2020届高三数学第五次月考试题 理（含解析）

2020届高三数学第五次月考试题 理（含解析）

‎2017-2019学年蒙城一中高三第五次月考 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，， ，所以，故选C. ‎ 点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．‎ ‎2. 已知复数，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 ，所以，故选D.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．‎ ‎3. 已知则是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由得，因为 是减函数，所以成立，当 - 15 -‎ 时，成立，因为正负不确定，不能推出，故是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎4. 平面向量与的夹角为120°，，，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，，故选C. ‎ ‎5. 设满足条件，则的最小值是（ ）‎ A. 14 B. 10 C. 6 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出可行域如下图：‎ 由可得：，平移直线，则当直线经过点时，直线的截距最小，此时z的最小值为4，故选D. ‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ - 15 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：‎ ‎7. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，且，，， 因为， ，所以 ，根据函数的增减性知，，故选B. ‎ 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎8. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ - 15 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 则 则 ‎ 则 ‎ 则 ‎ 故选C ‎9. 在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角形面积公式知，化简得：①， ‎ 因为，所以是锐角），根据余弦定理得：，所以 ②‎ 联立①②解得 ，故选A. ‎ ‎10. 若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎.....................‎ - 15 -‎ ‎11. 已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，‎ A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，‎ B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，‎ 由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，‎ 在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，‎ 得c2=7a2，则e2=7，解得e=．‎ 故答案选：A．‎ 点睛：这个题目考查的是双曲线的定义的应用，圆锥曲线中求离心率的题型中，常见的方法有定义法的应用，特殊三角形的三边关系的应用，图形中位线的应用，焦半径范围的应用，点在曲线上的应用。‎ ‎12. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设与函数，的图象的切点为,则由得,所以.令,则由零点存在定理得,选D.‎ - 15 -‎ 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在内随机取一个数，满足方程有解的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方程有解时，，即，所以方程有解的概率，故填. ‎ 点睛：解决此类概率问题，首先要分析试验结果是不是无限个，其次要分析每个结果是不是等可能的，符合以上两点才是几何概型问题，确定是几何概型问题后，要分析时间的度量是用长度还是面积，体积等，然后代入几何概型概率公式即可.‎ ‎14. 的展开式中的系数是__________．（用数值作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二项式展开式的通项为，令得。故展开式中的系数为。‎ 答案：‎ ‎15. 设，若对于任意的正数，都有，则满足，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得：，故，‎ 当且仅当，即时等号成立，所以只需，即. ‎ - 15 -‎ 点睛：解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到条件为，且含有所以把条件构造为，从而解决问题.‎ ‎16. 已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，当时， ，故当时，，当时，，所以函数在上递增在上递减，当时有最大值 ，同理可知，当时，函数为减函数， 作出 大致图象如下图： ‎ 因为恰好有4个不相等的实数解，则关于的一元二次方程必有一大于的根和一大于0小于的根，设， ；则原问题等价于有两根，且 ， 故需满足，解得，故填. ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 - 15 -‎ ‎【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前项和.‎ ‎（1）当时，，∵，∴.∵，∴当时，，两式相减得，因， ，故，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.‎ ‎（2）∵ ，∴，∴，，两式相减得：‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎18. 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直且，，，．‎ ‎（1）求证：平面．‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设与交于点 ，由，，可证四边形为平行四边形，从而得到，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BDE和平面ABE的法向量，利用法向量夹角公式即可计算. ‎ - 15 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）设与交于点，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）平面平面，平面平面，，‎ 所以平面，又因为，以为原点，分别为，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 计算得余弦值为 ‎19. 某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：‎ ‎（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程，并预测该娱乐场2019年水上摩托的使用率；‎ - 15 -‎ ‎（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型号主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型两种，每辆价格分别为1万元、1.2万元.根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年.娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计，使用年限如条形图所示：‎ 已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益－购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购Ⅰ型水上摩托还是Ⅱ型水上摩托？‎ 附：回归直线方程为，其中，.参考数据，‎ ‎【答案】（1）25%（2）应该选购Ⅱ型水上摩托.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据所给数据求出回归方程，利用回归方程预测，即 2019年水上摩托的使用率；（2））分别由频率估计概率，结合直方图可知水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率，计算Ⅰ型和Ⅱ型摩托纯利润的期望，比较大小即可得出结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由表格数据可得，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程为.‎ - 15 -‎ 当时，，‎ 故预测该娱乐场2019年水上摩托的使用率为25%.‎ ‎（2）由频率估计概率，结合条形图知Ⅰ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2，0.3，0.3，0.2，‎ ‎∴每辆Ⅰ型水上摩托可产生的纯利润期望值 ‎ （万元）.‎ 由频率估计概率，结合条形图知Ⅱ型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1，0.2，0.4和0.3，‎ ‎∴每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值 ‎ （万元）.‎ ‎∵.‎ ‎∴应该选购Ⅱ型水上摩托.‎ ‎20. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合题意可求得，则椭圆的方程为.‎ ‎(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线在轴上的截距的最大值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以椭圆的方程为，‎ 把点 的坐标代入椭圆的方程，得，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ - 15 -‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立方程组 得，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 所以 ‎ 由，得，‎ 令，所以，‎ ‎，即，‎ 当且仅当，即时，上式取等号，‎ 此时，，满足，‎ 所以的最大值为.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）若在时取到极值，求的值及的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若在时恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对求导，由在时取到极值，可求得的值，再根据导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）由定义域可得，再对进行分类讨论，分别求出不同情况时的单调性及最小值，即可求出的取值范围.‎ 试题解析：(1),‎ ‎∵在时取到极值,∴,解得 故在处的切线方程为:‎ ‎(2)由定义域知:对于恒成立,可得 - 15 -‎ ‎①当时,在上,恒成立,所以此时在递减 注意到,故此时不恒成立 ‎②当时,在区间上,恒成立,所以此时在递增 ‎,故此时恒成立 ‎③当时,的单调减区间为,单调增区间为 在处取得最小值,只需恒成立 设 设,‎ ‎,在递减,又 所以即,解得 综上可知,若恒成立,只需的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到利用到时研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及不等关系的证明，同时着重考查了分类讨论思想的应用，合理构造新函数，正确利用导数研究函数的性质是解答的关键．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程；‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求点到曲线上的距离的最小值.‎ - 15 -‎ ‎【答案】（1），（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）消参数即可得普通方程，利用极坐标化为直角坐标公式化为普通方程；（2）根据点到直线距离公式及三角函数有界性可求出最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由曲线（为参数），‎ 曲线的普通方程为：，‎ 由曲线，展开可得：‎ ‎，‎ 化为：.‎ ‎（2）椭圆上的点到直线的距离为 其中，‎ 所以当时，的最小值为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立，利用绝对值性质即可得到m范围内.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，‎ 令 解得或，‎ ‎∴函数的定义域为或 ‎（2），∴，‎ - 15 -‎ 即.‎ 由题意，不等式的解集是，‎ 则在上恒成立.‎ 而，故.‎ 点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 15 -‎