‎；……6分 ‎②当，即时，，‎ ‎；……7分 ‎ 当时，在上是减函数，‎ 所以，．‎ 故． ‎ 综上得．……8分 ‎（ii）对恒成立，即在上的值域是的子集．‎ ‎①当时，，即 所以 令，易得在上是增函数，则，‎ 所以．……10分 ‎②当时，，即，所以 令，易得在上是增函数，则，‎ 所以．……11分 ‎③当时，，即，即 所以，所以 综上得．……12分 ‎22．命题依据：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（I）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用的几何意义求解；‎ ‎（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化为：，利用根与系数的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）由曲线（为参数），可得的普通方程是．‎ ‎……2分 当时，直线的参数方程为（为参数），‎ 代入曲线的普通方程，得，……3分 得，则线段的中点对应的，‎ 故线段的中点的直角坐标为． ……5分 ‎（II）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简得 ‎，……7分 则，……9分 由已知得，故．……10分 ‎23．命题依据：绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（I）通过讨论的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出的值即可；‎ ‎（II）问题转化为：．通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而确定出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（I）；‎ 法一：由已知得，……2分 当，即，得；……3分 当，即，……4分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 由已知的解集为或，则显然．……5分 法二：由已知易得的图象关于直线对称，……3分 又的解集为或，则，即．……5分 ‎（II）法一：不等式恒成立，即恒成立．‎ ‎……6分 当时，即恒成立，得，解得；……7分 当，即恒成立，得，解得；……8分 当，即恒成立，得，解得．……9分 综上得．……10分 法二：不等式恒成立，即恒成立，‎ 由图象可知在处取得最小值，……8分 而在处取得最大值，故，得．……10分