2017-2018学年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2017-2018学年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. [0,1) B. (-1,+∞) C. (0,1) D. (-1,0]‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先解二次不等式以及对数不等式，再根据数轴求集合交集得结果.‎ 详解： ‎ ‎，‎ 所以 选A.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．‎ ‎(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎2．角的终边与单位圆交于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得：，‎ 故选 ‎3．在公比的等比数列中，“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据等比数列通项公式化简条件，再根据条件之间包含关系确定充分性与必要性.‎ 详解：因为，所以 ‎ 因为，所以，以上各步皆可逆，即“”是“”的充要条件，选C.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎4．若实数x，y满足则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先作出可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图像取截距最大时，取最大值.‎ 详解：作可行域，则直线过点A时取最大值 选B.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎5．已知两个平行平面α，β，直线，过上一点P作与所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先确定直线m轨迹为圆锥面，为轴线，为轴截面，再根据与平行的截面截的轨迹为双曲线得结论.‎ 详解：先将作为轴线，则直线m轨迹为圆锥面，为轴截面，因为α，β平行，所以直线m与β的交点M的轨迹是双曲线，选C.‎ 点睛：本题考查圆锥曲线定义，从与圆锥曲面所截的角度确定轨迹形状.‎ ‎6．若函数在区间[-1,2]上的最大值M与最小值m，则M-m的值（ ）‎ A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b无关 D. 与a无关，与b有关 ‎【答案】B ‎【解析】分析：解题关键去掉绝对值，根据a的大小讨论，再根据最小值与最大值的取法判断命题真假.‎ 详解：当时， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 综上： M-m的值与a有关，与b无关，选B.‎ 点睛：涉及绝对值问题，一般利用绝对值定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，再根据函数单调性确定函数最值.‎ ‎7．已知圆，圆，A、B分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据圆之间位置关系，结合折线大于线段不等关系得的最大值.‎ 详解：由折线大于线段得 ,选A.‎ 点睛：涉及圆的最值问题，一般根据圆心与半径，建立不等式关系，根据不等式关系求最值.‎ ‎8．已知△ABC中，AB=4，AC=2，若的最小值为2，则△ABC的面积为 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先根据向量模的定义以及向量数量积定义化为二次函数形式，再根据二次函数性质求最小值取值条件，最后根据三角形面积公式求面积.‎ 详解： ‎ 当时，的最小值为 ‎ 从而△ABC的面积为 选C.‎ 点睛：‎ 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.‎ ‎9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD⊥侧面PCD，∠PDC=120°，若侧面PAB，PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为α，β，，则下列的结论成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：关键作出底面ABCD的垂线，先根据线面垂直得线面垂直，继而得到面面垂直，再根据面面垂直的性质得底面ABCD的垂线，最后根据二面角定义确定α，β，，并比较大小.‎ 详解：因为AD⊥侧面PCD，所以AD⊥CD, AD⊥PD,因此∠PDC为面PAD与底面ABCD所成的二面角；=120°，‎ 过P作PO垂直CD于O,则AD⊥PO,从而PO⊥面ABCD，因此∠PCD为面PBC与底面ABCD所成的二面角；β<60°， ‎ 过O作OE垂直AB于E,则∠PEO为面PAB与底面ABCD所成的二面角；,选B.‎ 点睛：线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小,‎ 二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可.‎ ‎10．设A、B分别为双曲线（a>0，b>0）的左、右顶点，P是双曲线上不同于A、B的一点，直线AP、BP的斜率分别为m、n，则当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据点的关系确定mn，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率.‎ 详解：设，则 ，‎ 因此 当且仅当时取等号，此时 选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎11．已知函数，则=________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】分析：先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果.‎ 详解：= ‎ 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎12．抛物线的准线方程为__________，若F为抛物线的焦点，M 为抛物线上的点，三角形MFO的面积为2（O为坐标原点），则=________.‎ ‎【答案】 x=-1 5‎ ‎【解析】分析：根据抛物线标准方程即得准线方程，先根据三角形面积求M纵坐标，代入抛物线方程得M横坐标，最后根据抛物线定义求结果.‎ 详解：的准线方程为 ‎ 因为三角形MFO的面积为2，所以 ‎ 点睛： 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎13．某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，外接球的表面积是________.‎ ‎【答案】 24 25π ‎【解析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为．所以该几何体的体积为.‎ 则长方体外接球半径为r，则2r=．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故填（1）24（2）.‎ ‎14．已知直线恒过定点A，则A点的坐标为_______；若点A在直线（，）上，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】 （2,1） ‎ ‎【解析】分析：先根据直线方程点斜式可得定点，再根据基本不等式求最小值.‎ 详解：因为 ，所以直线恒过定点，‎ 因为点A在直线（，）上，所以 ‎ 因此 ，当且仅当时取等号，即的最小值为 .‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎15．已知直线与圆，若m=2时，直线与圆相交于A，B两点，则=_____；若直线与圆相切，则实数m=_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：根据垂径定理求圆中弦长，再根据直线与圆相切得圆心到切线距离等于半径，解得实数m值.‎ 详解：若m=2时，圆心（1，2）到直线的距离为 ，‎ 所以 ‎ 若直线与圆相切，则圆心（1，m）到直线的距离为1,即，‎ ‎ ‎ 点睛：涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.‎ ‎16．已知非零向量，，满足，，则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：因为 ‎ ‎ ，‎ 所以的最大值为.‎ 点睛：对于条件不等式可利用均值不等式可直接得到最值.‎ ‎17．已知正三棱锥P-ABC（底面是正三角形，P在底面的射影是底面的中心），点M，N分别是PA，AB上的动点，MN与底面ABC所成的最大角的正切值为，则异面直线MN与PC所成的最小角的余弦值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：关键是找到线线角、线面角与二面角之间关系，根据关系结合解三角形可得结果.‎ 详解：因为MN与底面ABC所成的最大角为侧面ABP与底面ABC所成的二面角,正好为异面直线MN与PC所成的最小角，又因为MN与底面ABC所成的最大角的正切值为，所以余弦值为.‎ 点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小;线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小;二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可 三、解答题 ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求a，b的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)或.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间；（2）先根据求C，再根据三角形面积公式得，由余弦定理得，最后解方程组得结果.‎ 详解：（Ⅰ）‎ ‎，所以最小正周期T=π；‎ 由，‎ 得函数的增区间为 ‎（Ⅱ）由得，∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴，，①由余弦定理，∴，②由①②解得或 点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．‎ ‎19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：AE⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（1）根据正三角形性质得AE⊥BC，即得AE⊥AD，再根据PA⊥平面ABCD得AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,即得AE⊥PD；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面AEF一个法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系得结果.‎ 详解：（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以三角形ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又AD//BC，则又PA⊥平面ABCD，所以AE⊥PA,由线面垂直判定定理得EA⊥平面PAD,所以AE⊥PD ‎ ‎（2）过A作AH⊥PD于H，连HE，由（1）得AE⊥平面PAD 所以EH⊥PD，即EH=，∵AE=，∴AH=，∴PA=2以A为原点，AE，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ A（0,0,0），E（，0,0），D（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2） ‎ ‎∴F（，，1）∵，，∴平面AEF的法向量又，∴所以直线PD与平面AEF所成的角的余弦值为 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20．已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且，，等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列的前n项和为，满足：，求证：.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据等差数列性质得，再通过和项与通项关系得，最后根据等比数列定义以及通项公式求结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求，即证得结论.‎ 详解：（1）由题意知，‎ 当n=1时， ∴当时，，‎ 两式相减得 整理得：‎ ‎∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21．已知圆，点F(1,0)，P为平面上一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）取F关于y轴的对称点，根据三角形中位线性质得，再根据椭圆定义以及标准方程得结果，（2）由∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零，设点坐标,利用斜率公式化简得 ‎，设直线方程，并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得.最后验证斜率不存在时情况也符合题意.‎ 详解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则，取F关于y轴的对称点，连，故.所以点B的轨迹是以，F为焦点，长轴长为4的椭圆.其中，a=2，c=1，曲线C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0,m），设直线的方程为，,. 由消去x，得.‎ 由直线过椭圆内一点作直线故△>0，‎ ‎，，由∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零.‎ 故，‎ ‎.‎ 存在定点（0,6），当斜率不存在时定点（0,6）也符合题意.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若在上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）求在[-2,2]上的最大值M(a).‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先根据绝对值定义去掉绝对值，并分离变量得当x>1时，‎ ‎；当x<1时，，当x=1时，a∈R；再根据函数最值得a的取值范围；（2）先根据图像得函数最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三处取得，再根据三者大小关系以及对应对称轴确定最大值取法，最后用分段函数书写.‎ 详解：（1）即（）对x∈R恒成立，‎ ‎①当x=1时，（）显然成立，此时a∈R；当x≠1时，（）可变形为，‎ 令 ‎②当x>1时，，③当x<1时，，所以，故此时.‎ 综合①②③，得所求实数a的取值范围是.‎ ‎（2）得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a ‎①当时，∵，，∴，；‎ ‎②当时，∴，，即 ‎③当时，∵，，∴，‎ 即所以 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎