【名校解析】2019届福建省厦门外国语学校高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含解析
2019届福建省厦门外国语学校
高三上学期第一次月考数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合 , ，则等于
A． B． C． D． R
2．已知命题：，有，：，，则在命题：； ：；：和： 中，真命题是
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．设，，，则
A． B． C． D．
4．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
5．若函数在区间内单调递增，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知，函数在上递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
7．函数的图像大致是
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
9．已知函数且那么下列命题中真命题的序号是
①的最大值为； ②的最小值为；
③在上是减函数； ④在上上是减函数.
A． ①③ B． ①④ C． ②③ D． ②④
10．定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为
A． B． C． D．
11．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为
12．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围为________．
14．已知是两个不共线的非零向量，且与 起点相同．若，，三向量的终点在同一直线上，则________.
15．已知函数，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围是___________．
16．已知函数f(x)＝4sin(2x＋ )(0≤x≤ )，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1
0}，B={y|01时,有y=>0,即A={y|y>0}，
由指数函数的性质,当x>1时,有0<<1,即B={y|00}，
故选B.
【点睛】
本题主要考察集合的运算，属于高考必考题，注意集合代表元素，熟悉指数对数的图像是作答本题的关键
2．C
【解析】
【分析】
首先确定命题p1，p2的真假，然后考查所给复合命题的真假即可求得最终结果．
【详解】
由指数函数的性质可得命题p1:∀x∈(0,+∞),有3x>2x，，是真命题，
p2: ，则，是假命题，
考查所给命题的真假：
:p1p2是真命题；
是假命题；
:是假命题；
:是真命题；
综上可得,真命题是q1,q4.
故选：C.
【点睛】
这是一道考察命题真假的题目，解题的关键是利用逻辑连接词的真值表，另外命题内容涉及的的内容较广，熟悉各模块知识是解决本题有力的工具
3．D
【解析】
试题分析：，结合函数图像可知
考点：三角函数基本公式及比较大小
4．D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
5．C
【解析】
【分析】
首先根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，据此即可求出函数的定义域；
计算可知，二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，结合对数的性质以及复合函数单调性可知f(x)的单调递增区间为（2，5）；为其子区间。
【详解】
根据对数的性质可得-x2+4x+5＞0，
解得-1＜x＜5.
因为二次函数y=-x2+4x+5图象的对称轴为x=2，
由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为（2，5），
要使函数在区间内单调递增，
只需
解关于m的不等式组得≤m＜2.
故选C.
【点睛】
本题考查复合函数的单调性，遵循同增异减的原则。由对数函数和二次函数的性质可得单调递增区间，让所给的的区间为其子区间构造不等式即可，解答本题的过程中需要时刻注意定义域问题。
6．B
【解析】
【分析】
通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．
【详解】
令： 不合题意 排除D，
合题意 排除A,C，故选B
【点睛】
本题主要考察三角函数的单调性问题，涉及求取值范围的问题，通过特殊值法是一个很巧妙的方法，在做题的过程中达到即快，又准又狠的目标，在带入特殊值的过程中我们需要对选项进行分析选取特殊值即可。
7．C
【解析】 ，所以当时，函数单调递增，舍去B;
当时，函数单调递减，舍去A; 当时，函数单调递减且 ，舍去D;选C.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系
8．D
【解析】
∵，∴，∴，
∴的周期为，∴， ，
，
又∵奇函数 在区间上是增函数，∴在区间上是增函数，
∴，故选D.
点睛：考查函数的周期性。单调性，将要比较的函数值化到同一单调区间；
9．B
【解析】
【分析】
可求出的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题
【详解】
的导数f′(x)=cosx−
又，
∴函数f(x)在[0,]上是增函数,f(x)在[,π]上是减函数
∴f(x)的最大值为f()
由此知①④是正确命题
故答案为①④
【点睛】
这是一道导数应用的题目，关键掌握利用导数判断函数单调性的方法，熟悉导函数与原函数的关系；另外在求最值的过程中我们需要知道原函数的单调性才能准确判断最值在哪取得，而导函数是判断单调性很有利的工具
10．B
【解析】
【分析】
令F(x)=2f(x)−x，然后根据导数符号研究函数的单调性，从而得到变量x的不等式，结合，解之即可．
【详解】
令F(x)=2f(x)−x
则F′(x)=2f′(x)−1>0
∴F(x)在R上单调递增
∵F(1)=2f(1)−1=2−1=1,2f(x)1且1⩽loga2
解得a∈(1,2]，
【点睛】
本题考查我们很熟知的二次函数和对数函数的综合，队恒成立问题的转化即可转化成最值问题，然后利用单调性去求出参数取值范围即可
14．
【解析】
【分析】
利用向量共线基本定理得出+，化简(λ−)+(t−λt−)=，由是两个不共线的非零向量得出系数分别为0，构造方程组，即可解出t
【详解】
设+，
化为(λ−)+(t−λt−)=，
∵是两个不共线的非零向量，且与 起点相同，
∴λ−, t−λt−解得λ=,t=.
∴当t=时,，，三向量的终点在同一直线上。
【点睛】
本题主要考察向量共线基本定理，首先根据向量三角形法则表示出在同一条直线上任意两向量，然后运用向量共线条件去解决问题。
15．
【解析】
试题分析：根据题意，可知，，当时，函数在上单调增，有一个零点不合题意，当时，在上单调减，在上单调增，在上单调减，所以要想满足条件，等价结果为，解得，所以的取值范围是．
考点：函数的零点问题，参数的取值范围．
16．
【解析】
【分析】
求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．
【详解】
令2x+=+kπ得x=+,k∈Z,即f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z.
∵f(x)的最小正周期为T=π,0⩽x⩽，
∴f(x)在(0, )上有30条对称轴，
∴x1+ x2=2×, x2+ x3=2×, x3+ x4=2×,…, xn－1＋xn =2×，
将以上各式相加得：x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn=2×(+++…+)=2× ×30=445π，
故答案为：445π.
【点睛】
本题属于三角函数的性质和图像的综合类题目，主要利用三角函数的对称轴和周期来解决问题，利用对称轴算出相邻两个函数值的关系，然后利用周期算出在所求范围内容有多少个交点，再利用等差求和即可解决问题
17．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）若与垂直，，得出，即可求出；（2）先表示出，利用三角函数的有界性求出最值
【详解】
（1）∵与垂直，
∴
，
∴。
（2）由，得
，
当即时，等号成立，所以的最大值为。
【点睛】
本题属于三角函数的向量的结合，重点利用向量所求的内容进行解答，两向量垂直课转化坐标之间的关系进行解决，模长的公式可用坐标来表示出来。
18．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由 .利用正弦定理将正弦值转化为边，得出再结合余弦定理出结论；(Ⅱ)由，利用同角三角函数基本关系式求，利用三角形内角和可求出，再利用正弦定理可求出b
【详解】
(Ⅰ)
化简得
(Ⅱ) ，
由正弦定理得
【点睛】
在解三角形类题目中，遇到式子中既有边又有角的问题，需要利用正弦定理将边化成角或将角化成边；另外做这类的题目建议大家一定画出三角形，把已知的边角标上，然后所有的算边或角都要选取三角形中进行，分析采用余弦定理还是正弦定理
19．（1）是极小值点，是极大值点； （2）.
【解析】
试题分析：（1）把a=代入f（x）＝，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；（2）已知f（x）上的为R上单调函数，可知f′（x）在R上恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．
试题解析：解：对f（x）求导得.
（1）当a＝时，若f′（x）＝0，则，
解得.
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：
x
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴x＝是极小值点，x＝是极大值点．
（2）若f（x）为R上的单调函数，则在R上不变号，结合f′（x）与条件a＞0，知在R上恒成立，由此，又a＞0，故0＜a≤1.
考点：1.利用导数研究函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系.
20．（1）； （2）该村两年内能收回全部投资资金.
【解析】
【分析】
（1）根据旅游收入p（x）等于每天的旅游人数f（x）与游客人均消费g（x）的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．
【详解】
(1)依据题意，有(,)
即
(2) 当时，
(当且仅当时，等号成立) ． 因此， (千元) ．
当时，． 考察函数的性质，
可知在上单调递减，于是， (千元) ．
又，所以，日最低收入为千元．
该村两年可收回的投资资金为(千元)= (万元)．
因为万元 万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．
【点睛】
本题主要是数学模型的选取，主要考察分段函数，遇到这类型的题目，首先认真审题，读懂题意， 对题干进行转化，第二问实质就是求最值，主要求最值的方法有最值，二次函数，求导等主要方法
21．（1）;（2）;（3）当时，有两解，；当时，有三解，；当时，有四解，．
【解析】
试题分析：（1）由对称性可知,．（2）设,由对称性知．从而可得时的解析式．根据分段函数可得的表达式．（3）作出函数图像,由数形结合分析可知有两个解,三个解,四个解时的范围及此时的值,从而可得．
试题解析：解：（1），
。
（2）设
（3）作函数的图像
显然，若有解，则。
① 若，有两解，；
②若，有三解，；
③若，有四解，
④若，有两解，。
综上所述，当时，有两解，；
当时，有三解，；
当时，有四解，。
考点：1函数的对称性;2函数解析式;3数形结合思想．
22．（1）； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由条件，进而得到最大值，由存在性的思想可得，解不等式得出a的范围
(2)求出和k，把证明转化证明，构造函数，利用导数证明该函数在上是增函数即可得出结论
【详解】
(1)∵，其定义域为，
∴，
∵，，∴，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
从而当时，取得最大值，
由题意得，解得，即实数的取值范围．
(2)∵，
∴，
又
．
不妨设，要证明，
即证明，
只需证明， 即证明，
构造函数， 则，
所以在上是增函数，当时，，
又，所以，从而成立．
【点睛】
(1)首先是针对能成立和恒成立题干的转化，转化求最值问题；导数中的证明中含有两个变量的式子对其进行转化转化证明，将两个变量转化成一个变量是解答这类题目的关键，然后利用函数最值思想去解决问题。
