2017-2018学年贵州省铜仁市思南中学高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 贵州省铜仁市思南中学2017-2018学年高二下学期第二次月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1． （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将复数的分子分母同乘以，利用复数的乘法法则求解即可.‎ 详解：由于 ‎ ‎，故选B.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．已知随机变量则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接根据独立重复试验的概率公式求解即可.‎ 详解：随机变量服从二项分布，‎ ‎，故选D.‎ 点睛：本题主要考查二项分布与独立重复试验公式，关键是记忆公式，准确计算.‎ ‎3．某种电路开关闭合后出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合出现红灯”为事件，则由题意可得，利用条件概率计算公式求得的值.‎ 详解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合出现红灯”为事件，‎ 则由题意可得，‎ 则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯概率计是：‎ ‎，故选C.‎ 点睛：本题考主要查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率与独立事件同时发生的概率的区别.‎ ‎4．如图是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据算法的功能是计算的值，确定终止程序运行的，由此可得判断框中应填入的条件.‎ 详解：根据算法的功能是计算的值，‎ 终止程序运行的，‎ 判断框中应填入的条件是：或，故选B.‎ 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎5．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )‎ A. 18 B. 24 C. 30 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 视频 ‎6．已知数列是等差数列，且,则( )‎ A. B. － C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式求出，从而可得结果.‎ 详解：设等差数列的公差为，‎ 则，‎ 所以， ‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎7．已知某二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接展开式中第项与第项的二项式系数相等列方程求出，然后利用二项式定理系数的性质求解即可.‎ 详解：已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，‎ 可得，可得，‎ 的展开式中奇数项的二项式系数和为 ‎ ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎8．求曲线与直线所围成的平面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据定积分的几何意义先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可.‎ 详解：曲线与直线所围成的平面图形的面积等于 ‎，故选D.‎ 点睛：本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题. 一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线 以及直线之间的曲边梯形面积的和 ，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.‎ ‎9．若向量,,若与平行，则的值等于（ ）‎ A. B. － C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由向量坐标形式的数乘及加减法运算，求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解.‎ 详解：因为向量和，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由与平行，‎ ‎，‎ 解得，故选B.‎ 点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成成等差数列的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：将一个骰子连续抛掷三次，每次都有种情况，由分步计数原理可得共有种情况，、分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由古典概型概率公式可得结果.‎ ‎ 详解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有种情况，‎ 则共有种情况， ‎ 它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：‎ ‎①若落地时向上的点数若不同，‎ 则为或或或或或，共有种可能，‎ 每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况，‎ 共有种情况；‎ ‎②若落地时向上的点数全相同，有种情况，‎ 共有种情况，‎ 落地时向上的点数能组成等差数列的概率为，故选A.‎ 点睛：本题考查古典概型概率公式，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.‎ ‎11．,则的最大面积为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值.‎ 详解： ，‎ 由余弦定理及得，‎ ‎ ，‎ 的面积，‎ 当时，即，的面积有最大值，‎ 的最大面积是，故选B.‎ 点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用配方法求最值，对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的最值.‎ ‎12．已知函数的图像上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数的图象上有两对关于轴对称的点，等价于当时，函数与有两个交点，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合函数图象求解即可.‎ 详解：‎ 当时，，‎ 则此时函数关于轴对称的函数为，‎ 若函数的图象上有两对关于轴对称的点，‎ 等价于当时，函数与函数有两个交点，‎ 由题意可得的图象和的图象有两个交点，‎ 设直线与相切的切点为，‎ 由的导数为， ‎ 即有切线的斜率为，‎ 又，‎ 解得，‎ 由图象可得时，有两个交点，‎ 即函数的图像上有两对关于轴对称的点，‎ 实数的取值范围是，故选C.‎ 点睛：本题考查分段函数的解析式，导数的几何意义以及函数零点问题，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知,则的最大值为______________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，从而可得结果.‎ 详解：‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 最大值为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．二项式展开式中的常数项为__________.（用数字作答）‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】分析：由，写出的展开式的通项，由的指数为，求得值，即可得出结论.‎ 详解：，‎ 的展开式的通项为，‎ 由，可得，‎ 二项式的展开式中的常数项为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎15．有9名礼仪小姐，为学校某次活动颁奖，如果身高最高的甲站在中间，其它8人身高互不相同，甲的左边和右边以身高为准由高到低向两边排列，则不同排法种数为_________.（用数字作答）‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】分析：先让甲排中间，然后从人中挑出人排右边有种，剩余人排在左边,从而可得结果.‎ 详解：先让甲排中间，然后从人中挑出人排右边有种，由于这四人由高到低排列，所以顺序确定，剩余人排在左边，顺序也确定，所以共有种不同的排法，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.‎ ‎16．已知函数在处取得极小值；若过点的直线与曲线有二条切线，则满足条件的实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用可求得函数解析式，利用在抛物线外，列不等式求解即可.‎ 详解：因为，‎ 所以,‎ 函数在处取得极小值,‎ 所以，，‎ 解得，‎ 所以，‎ 因为过点的直线与曲线有二条切线，‎ 所以在抛物线外，‎ 所以可得，‎ 即实数的取值范围为，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，抛物线与直线的位置关系，已知极值求参数，属于中档题. 已知函数的极值求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．箱子里装有10个大小相同的编号为1、2、3的小球，其中1号球有2个，2号小球有个，3号小球有个，且，从箱子里一次摸出2个球；号码是2号和3号各一个的概率是.‎ ‎ (1)求的值； ‎ ‎ (2)从箱子里一次任意摸出两个球,设得到小球的编号之和为,求的分布列.‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)由古典概型概率公式可得，由此可得， 结合，，从而可得结果（2）的可能取值为，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 详解：(1)由已知有，∴， 又，，‎ ‎∴ ‎ ‎(2)解：的可能取值为2，3，4，5，6 ‎ ‎,,‎ ‎, , ‎ 的分布列为 点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.‎ ‎18．且 ‎ ‎.‎ ‎(1)求角C； ‎ ‎(2)若求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由利用正弦定理得：，化简可得 ‎，从而可得，结合，可得；（Ⅱ）由余弦定理得，解得 时，所以；‎ 当时，．‎ 详解：（Ⅰ）由题设及正弦定理得：，‎ 在 ．又，‎ 故，．‎ 在 ，得，故，又，所以．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：，化简得：，‎ 解得：或． 当时，；‎ 当时，．‎ 点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,, 平面，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，，，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为，求的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先证明四边形为平行四边形， 由得 ，由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，所以 ，⊥平面，由面面垂直的判定定理可得平面⊥平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系，求得平面法向量为，平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可得，从而结果.‎ 详解：（Ⅰ）∵，为的中点, ,∴ ，∴四边形为平行四边形， ∵∴ ．∵，∴，又∵平面⊥平面,平面∩平面=， ∴平面．∴ ，又∵，∴⊥平面．∵⊂平面，‎ ‎∴平面⊥平面 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面． 如图，以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系．则由 ‎ ‎ ‎ 又 ‎∴平面法向量为由题意求 平面的法向量为 ‎∵平面与所成的锐二面角的大小的为，‎ ‎∴，‎ ‎∴∴ .‎ 点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.‎ ‎（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;‎ ‎（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足 ，则称为这三个数的中位数）.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先算出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可；（Ⅱ）应先根据题意求出随机变量的所有可能值，再计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现，从而求出数学期望.‎ 试题解析：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 ‎（Ⅱ）的所有可能值为1，2，3，且，，．‎ 故的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而 ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为点，为短轴的上端点，过垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.‎ ‎⑴求椭圆C的方程；‎ ‎⑵设经过点且不经过点M的直线与相交于G，H两点,若分别为直线的斜率,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)-1.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且，所以，进而可得结果；(Ⅱ)设直线的方程为,代入得,根据斜率公式，利用韦达定理，可得，化简消去即可的结果.‎ 详解：（Ⅰ）由，得. 因为过垂直于轴的直线交椭圆于两点且 ‎，所以，由得,故椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的方程与点知设直线的方程为,即，将代入得,‎ 由题设可知,设，‎ 则，‎ ‎，所以 ‎ 点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)若函数在(0,+∞)时上为单调递增函数，求实数的取值范围;‎ ‎(2)若函数在和处取得极值，且(为自然对数的底数)，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】分析：(1) 因为在上单调递增，所以恒有，即 恒成立，，结合基本不等式可得结果；⑵是方程的两个实根， 由韦达定理得：，可得，‎ 设，令 ，利用导数研究函数的单调性可得，从而可得结果.‎ 详解：⑴，又因为在上单调递增，所以恒有，即 恒成立，，而，当且仅当时取“”, .‎ ‎ 即函数在上为单调增函数时的取值范围是；‎ ‎⑵，‎ 又，所以是方程的两个实根， 由韦达定理得：，‎ ‎∴‎ ‎ ，‎ 设，令 ‎ ‎ ∴在上是减函数，，‎ 故的最大值为.‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎