数学理卷·2018届河北省衡水中学高三上学期八模考试（2018

数学理卷·2018届河北省衡水中学高三上学期八模考试（2018

2017-2018 学年度高三级第一学期八模考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项是符合题意， 请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若复数 z 满足 2 3 2z z i   ，其中 i 为虚数单位，则 z  （ ） A．1 2i B．1 2i C． 1 2i  D． 1 2i  2．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 6 39S  ，则 3 4a a  （ ） A．31 B．12 C．13 D．52 3．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人 会证明此题： 甲：我不会证明 乙：丙会证明 丙：丁会证明 丁：我不会证明 根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ） A．⑴⑵ B．⑴⑶ C． ⑵⑷ D．⑵⑶ 5．已知抛物线 21 2y x 的焦点与 2 2 12 y x m   的一个焦点重合，则 m  （ ） A． 7 4 B． 127 64 C． 9 4 D． 129 64 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． 8 3 B． 4 3 C． 4 2 2 3 4  D． 4 2 2 3 6  7．已知 Rt ABC ，点 D 为斜边 BC 的中点，| | 6 3AB  ，| | 6AC  ， 1 2AE ED  ，则 AE EB  等于（ ） A．-14 B．-9 C．9 D．14 8．已知函数 ( ) ( 0, 1)xf x a b a a    的图象经过点 (1,3)P ， (2,5)Q ．当 n N  时， ( ) 1 ( ) ( 1)n f na f n f n    ，记数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，当 10 33nS  时， n 的值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．若下图程序框图在输入 1a  时运行的结果为 p ，点 M 为抛物线 2 2y px  上的一个动点， 设点 M 到此抛物线的准线的距离为 1d ，到直线 4 0x y   的距离为 2d ，则 1 2d d 的最小 值是（ ） A． 5 2 B． 5 2 2 C．2 D． 2 10．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是 万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方 法，在平面直角坐标系中，圆O 被 3sin 6y x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小 圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A． 1 36 B． 1 18 C． 1 12 D． 1 9 11．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 8DC CC  ， 4CB  ，AM MB  ，点 N 是平面 1 1 1 1A B C D 上的点，且满足 1 5C N  ，当长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的体积最大时，线段 MN 的最小值 是（ ） A． 6 2 B． 21 C．8 D． 4 3 12．已知实数 0a  ，函数 ( )f x  1 1 2 , 02 ( 1) , 02 2 x x ae x a ae x a x x            ，若关于 x 的方程 [ ( )] 2 a af f x e   有三个不等的实根，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 2(1,2 )e  B． 2(2,2 )e  C． 1(1,1 )e  D． 1(2,2 )e  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分共 20 分） 13．计算定积分 2 2 1 4 x dx    ． 14．设变量 ,x y 满足不等式组 4 0 3 3 0 1 x y x y x          ，则 | 4| 2 x yz   的取值范围是 ． 15．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，若椭圆上存在 点 p 使 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   成立，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 16．用 ( )g n 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9 的因数有 1，3，9， (9) 9g  ， 10 的因数有 1，2，5，10， (10) 5g  ，那么 2015(1) (2) (3) (2 1)g g g g      ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） 17．函数 ( ) sin( )( 0,| | )2f x x        的部分图像如图所示，将 ( )y f x 的图象向右平 移 4  个单位长度后得到函数 ( )y g x 的图象． （1）求函数 ( )y g x 的解折式； （2）在 ABC 中，角 , ,A B C 满足 22sin ( ) 12 3 A B g C     ，且其外接圆的半径 2R  ，求 ABC 的面积的最大值． 18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 ADE BCF 和一个正四棱锥 P ABCD 组合而 成， AD AF ， 2AE AD  ． （Ⅰ）证明：平面 PAD  平面 ABFE ； （Ⅱ）求正四棱锥 P ABCD 的高 h ，使得二面角 C AF P  的余弦值是 2 2 3 ． 19．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一 套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若 用水量超过 12 吨且不超过 14 吨时，超过 12 吨部分按 6.60 元/吨计算水费；若用水量超过 14 吨时，超过 14 吨部分按 7.8 元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况， 通过抽样，获得了 100 户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,2],(2,4], ,(14,16] 分 成 8 组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图． （Ⅰ）假设用抽到的 100 户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况． （ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取 5 户，求这 5 户居民恰好 3 户居民的月用水量都超过 12 吨的概率； （ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到 0.01）； （Ⅱ）如图 2 是该市居民李某 2016 年 1～6 月份的月用水费 y （元）与月份 x 的散点图，其 拟合的线性回归方程是 2 33y x    ．若李某 2016 年 1～7 月份水费总支出为 294.6 元，试 估计李某 7 月份的用水吨数． 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的四个项点组成的四边形的面积为 2 2 ，且经过点 2(1, )2 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆C 的下顶点为 P ，如图所示，点 M 为直线 2x  上的一个动点，过椭圆C 的右 焦点 F 的直线l 垂直于 OM ，且与 C 交于 ,A B 两点，与 OM 交于点 N ，四边形 AMBO 和 ONP 的面积分别为 1S ， 2S ，求 1 2S S 的最大值． 21．已知函数 ( ) ( )ln( )xf x e x a x a x     ， a R ． （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 的图象在 0x  处的切线方程； （2）若函数 ( )f x 在定义域上为单调增函数． ①求 a 最大整数值； ②证明： 2 33 4 1ln 2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 1 nn e n e       ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过 (2,0)M ，倾斜角为 ( 0)   ．以 O 为极点， x 轴非负半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 4cos   ． （Ⅰ）求直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知直线l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，且| | 2| |MA MB ，求直线 l 的斜率 k ． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 1|f x x  ． （1）若不等式 1( ) 2 1( 0)2f x m m    的解集为[ 2,2] ，求实数 m 的值； （2）若不等式 ( ) 2 | 2 3|2 y y af x x    ，对任意的实数 ,x y R 恒成立，求实数 a 的最小值． 试卷答案 一、选择题 1-5:BCADC 6-10:DDDBB 11、12：BB 二、填空题 13． 3 4 2 3  14． 7 2[ ,3 2]4 15． ( 2 1,1) 16． 20154 1 3  三、解答题 17．试题解析：（Ⅰ）由图知 2 4( )12 6       ，解得 2  ∵ ( ) sin(2 ) 112 12f       ∴ 2 ( )6 2k k Z      ，即 2k ( )3 k Z    由于 2 2     ，因此 3   ∴ ( ) sin(2 )3f x x   ∴ ( ) sin[2( ) ]4 4 3f x x      sin(2 )6x   即函数 ( )y g x 的解析式为 ( ) sin(2 )6g x x   （Ⅱ）∵ 22sin ( ) 12 3 A B g C     ∴1 cos( ) 1 sin(2 )2A B C      ∵ cos( ) cosA B C   ， sin(2 ) cos22C C  cos cos2C C ，即 2cos 2cos 1C C  ，所以 1cos 2C   或 1（舍）， 2 3C  由正弦定理得 2 4sin c RC   ，解得 2 3c  由余弦定理得 2 2 21cos 2 2 a b cC ab     ∴ 2 2 12 2a b ab ab    ， 4ab  （当且仅当 a b 等号成立） ∴ 1 3sin 32 4ABCS ab C ab    ∴ ABC 的面积最大值为 3 ． 18．（Ⅰ）证明：正三棱柱 ADE BCF 中， AB  平面 ADE ， 所以 AB AD ，又 AD AF ， AB AF A ， 所以 AD  平面 ABFE ， AD  平面 PAD ， 所以平面 PAD  平面 ABFE ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 AD  平面 ABFE ，以 A 为原点， AB ， AE ， AD 方向为 , ,x y z 轴建立空 间直角坐标系 -A xyz ，设正四棱锥 -P ABCD 的高为 h ， 2AE AD  ，则 (0,0,0)A ， (2,2,0)F ， (2,0,2)C ， (1, ,1)P h ， (2,2,0)AF  ， (2,0,2)AC  ， (1, ,1)AP h  ． 设平面 ACF 的一个法向量 1 1 1( , , )m x y z ， 则 1 1 1 1 2 2 0 2 2 0 m AF x y m AC x z              ，取 1 1x  ，则 1 1 1y z   ，所以 (1, 1, 1)m    ． 设平面 AFP 的一个法向量 2 2 2( , , )n x y z ，则 2 2 2 2 2 2 2 0 0 n AF x y n AP x hy z               ， 取 2 1x  ，则 2 1y   ， 2 1z h   ，所以 (1, 1, 1 )n h    ． 二面角C AF P  的余弦值是 2 2 3 ， 所以 cos , | | | | m nm n m n         2 1 1 1 1 2 2 33 2 ( 1)h       ， 解得 1h  ． 19．【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取 5 户，每户居民月用水量 超过 12 吨的概率为 1 10 ，因此这 5 户居民恰好 3 户居民的月用水量都超过 12 吨的概率为 3 3 2 5 1 9 81( ) ( )10 10 10000P C  ． （ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分 布表如下： 月用水量 x （吨） (0,12] (12,14] (14,16] 价格 X （元/吨） 4 4.20 4.60 概率 P 0.9 0.06 0.04 所以全市居民用水价格的期望 ( ) 4 0.9 4.2 0.06 4.6 0.04 4.04E X        吨． （Ⅱ）设李某 2016 年 1～6 月份的月用水费 y （元）与月份 x 的对应点为 ( , )( 1,2,3,4,5,6)i ix y i  ，它们的平均值分别为 x ，y ，则 1 2 6 21 6x x x x     ，又点 ( , )x y 在直线 2 33y x    上，所以 40y  ，因此 1 2 6 240y y y   ，所以 7 月份的水费为 294.6 240 54.6  元． 设居民月用水量为 t 吨，相应的水费为 ( )f t 元，则 4 ,0 12 ( ) 48 ( 12) 6.6,12 14 61.2 ( 14) 7.8,14 16 t t f t t t t t               ，即： 4 ,0 12 ( ) 6.6 31.2,12 14 7.8 48,14 16 t t f t t t t t           当 13t  时， ( ) 6.6 13 31.2 54.6f t     ， 所以李某 7 月份的用水吨数约为 13 吨． 20．（1）因为 2(1, )2 在椭圆 C 上，所以 2 2 1 1 12a b   ， 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为 2 2 ，所以 1 2 2 2 22 a b   ， 2ab  ， 解得 2 2a  ， 2 1b  ，所以椭圆 C 的方程为 2 2 12 x y  （2）由（1）可知 (1,0)F ，设 (2, )M t ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则当 0t  时， : 2 tOM y x ，所以 2 ABk t   ， 直线 AB 的方程为 2 ( 1)y xt    ，即 2 2 0( 0)x ty t    ， 由 2 2 2 ( 1) 2 2 0 y xt x y         得 2 2 2(8 ) 16 8 2 0t x x t     ， 则 2 2 2 4 2( 16) 4(8 )(8 2 ) 8( 4 ) 0t t t t         ， 1 2 2 16 8x x t    ， 2 1 2 2 8 2 8 tx x t   ， 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( 4)1 8 8 t t tAB t t t       ， 又 2 4OM t  ，所以 1 1 2S OM AB  2 2 2 1 2 2( 4)42 8 tt t     2 2 2 2( 4) 4 8 t t t    ， 由 2 ( 1) 2 y xt ty x       ，得 2 4 4NX t   ，所以 2 2 2 1 4 212 4 4S t t      ， 所以 2 2 1 2 2 2 2( 4) 4 2 8 4 t tS S t t     2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 48 24 4 t t t t       ， 当 0t  ，直线 : 1l x  ， 2AB  ， 1 1 2 2 22S     ， 2 1 11 12 2S     ， 1 2 2 2S S  ， 所以当 0t  时， 1 2 max 2( ) 2S S  ． 21．【解析】（1）当 1a  时， ( ) ( 1)ln( 1)xf x e x x x     ，∴ (0) 1f  ， 又 '( ) ln( 1)xf x e x   ，∴ '(0) 1f  ， 则所求切线方程为 1y x  ，即 1 0x y   ． （2）由题意知， '( ) ln( )xf x e x a   ， 若函数 ( )f x 在定义域上为单调增函数，则 '( ) 0f x  恒成立． ①先证明 1xe x  ．设 ( ) 1xg x e x   ，则 '( ) 1xg x e  ， 则函数 ( )g x 在 ( ,0) 上单调递减，在 (0, ) 上单调递增， ∴ ( ) (0) 0g x g  ，即 1xe x  ． 同理可证 ln 1x x  ，∴ ln( 2) 1x x   ，∴ 1 ln( 2)xe x x    ． 当 2a  时， '( ) 0f x  恒成立． 当 3a  时， '(0) 1 ln 0f a   ，即 '( ) ln( ) 0xf x e x a    不恒成立． 综上所述， a 的最大整数值为 2． ②由①知， ln( 2)xe x  ，令 1tx t   ， ∴ 1 1 1ln( 2) ln( ) t t t te t t        ，∴ 1 1(ln )t tte t    ． 由此可知，当 1t  时， 0 ln 2e  ．当 2t  时， 1 23(ln )2e  ， 当 3t  时， 2 34(ln )3e  ， ，当t n 时， 1 1(ln )n nne n    ． 累加得 0 1 2 1ne e e e        2 33 4 1ln 2 (ln ) (ln ) (ln )2 3 nn n     ． 又 0 1 2 1ne e e e        11 ( ) 1 1 1 11 1 n en e e e      ， ∴ 2 33 4ln 2 (ln ) (ln )2 3   1(ln ) 1 nn e n e     ． 22．解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为 2 cos sin x t y t       （t 为参数）， 由 2sin 4cos   得 2 2sin 4 cos    ，∴曲线 C 的直角坐标方程为 2 4y x ． （Ⅱ）把 2 cosx t   ， siny t  代入 2 4y x 得 2 2(sin ) (4cos ) 8 0t t    ． 设 ,A B 两点对应的参数分别为 1t 与 2t ，则 1 2 2 4cos sint t    ， 1 2 2 8 sint t   ， 易知 1t 与 2t 异号，又∵| | 2| |MA MB ，∴ 1 22t t  ．消去 1t 与 2t 得 tan 2   ，即 2k   23．【解析】（1）由题意，知不等式| 2 | 2 1( 0)x m m   解集为[ 2,2] 由| 2 | 2 1x m  ，得 1 1 2 2m x m     ， 所以，由 1 22m   ，解得 3 2m  ． （2）不等式 ( ) 2 | 2 3|2 y y af x x    等价于| 2 1| | 2 3| 2 2 y y ax x     ， 由题意知 max(| 2x 1| | 2x 3|) 2 2 y y a     ． 因为| 2 1| | 2 3| | (2 1) (2 3) | 4x x x x        ， 所以 2 42 y y a  ，即 [2 (4 2 )]y ya   对任意 y R 都成立，则 max[2 (4 2 )]y ya   ． 而 22 (4 2 )2 (4 2 ) [ ] 42 y y y y     ，当且仅当 2 4 2y y  ，即 1y  时等号成立， 故 4a  ，所以实数 a 的最小值为 4．