【推荐】专题5-1+平面向量的概念及线性运算-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题5-1+平面向量的概念及线性运算-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

真题回放 ‎1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量，满足则 ( )‎ A.⊥ B. C. ∥ D. ‎【答案】A ‎2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos=.若n⊥(tm+n)，则实数t的值为 ‎（A）4 （B）–4 （C） （D）– ‎【答案】B ‎【考点】平面向量的数量积 ‎【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n⊥(tm+n)出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.‎ ‎3.【2016年高考北京理4题】设是向量，则“”是“”的 ‎（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【考点】充要条件,向量运算 ‎【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 平面向量的概念 B 平面向量加减与数乘运算 B 融会贯通 题型一　平面向量的概念 典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点在线段上，且，则 等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为点在线段上，且，所以，所以等于，故选D.‎ 考点：向量的相等.‎ 解题技巧与方法总结 平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别 ‎【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（ ）‎ A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．任何向量的模都是正实数 D．共线向量又叫平行向量 ‎【答案】D 考点：向量的概念． ‎ ‎【变式训练2】设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是 (　　)‎ A．与的方向相反 B．与的方向相同 C．|-|≥| | D．|-|≥| |· ‎【答案】B ‎【解析】对于A，当＞0时，与的方向相同，当＜0时，与的方向相反，B正确；对于C，|-|＝|-|| |，由于|-|的大小不确定，故|-|与| |的大小关系不确定；对于D，|| 是向量，而|-|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )‎ A. B. 是一个向量 C. D. ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A相反向量的和为零向量，所以A不正确；B两向量的数量积是一个实数，所以B不正确；C根据向量的减法的三角形法则，得，故C不正确；D零与任何向量的数量积等等于零向量，故D正确.‎ 考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.‎ 知识链接：‎ ‎1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).‎ ‎2.几个特殊的向量 ‎(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的.‎ ‎(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.‎ ‎(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0‎ 与任一向量共线.‎ ‎(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.‎ ‎(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.‎ 典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量不平行，向量与平行，则实数=___________‎ ‎【答案】 考点：向量平行的条件 ‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎(2)向量共线是指存在不全为零的实数，使成立；若，当且仅当=0时成立，则向量不共线．‎ ‎【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】法一：，若三点共线 ‎ 且三点共线 ‎ 所以存在非零实数，使 即 与不共线 所以 ‎ ‎ 法二：由题可得， ‎ ‎ ‎ 考点：向量共线定理 ‎【变式训练2】已知 （1） 当为何值时，与共线？‎ （2） 若，，且三点共线，求的值 ‎【答案】 ‎（2）三点共线 ‎ 故存在实数，使得 ， 考点：向量的运算法则、共线定理 ‎ 知识链接：‎ 平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.‎ 两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数λ，使得b=λa.‎ 题型二 向量的线性运算 命题点1 简单的向量线性运算 典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形中， ，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 解题技巧与方法总结 ‎(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．‎ ‎(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：‎ ‎①观察各向量的位置；‎ ‎②寻找相应的三角形或多边形；‎ ‎③运用法则找关系；④化简结果．‎ ‎【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】，故.‎ 知识链接：‎ 平面向量的基本定理 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ‎【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设是非零向量，则“共线”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B 命题点2 向量线性运算运用 典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决 ‎ ‎【变式训练1】如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b ‎【答案】D ‎【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ ‎【变式训练2】如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且AP‎→‎=‎2‎‎5‎AB‎→‎+‎1‎‎4‎AC‎→‎,AQ‎→‎=‎1‎‎3‎AB‎→‎+‎1‎‎2‎AC‎→‎,则△ABP与△ABQ的面积之比为　　　　. ‎ ‎【答案】 知识链接：‎ ‎1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例 ‎（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；‎ ‎2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：‎ ‎（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 ‎（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.‎ 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：‎ ，但这时必须“首尾相连”．‎ ‎3.向量的减法 ：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ‎4.作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）‎ 命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围 典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在中，点在边上，且，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】分析试题由已知可得：,所以= 点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. ‎ ‎【变式训练1】(2013·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【变式训练2】在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ 的值为 (　　)‎ A. B. C. D．1 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵M为BC上任意一点，∴可设＝x ＋y (x＋y＝1)．‎ ‎∵N为AM的中点，∴＝＝x ＋y ＝λ ＋μ ，∴λ＋μ＝(x＋y)＝.‎ 知识链接：‎ 三点共线的性质定理：‎ ‎(1)若平面上三点A、B、C共线，则＝λ.‎ ‎(2)若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.‎ 典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎【答案】C ‎【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD中，点在线段上，若，则实数的取值范围是　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可求得，所以.‎ 因为点在线段上，‎ 所以 ().‎ 因为，‎ 又==，‎ 所以=1，即μ=.‎ 因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.‎ 知识交汇 例1 如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则 ＋的值为________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m，n之间的关系 例2 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A等于(　　)‎ ‎ A．30° B．60°‎ ‎ C．90° D．120°‎ ‎【答案】A ‎【解析】　由得，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.‎ ‎【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合可得四边形OACB为平行四边形的条件，得出四边形OACB为菱形，从而求出角A的大小 练习检测 ‎1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在中，点分别是上，且，线段与相交于点，且，则用和表示为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ 2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知的边上有一点满足，则可表示为（　　）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】如图所示， .‎ ‎3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量等于（ ）‎ ‎（A） （B） ‎（C） （D） ‎【答案】C 点评：是两个单位向量，从图上将用单位向量表示出来 ‎ ‎4.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则 (　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 ‎【答案】B ‎【解析】因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.‎ ‎5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎,故本题正确答案为 ‎ ‎6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点， 分别在边， 上， ， ，直线交于点， ，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎ 7.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ ‎ ‎ ‎8.设点在内部,且有,求△ABC的面积与△OBC的面积之比.‎ ‎【答案】S△ABC∶S△OBC=3∶2.‎ ‎【解析】取BC的中点D,连接OD,则OB‎→‎+OC‎→‎=2OD‎→‎, ‎ ‎4OA‎→‎+OB‎→‎+OC‎→‎=0,‎ ‎∴4OA‎→‎=-(OB‎→‎+OC‎→‎)=-2OD‎→‎,‎ ‎∴OA‎→‎=-‎1‎‎2‎OD‎→‎.‎ ‎∴O、A、D三点共线,且|OD‎→‎|=2|OA‎→‎|,‎ ‎∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,‎ ‎∴S△ABC∶S△OBC=3∶2.‎ ‎9.在任意四边形中，是的中点，是中点，求证： ‎ 法二：连接 ‎ 则 ‎ ‎ ‎