江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第四次周考数学（文）

江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第四次周考数学（文）

数学（文)试题 分值：150分 考试时间：120分钟 ‎ ‎ 本次命题范围：高考范围 下次命题范围：高考范围 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“”是“x2≠1”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2. 等差数列满足，则（ ）‎ A. B.0 C.5 D.10‎ ‎3已知函数f（x）=x2+2cosx，f’（x）是f（x）的导函数，则函数y=f’（x）的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A.60 B.30 C.20 D.10 ‎ ‎5. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1－x），且当x[0，1]时，f（x）=x（3－2x），则f（）=（ ）‎ A．－1 B．－ C． D．1 ‎ ‎6. 已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. (错题再现)已知四边形中，，，AC与BD相交于点E，且则=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为，则三棱柱的体积为（ ）‎ A. B.12 C. D.18‎ ‎10.设椭圆C：（的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线的倾斜角60，则椭圆C的离心率为( )‎ A. B.. C. D.‎ ‎11.已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则=（ ）‎ A．2016 B．2015 C．2014 D．2013‎ ‎12.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).‎ A. B. C. D.有极小值点，且 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13.已知，把它向右平移3个单位，再按的长度向上平移后，其坐标变为 。‎ ‎14．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i＝____________.‎ ‎15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an=SnSn-1（n≥2，nN*），则当Sn取最大值时，n的值为______________.‎ ‎16.如图，现有一个为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面. 现欲在弧上取不同于的点，用渔网围着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I和养殖区域II. 若， ， . 则所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的最大值为______. ‎ 三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.‎ ‎(一)必答题（每题12分，共60分）‎ ‎17.已知：复数,,且,其中、为△ABC的内角,、、为角、、所对的边．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎18.某校高三文科(1)班共有学生45人,其中男生15人,女生30人在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(满分100分),成绩为85分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表:‎ 地理之星 非地理之星 合计 男生 女生 合计 如果从全班45人中任意抽取1人,抽到“地理之星”的概率为。‎ ‎（1）完成“地理之星”与性别的2×2列联表, 并回答是否有90%以上的把握认为获得“地理 之星”与“性别”有关?‎ ‎（2）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90,方差为7.2,请你判断这 些同学中是否有得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数)‎ 参考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d .‎ P(≥)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且AB⊥平面PAD，E是PB中点，‎ ‎（1）求证：CE⊥AB；‎ ‎（2）若CE=AB=2，求三棱锥的高.‎ ‎20.已知椭圆的焦距为2,左、右顶点分别为,是椭圆上一点,记直线的斜率为,且有.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点,以为直径的圆经过原点,且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.‎ ‎21. 设函数f（x）=. a∈R.‎ ‎（1）若x>0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求证：ln2+ln3+...+lnn>1+++...+-n (n≥2)‎ ‎（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y＝ .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(－2，1)，求||QM|－|QN||的值．‎ ‎23. 已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤3的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．“”是“x2≠1”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】‎ 由2x≠2可得x≠1，若x=-1，则x2=1，故充分性不成立，显然必要性成立。‎ 故选：B．‎ ‎2. 等差数列满足，则（ ）‎ A. B.0 C.5 D.10‎ 答案：C ‎3已知函数f（x）=x2+2cosx，f’（x）是f（x）的导函数，则函数y=f’（x）的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ C【解析】‎ f’（x）=2x－2sinx=2（x－sin x），显然f’（x）是奇函数，求导易得f’（x）在R上单调递增。故选C ‎4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A.60 B.30 C.20 D.10 ‎ 借助立方体可知所求三棱锥为右图粗线部分，该几何体的体积为V=（×3×5）×4=10. ‎ 故选：D．‎ ‎5. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）=f（1－x），且当x[0，1]时，f（x）=x（3－2x），则f（）=（ ）‎ A．－1 B．－ C． D．1 ‎ ‎【解析】∵f（－x）=－f（x），f（1－x）=f（1+x），∴f（x+1）=－f（x－1）=f（x－3），T=4，f（）=f（－16）=f（－）=－f（）=－（3－2×）=－1.‎ 故选：A．‎ ‎6. 已知函数，现将的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎7. (错题再现)已知四边形中，，，AC与BD相交于点E，且则=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( )‎ A. B. C. D.‎ 由题意不妨设甲、乙两地坐标为(-2,0),(2.0),丙地坐标为(x,y),则 ‎,‎ 整理得,半径,所以最大面积为.‎ 故选：B ‎9.已知三棱柱 的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为，则三棱柱的体积为（ ）‎ A. B.12 C. D.18‎ ‎10.设椭圆C：（的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点，直线的倾斜角60，则椭圆C的离心率为( )‎ A. B.. C. D.‎ ‎11.已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则=（ ）‎ A．2016 B．2015 C．2014 D．2013‎ ‎12.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).‎ A. B. C. D.有极小值点，且 ‎【答案】C 故A正确 由（1）知，，>0，。取，，‎ ‎，故B正确，C不正确.‎ 由 当，当时，‎ ‎。有极小值点.由 ‎ 若证 ‎ 故D 正确 另解：【解析】函数导函数：‎ 有极值点，而极值，，A正确.‎ 有两个零点：，，即：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②得：‎ 根据对数平均值不等式：‎ ‎，而， B正确，C错误 而①+②得：，即D成立.‎ 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13.已知，把它向右平移3个单位，再按的长度向上平移后，其坐标变为 。‎ 解答：向量平移后，坐标不变。‎ ‎14．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i＝____________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】初始值a＝10,i＝1.‎ 第一次循环得a＝5,i＝2；第二次循环得a＝16,i＝3；‎ 第三次循环得a＝8,i＝4；第四次循环得a＝4,i＝5,‎ 此时退出循环,输出i＝5.故填5.‎ ‎15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，an=SnSn-1（n≥2，nN*），则当Sn取最大值时，n的值为______________.‎ ‎674‎ ‎【解析】当n≥2时，an=Sn－Sn-1=SnSn-1，=－1，即数列{}是等差数列.又 S1=a1=,∴=－（n-1）,即Sn=，∴当n=674时，Sn取得最大值3.‎ ‎16.如图，现有一个为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面. 现欲在弧上取不同于的点，用渔网围着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在扇形湖面内各处连个养殖区域——养殖区域I和养殖区域II. 若， ， . 则所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的最大值为______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由 ，得 在中，由正弦定理，得 ‎ 设渔网的长度为，则 ‎ 所以 ，因为，所以， 令 ，得 ，所以 ，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎ ‎ 极大值 所以的最大值为 ，即答案为 ‎ 三、解答题 :本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题至21题为必答题，,第22题第23题为选答题.‎ ‎(一)必答题（每题12分，共60分）‎ ‎17.已知：复数,,且,其中、为 ‎△ABC的内角,、、为角、、所对的边．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若,求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(1)先利用复数相等得出三角形的边角关系,再利用正弦定理将边转化为角,利用三角关系求角B;(2)利用余弦定理求出有关的关系,再利用三角形的面积公式进行求解 .‎ ‎【解析】(1),, ①, ②；……..2分 由①得 ③‎ 在中,由正弦定理得………………3分 ‎…………………………………………………….4分 ‎ ∴ ∴,∵ ∴ ……………..6分 ‎………..7分 ‎………...8分 ‎……….10分 ‎……….12分 ‎18.某校高三文科(1)班共有学生45人,其中男生15人,女生30人在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(满分100分),成绩为85分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表:‎ 地理之星 非地理之星 合计 男生 女生 合计 如果从全班45人中任意抽取1人,抽到“地理之星”的概率为。‎ ‎（1）完成“地理之星”与性别的2×2列联表, 并回答是否有90%以上的把握认为获得“地理 之星”与“性别”有关?‎ ‎（2）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90,方差为7.2,请你判断这 些同学中是否有得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数)‎ 参考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d .‎ P(≥)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】‎ ‎(1)易知“地理之星”总人数为45×=15,得到2×2列联表如下:‎ 地理之星 非地理之星 合计 男生 ‎7‎ ‎8‎ ‎15‎ 女生 ‎8‎ ‎22‎ ‎30‎ 合计 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 则所以没有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关……………………………………………………………………………..6分 ‎(2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为则 ‎①若有两个及以上得满分，‎ 则=[+++…+]>>7.2,不符合题意…..9分 ‎②若恰有一个满分,为使方差最小,则其他分值需集中分布于平均数90的附近,且保证平均值为90,则有10个得分为89,其余4个得分为90,此时方差取得最小值………………..11分 ‎[+4×+10×]=>7.2,与题意方差为7.2不符.‎ 综上,这些同学中没有得满分的同学………………………………………………………12分 ‎(也可以从一个满分讨论人手,推导一个不符合题意,两个更不符合题意)‎ ‎19.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且AB⊥平面PAD，E是PB中点，‎ ‎（1）求证：CE⊥AB；‎ ‎（2）若CE=AB=2，求三棱锥的高.‎ Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．………………………………………………………………………………….1分 因为点是中点，‎ 所以且．‎ 又因为且，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，……………………………………..……..3分 所以，…………………………………………………………………4分 因为平面，平面，‎ 所以……………………………………………………………………..5分 所以……………………………………………………………………..6分 ‎（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，……………………7分 因为，‎ 由（Ⅰ）知， ‎ 又因为，所以，‎ 所以 ……………………………… ..8分 所以为正三角形，所以，且． ………………….9分 因为平面，，‎ 所以平面． ‎ 因为平面，‎ 所以， ‎ 又因为，所以平面．……………………………………11分 所以三棱锥的高为． ………………………………………………….12分 ‎20.已知椭圆的焦距为2,左、右顶点分别为,是椭圆上一点,记直线的斜率为,且有.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点,以为直径的圆经过原点,且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意,,,……………………………………………..1分 设,则有,即,‎ ‎,……………………… ….3分 ‎,‎ ‎,,………………………………………………4分 即椭圆的方程为；………………………………………………….5分 ‎（2）设,的中点为,………………………6分 联立得到,…………………7分 ‎ ①…………………………………8分 ‎,,, ②…………………………………………………………………………………9分 因为以为直径的圆经过原点,所以,,,,,‎ 化简得 ③……………………………………………………..10分 将②式代入得到代入①式得到,‎ 由于线段的垂直平分线经过点,,‎ 将②代入得到 ④‎ 联立③④得或1,因为,所以,………………….11分 所以直线的方程为…………………………………………………12分 ‎21. 设函数f（x）=. a∈R.‎ ‎（1）若x>0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求证：ln2+ln3+...+lnn>1+++...+-n (n≥2)‎ ‎【解析】（1）f（x）的定义域为（0，十∞），由，f（x）≥0，得a≤x+xlnx，…….1分 令g（x）=x+xlnx，则g'（x）=1+lnx+1=lnx+2，g'（e-2）=0，………………… .2分 ‎0e-2时，g'（x）>0，‎ 因为g（x）在（0，e-2]上是减函数，在[e-2，+∞）上是增函数，…………………3分 所以x>0时，g（x）≥g（e-2）=e-2-2e-2=-e-2，…………………………………… …4分 所以a≤-e-2即a的取值范围是（-∞，-e-2]………………………………………… .5分 证明：（2）当a=1时，f（x）=lnx-+1，f'（x）=>0…………..7分 所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，‎ 所以x>1时，f（x）>f（1）=0，………………………………………………………8分 所以.x>1时，lnx-+1>0，lnx>……………………………………………….10分 ‎……………………………..11分 即ln2+ln3+...+lnn>1+(n≥2)……………………………………..12分 ‎（二）选做题：10分.考生在22题和23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y＝ .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(－2，1)，求||QM|－|QN||的值．‎ ‎………1分 ‎……….2分 ‎………3分 ‎………4分 ‎………..5分 ‎……………….6分 ‎………………8‎ ‎………………10分 ‎23. 已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤3的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围 ‎……………..2‎ ‎…………….3分 ‎………………4分 ‎……………5分 ‎…………7分 ‎…… ….8分 ‎…………10分