数学理卷·2017届江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学高三11月联考（2016

数学理卷·2017届江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学高三11月联考（2016

丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学 ‎ 2017届高三联考理科数学试卷 命题人：龚新华 审题人：石林 ‎ 考试时间：120分 总分：150分 （2016.11.27）‎ 一、单项选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．集合，则中元素的个数为（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．函数的零点所在的一个区间（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数图象的一条对称轴为，那么＝（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 若不等式，对任意的上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知,数列的前n项和为,数列的通项公式为,则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足 则点集，（ ）所表示的区域的面积是（ ）‎ ‎ A．8 B． C．4 D．‎ ‎7．定义为个实数的“均倒数”。已知数列的前项的“均倒数”为，前n项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9、若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）‎ ‎ A．1 B.2 C.3 D．4‎ ‎10．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A‎1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列结论中：①|BM|是定值；②点M在球面上运动；③DE⊥A‎1C；④MB∥平面A1DE.其中错误 的有（ ）个 ‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎11．如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面 内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）‎ ‎ A．21 B．‎22 C．23 D． 25‎ 12． 数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则＝（ ）‎ ‎ A. B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.复数，是它的共轭复数，则＝_________．‎ ‎14．已知中．AB＝BC，延长CB至D，使ACAD，若 则_________.‎ ‎15．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞之和，则 尺．‎ ‎16．已知点，其中，且，，若四边形是矩形，则此矩形绕轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为________．‎ 三、解答题（本题6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）若为的一个零点，求的值．‎ ‎18．下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，，且，为线段的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎19．在等比数列中，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为递增数列，若，求证：．‎ ‎20.‎ ‎ （1).当a=1时,求函数f(x)的单调区间及在(1,f(1))处的切线与曲线C的另一交点的横坐标 ‎ （2）证明:若对于任意非零实数,曲线C与其点处的切线交于另一点(,曲线C与其在点()处的切线交于另一点,线段,与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为、，则为定值 ‎21．已知三棱柱在中, 侧面为正方形, 延长到,使得,平面平面.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）若分别为的中点, 求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设，比较与1的大小关系，并说明理由．‎ ‎ 丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学 ‎ 2017届高三联考理科数学试卷答案 一、 单项选择题 ‎1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A．7. C 8．D 9.B 10．A 11．B 12．B 二、 填空题 ‎ 13.2 14．3 15． 16． ‎ 三、 解答题 ‎17．（I）‎ ‎，………………3‎ 所以的最小正周期为，‎ 因为，∴，‎ 所以函数的单调递增区间是．………………5‎ ‎（II），∴，‎ 因为，，∴，所以，……………8‎ ‎……………………10‎ ‎18．（Ⅰ）连结与交于点，则为的中点，连结， ∵为线段的中点，∴且 ………………………2‎ 又且 ‎∴且 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴, 即． ………………………3‎ 又∵平面, 面, ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∵, ∴, ………………5‎ ‎（Ⅱ）∵平面，平面,‎ ‎∴平面平面 ‎∵，平面平面，平面，‎ ‎∴平面. ………………………9‎ 三棱锥的体积 ‎………………12‎ ‎19．（1）∵，‎ ‎∴，………………………3‎ ‎∴． ………………5‎ ‎（2）由题意知，………………………7‎ ‎∴，………………………9‎ ‎∴．………………12‎ ‎20．（i）有得．‎ 当和(，)时，；‎ 当时，。‎ 因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。………………4‎ 曲线在点处的切线方程为,得，‎ 故另一交点的横坐标为－2，……………………6‎ ‎（ⅱ）曲线在点处的切线方程为，即 由 得 即，‎ 解得或，‎ 故。……………………………………9‎ 进而有 用代替，重复上述计算过程，可得和。K^S*5U.C#O 又，所以，因此有 ‎。………………………12【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21．（1）见解析；（2）．‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）取的中点,连接,在中，为中位线,．‎ 平面平面平面,‎ 同理可得平面,又,所以平面平面．‎ 平面平面.………………………5‎ ‎（2）连接,在中,，‎ 所以由余弦定理得，‎ 是等腰直角三角形，∴ ,‎ 又因为平面平面，平面平面平面．【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 平面,,又因为侧面为正方形，，………………………8‎ 分别以所在直线作为轴, 轴,轴建立空间直角坐标系,‎ 设, 则 ‎,………………………9‎ 设平面的一个法向量为,则,即．‎ 令,则，故为平面的一个法向量．‎ 设平面的一个法向量为，则，即 ‎．‎ 令,则,故为平面的一个法向量,‎ 所以,‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.………………………12‎ ‎22．（1）当时，函数无极值，当时，函数有极大值，无极小值；（2），理由见解析.‎ ‎（1）依题意 ………………………2‎ ‎①若，则在上恒成立，函数无极值；‎ ‎②若，则，此时，‎ 令，解得，令，解得，‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为，‎ 故函数的极大值为，无极小值.‎ 综上所述，当时，函数无极值；当时，函数有极大值，无极小值 ………………………5‎ ‎（2）依题意，，‎ 要比较与1的大小 ，即比较与的大小．‎ ‎∵，∴可比较与的大小………………………7‎ 令，即比较与的大小．‎ 设，‎ 则，………………………9‎ 因为，所以，所以函数在上单调递减，‎ 故，所以对任意恒成立，所以，‎ 所以 ………………………12‎