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文档介绍
江苏省启东中学2019-2020学年高二下学期期初考试数学试题
江苏省启东中学2019-2020学年度第二学期期初考试 高二数学 命题人: 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.与曲线相切且过原点的直线的斜率为( ) A.2 B.-5 C.-1 D.-2 2.已知等差数列中,,则的值是( ) A.4 B.16 C.2 D.8 3.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 4.已知随机变量,若,则,分别是( ) A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6 5.已知抛物线的焦点为,是上一点,,则( ) A.4 B.2 C.1 D.8 6.展开式中的系数为( ) A.10 B.24 C.32 D.56 7.设,是双曲线()的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为( ) A. B. C. D. 8.直线y=a分别与直线y=2(x+1),曲线y=x+lnx交于点A,B,则|AB|的最小值为( ) A.3 B.2 C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。 9.若数列对任意满足,下面选项中关于数列的命题正确的是( ) A.可以是等差数列 B.可以是等比数列 C.可以既是等差又是等比数列 D.可以既不是等差又不是等比数列 10.已知函数的定义域为且导函数为,如图是函数的图像,则下列说法正确的是( ) A.函数的增区间是 B.函数的增区间是 C.是函数的极小值点 D.是函数的极小值点 11.设椭圆的方程为,斜率为的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.下列结论正确的是( ) A.直线与垂直; B.若点坐标为,则直线方程为; C.若直线方程为,则点坐标为 D.若直线方程为,则. 12.下列说法中,正确的命题是( ) A.已知随机变量服从正态分布,,则. B.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则,的值分别是和0.3. C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为,若,,,则. D.若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为16. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13.两个实习生加工一个零件,产品为一等品的概率分别为和,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________. 14.某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书,则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______. 15.若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________. 16.已知函数在定义域内为单调递增函数,则实数p的最小值为_________;若p>0,在[1,e]上至少存在一点,使得成立,则实数p的取值范围为_________.(本题第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本题共6小题,共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) 已知等差数列的首项为1,公差,且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前项和. 18.(本小题满分12分) 某品牌汽车4S店,对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养,汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况,整理得下表: 车型 A型 B型 C型 频数 20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访. (1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目; (2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度,按照大于等于80为优秀,小于80为合格,得到如下列联表: 优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计 35 65 100 问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系?请说明原因. (参考公式:) 附表: 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(本小题满分12分) 设函数. (1)当时,求在点处的切线方程; (2)当时,判断函数在区间是否存在零点?并证明. 20.(本小题满分12分) 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场,且甲篮球队胜3场,已知甲球队第5,6场获胜的概率均为,但由于体力原因,第7场获胜的概率为. (1)求甲对以4:3获胜的概率; (2)设表示决出冠军时比赛的场数,求的分布列及数学期望. 21.(本小题满分12分) 在直角坐标系中,已知椭圆,若圆的一条切线与椭圆有两个交点,且. (1)求圆的方程; (2)已知椭圆的上顶点为,点在圆上,直线与椭圆相交于另一点,且,求直线的方程. 22.(本小题满分12分) 已知函数是常数),此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值,并求的最大值; (2)设,函数,若对任意的,总存在,使 ,求实数的取值范围. 2019~2020学年第二学期第一次月考试题 高二数学参考答案及评分建议 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.与曲线相切且过原点的直线的斜率为( ) A.2 B.-5 C.-1 D.-2 【答案】B 2.已知等差数列中,,则的值是( ) A.4 B.16 C.2 D.8 【答案】D 3.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 4.已知随机变量,若,则,分别是( ) A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6 【答案】A 5.已知抛物线的焦点为,是上一点,,则( ) A.4 B.2 C.1 D.8 【答案】C 6.展开式中的系数为( ) A.10 B.24 C.32 D.56 【答案】D 7.设,是双曲线()的左、右焦点,是坐标原点.过 作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 8.直线y=a分别与直线y=2(x+1),曲线y=x+lnx交于点A,B,则|AB|的最小值为( ) A.3 B.2 C. D. 【答案】D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。 9.若数列对任意满足,下面选项中关于数列的命题正确的是( ) A.可以是等差数列 B.可以是等比数列 C.可以既是等差又是等比数列 D.可以既不是等差又不是等比数列 【答案】ABD 10.已知函数的定义域为且导函数为,如图是函数的图像,则下列说法正确的是( ) A.函数的增区间是 B.函数的增区间是 C.是函数的极小值点 D.是函数的极小值点 【答案】BD 11.设椭圆的方程为,斜率为的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.下列结论正确的是( ) A.直线与垂直; B.若点坐标为,则直线方程为; C.若直线方程为,则点坐标为 D.若直线方程为,则. 【答案】BD 12.下列说法中,正确的命题是( ) A.已知随机变量服从正态分布,,则. B.以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设,将其变换后得到线性方程,则,的值分别是和0.3. C.已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为,若,,,则. D.若样本数据,,…,的方差为2,则数据,,…,的方差为16. 【答案】BC 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13.两个实习生加工一个零件,产品为一等品的概率分别为和,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________. 【答案】 14.某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书,则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______. 【答案】240 15.若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________. 【答案】 16.已知函数在定义域内为单调递增函数,则实数p的最小值为_________;若p>0,在[1,e]上至少存在一点,使得成立,则实数p的取值范围为_________.(本题第一空2分,第二空3分) 【答案】1, 四、解答题:本题共6小题,共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) 已知等差数列的首项为1,公差,且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前项和. 【解】 (1)设等差数列的公差为, 是与的等比中项. 即 或; ……………2分 ……………4分 (2)由(1)知 ……………7分 . ……………10分 18.(本小题满分12分) 某品牌汽车4S店,对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养,汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况,整理得下表: 车型 A型 B型 C型 频数 20 40 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访. (1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目; (2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度,按照大于等于80为优秀,小于80为合格,得到如下列联表: 优秀 合格 合计 男司机 10 38 48 女司机 25 27 52 合计 35 65 100 问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系?请说明原因. (参考公式:) 附表: 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.828 【解】 (1)A、B、C型汽车抽取数目分别为,,, ……………3分 (2)根据题意, ……………8分 所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为司机对4S店满意度与性别有关系. ……………10分 答:(1)A、B、C型汽车抽取数目分别为2,4,4 (2) 在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为司机对4S店满意度与性别有关系 ……………12分 19.(本小题满分12分) 设函数. (1)当时,求在点处的切线方程; (2)当时,判断函数在区间是否存在零点?并证明. 【解】 函数的定义域为. (1)当时,, 又,切点坐标为,切线斜率为, 所以切线方程为; ……………4分 (2)当时,, 所以在上单调递减, ……………6分 当时,, 又 , ……………10分 所以函数在上存在零点. ……………12分 20.(本小题满分12分) 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有一队获胜4场就结束比赛.现已比赛了4场,且甲篮球队胜3场,已知甲球队第5,6场获胜的概率均为,但由于体力原因,第7场获胜的概率为. (1)求甲对以4:3获胜的概率; (2)设表示决出冠军时比赛的场数,求的分布列及数学期望. 【解】 (1)设甲队以获胜的事件分别为B ∵甲队第5,6场获胜的概率均为,第7场获胜的概率为, ∴ ∴甲队以获胜的概率分别为 ……………4分 (2)随机变量X的可能取值为5,6,7 ∴ ……………7分 ∴随机变量X的分布列为 X 5 6 7 ……………9分 ∴ ……………12分 21.(本小题满分12分) 在直角坐标系中,已知椭圆,若圆的一条切线与椭圆有两个交点,且. (1)求圆的方程; (2)已知椭圆的上顶点为,点在圆上,直线与椭圆相交于另一点,且,求直线的方程. 【解】 (1) 设圆的切线为,点. 由方程组 所以, 得. ……………2分 因为, 所以,即. 又因为点在直线上, 所以, 即. 所以, 化简得, ……………4分 所以圆的半径,所以圆的方程为. ……………5分 当切线AB为时,易得圆的方程为 ……………6分 (2) 设点,点, 由,得. ……………7分 代入椭圆和圆得 解得或者 所以点或. ……………10分 故直线的方程为或. ……………12分 22.(本小题满分12分) 已知函数是常数),此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行. (1)求的值,并求的最大值; (2)设,函数,若对任意的,总存在,使 ,求实数的取值范围. 【解】 (1)对求导,得, 由题意可得, 解得, ……………1分 故, 又定义域为,且, 当时,,单调递增, 当时,,单调递减, ……………2分 所以当时,有极大值,也为最大值且. ……………3分 (2)设的值域为的值域为, 由题意“对于任意的,总存在使得”,等价于, ……………4分 由(1)知, 因为,所以,故在上单调递减, 所以, 即, 所以, ……………7分 因为, 所以, 因为,故, 所以在上是增函数, 所以, 即, 故 ……………10分 由,得, 解得, 所以实数的取值范围是. ……………12分查看更多