2017-2018学年安徽省合肥市重点中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）
2017-2018 学年安徽省合肥市重点中学高二下学期期末考试
数 学 试 题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.设全集 是实数集 ,集合 , ,则图中阴影
部分所表示的集合是 （ ）
A． B．
C． D．
2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）
①在复平面内，复数 对应的点位于第二象限 ②复数 的虚部是-2
③复数 是纯虚数 ④
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3．设 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 a＝(1，－ )，b＝(1，2 )且 a⊥b，则 等于( )
A．－1 B．0 C.
1
2 D.
2
2
5.在 中，角 A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是 、 、 ，若 ， ，则
等于（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
U R }{ 2 2M x x x= < − >或 { }2 4 3 0N x x x= − + <
}12|{ <≤− xx }22|{ ≤≤− xx
}21|{ ≤< xx }2|{
>， 2 ( )4 0， C
2 2 3 2
2
2 2
∈Rθ π π| |12 12
− <θ 1sin 2
<θ
1
10
1
5
3
10
2
5
6
2
1(1 )(1 )+ + xx
2x
nS { }na n 4 5 24+ =a a 6 48=S { }na
F C : 2 8=y x M C FM y N M
FN =FN
13．函数 的最大值为___________.
14．设等比数列 满足 a1 – a3 = –3，则前 4 项的和 = ___________.
15．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为___________.
16．正方体 的棱长为 1, 若 的平面 截正方体得到的
截面是六边形，则这个六边形的的周长为___________.
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必做题 60 分
17 ． （ 本 题 满 分 12 分 ） △ 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
， ，求△ 的面积．
18．（本题满分 12 分）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 .
（Ⅰ）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（Ⅱ）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
19．（本题满分 12 分）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为
，点 ， 是 上的动点， 为 的左焦点.
( ) 2 2cosf x x x= + ( )y f x=
1 π π( ) sin ( ) cos ( )5 3 6
= + + −f x x x
{ }na 1 2 1,+ = −a a 4S
( )( ), fπ π
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AC与对角线 垂直 α
ABC A B C， ， a b c， ，
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC
90BAP CDP∠ = ∠ =
90APD∠ =
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： 2 2
6
3 (3,0)A P C F C
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 在 轴的右侧，以 为底边的等腰 的顶点 在 轴上，求四边形
面积的最小值.
20．（本题满分 12 分）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递
是否满意的评价系统.从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者
对商品的满意率为 0.70，对快递的满意率为 0.60,商品和快递都满意的交易为 80
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的 列联表，并回答能否有 99%认为“网购者对商品满意与
对快递满意之间有关系”？
对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 80
对商品不满意
合计 200
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和快递都满意
的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 .
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
．
21．（本题满分 12 分）
设函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ） 恒成立，求实数 的范围.
C
P y AP ABP∆ B y
FPAB
2 2×
X X EX
( )
( )( )( )( )
2
2 ,n ad bc n a b c da b c d a c b d
χ −= = + + ++ + + +
( )2P kχ ≥
k
( ) ( ),
xef x g x axx
= =
( )y f x=
( ) ( ) ( )0, ,x f x g x∈ +∞ ≥当 a
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
一题计分.
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 为参数， ）. 以坐标原
点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围.
xOy C
cos (2sin
x a t ty t
=
= 0a >
x l
cos 2 24
πρ θ + = −
P C 2 3a = P l
( ) 2 2 2 2f x x x= + − − x∈R
( ) 3f x ≤
( )
2
f x a x+ = a
数学（理）答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
CCABB ADCDC DB
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．
14．
15．
16．
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必做题 60 分
17 ． （ 本 题 满 分 12 分 ） △ 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 已 知
， ，求△ 的面积．
解析： 由正弦定理
由余弦定理：
18．（本题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 .
22 2y xπ π= − −
6
5
5−
3 2
ABC A B C， ， a b c， ，
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC
sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ =
1sin sin sin sin 4sin sin sin sin 2B C B C A B C A+ = ∴ =
2 2 2 8b c a+ − =
2 2 2 4 3 8 3cos 2 2 3
b c aA bcbc bc
+ −= = = ∴ =
1 1 8 3 1 2 3sin =2 2 3 2 3S bc A∆ = = × ×
90BAP CDP∠ = ∠ =
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A−PB−C 的余弦值.
【解析】
（1）由已知 ，得 AB⊥AP，CD⊥PD.
由于 AB//CD ，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD.
又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD.
（2）在平面 内作 ，垂足为 ，
由（1）可知， 平面 ，故 ，可得 平面 .
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直
角坐标系 .
由（1）及已知可得 ， ， ， .
所以 ， ， ， .
设 是平面 的法向量，则
90APD∠ =
90BAP CDP∠ = ∠ = °
⊂
PAD PF AD⊥ F
AB ⊥ PAD AB PF⊥ PF ⊥ ABCD
F FA x | |AB
F xyz−
2( ,0,0)2A 2(0,0, )2P 2( ,1,0)2B 2( ,1,0)2C −
2 2( ,1, )2 2PC = − − ( 2,0,0)CB = 2 2( ,0, )2 2PA = − (0,1,0)AB =
( , , )x y z=n PCB
即
可取 .
设 是平面 的法向量，则
即
可取 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
19．（本题满分 12 分）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为
，点 ， 是 上的动点， 为 的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 在 轴的右侧，以 为底边的等腰 的顶点 在 轴上，求四边形
面积的最小值.
（Ⅰ）依题意得 解得
∴椭圆 的方程是
（Ⅱ）设
设线段 中点为 ∵ ∴ 中点 ，直线 斜率为
由 是以 为底边的等腰三角形∴
2 2 2
2 2 2
6
3
b
c
a
a b c
=
=
= +
6
2
a
b
=
=
C
2 2
16 2
x y+ =
0 0 0 0 0( , )( 2 2, 0, 0)P x y y y x− < < ≠ >
A P M (3 , 0 )A A P 0 03 , )2 2
x yM
+（ A P 0
0 3
y
x −
ABP∆ A P B M A P⊥
0,
0,
PC
CB
⋅ = ⋅ =
n
n
2 2 0,2 2
2 0,
x y z
x
− + − =
=
(0, 1, 2)= − −n
( , , )x y z=m PAB
0,
0,
PA
AB
⋅ = ⋅ =
m
m
2 2 0,2 2
0.
x z
y
− =
=
(1,0,1)=m
3cos , | || | 3
⋅= = −< > n mn m n m
A PB C− − 3
3
−
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： 2 2
6
3 (3,0)A P C F C
C
P y AP ABP∆ B y
FPAB
∴直线 的垂直平分线方程为
令 得 ∵ ∴
由 ∴四边形 面积
当且仅当 即
20．（本题满分 12 分）近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递
是否满意的评价系统.从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者
对商品的满意率为 0.70，对快递的满意率为 0.60,商品和快递都满意的交易为 80
（1）根据已知条件完成下面的 列联表，并回答能否有 99%认为“网购者对商品满意与
对快递满意之间有关系”？
对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意 80
对商品不满意
合计 200
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和快递都满意
的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 .
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】试题分析：(1)由题意得 n=200,再由满意率可求得 a,b,c,d 填入 列联表，算卡方
与数据 对比。（2）由二项分布写出布列及期望。
试题解析;（1） 列联表：
A P 0 0 0
0
3 3( )2 2
y x xy xy
− +− = − −
0x =
2 2
0 0
0
9(0, )2
y xB y
+ − 2 2
0 0 16 2
x y+ =
2
0
0
2 3(0 )2
yB y
− −，
( 2 , 0 )F − FPAB
2
0
0 0
0 0
2 35 5 3( | |) (2 ) 5 32 2 2 2
yS y yy y
− −= + = + ≥
0
0
32 2y y
=
0
3
2y = ±
2 2×
X X EX
( )
( )( )( )( )
2
2 ,n ad bc n a b c da b c d a c b d
χ −= = + + ++ + + +
( )2P kχ ≥
k
对快递满意 对快递不满意 合计
对商品满意
对商品不满意
合计
，
由于 ，所以没有 的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.
（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为 ，且 的取值可以是 ， ， ， .
； ；
； .
的分布列为：
所以 .
21．（本题满分 12 分）
设函数
（1） 求函数 的单调区间和极值
（2） 恒成立，求实数 的范围
解析：（1） ，
函数 的减区间为 ，增区间为
( ) ( ),
xef x g x axx
= =
( )y f x=
( ) ( ) ( )0, ,x f x g x∈ +∞ ≥当 a
( ) 2
1' xxf x ex
−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0 0,1 , ' 0; 1, , ' 0x f x x f x∈ −∞ < ∈ +∞ >
( )y f x= ( ) ( ),0 , 0,1−∞ ( )1,+∞
( ) ( )= 1f x f e=
极小值
（2）
,
,
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
一题计分.
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 为参数， ）. 以坐标原
点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
.
（1）求曲线 C 的普通方程和直线的直角坐标方程
(2)设 是曲线 上的一个动点，当 时，求点 到直线 的距离的最大值；
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ， .
（1）求不等式 的解集；
（2）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围.
(1)由 ，得 ，化成直角坐标方程，得
，即直线 的方程为 ， 为参数， ）
消去参数得曲线 C 的普通方程为：
（2）依题意，设 ，则 到直线 的距离
cos 2 24
πρ θ + = −
( )2 cos sin 2 22
ρ θ ρ θ− = −
( )2 2 22 x y− = − l 4 0x y− + =
( )2 3 cos ,2sinP t t P l
( ) ( ) ( )20 ,
xex f x g x a h xx
> ≥ ≤ =时 ，即
( ) 3
2' xxh x ex
−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,2 , ' 0, 2, , ' 0,x h x h x x h x h x∈ < ∈ +∞ >递减； 递增
( ) ( ) 2
min 2 4
eh x h= =
2
4
ea ≤
xOy C
cos (2sin
x a t ty t
=
= 0a >
x l
cos 2 24
πρ θ + = −
P C 2 3a = P l
( ) 2 2 2 2f x x x= + − − x∈R
( ) 3f x ≤
( )
2
f x a x+ = a
cos (2sin
x a t ty t
=
= 0a >
2 2
2 14
x y
a
+ =
，当 ，
即 时， ，故点 到直线 的距离的最大值为 .
23．（1）原不等式等价于 或 或 ，
得 或
∴不等式 的解集为 .
（2）由方程 可变形为 ，
令 ，作出图象如下：
于是由题意可得 .
4 cos 42 3 cos 2 sin 4 6 2 2 2 2 cos 62 2
tt td t
π
π
+ + − + = = = + + 26t k
π π+ =
2 ,6t k k Z
ππ= − ∈ max 4 2d = = P l 4 2
1
4 3
x < −
− ≤
1 1
4 3
x
x
− ≤ ≤
≤
1
4 3
x >
≤
1x < − 31 4x− ≤ ≤
( ) 3f x ≤ 3, 4
−∞
( )
2
f x a x+ = 1 1a x x x= + − − +
( ) 1 1h x x x x= + − − +
2, 1,
, 1 1,
2, 1,
x x
x x
x x
+ < −
= − − ≤ ≤
− >
1 1a− < <