2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合S、T,再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．函数的定义域（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以函数的定义域为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得原式=.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得样本中女运动员人数为，计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得样本中女运动员人数是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．要得到函数的图像，需要将函数的图像（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以要得到函数的图像，需要将函数的图像向右平移个单位长度.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．已知向量，，若∥，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 由，‎ 得，即．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．‎ ‎7．等比数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等比数列性质得 因为等比数列中，同号，所以，选A.‎ ‎8．下列函数，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，，函数不是偶函数，所以该选项是错误的；‎ 对于选项B, 所以函数f(x)是偶函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，所以该选项是正确的；‎ 对于选项C, 是偶函数，在上是减函数，所以该选项是错误的；‎ 对于选项D, ,是偶函数，在上不是增函数，是非单调函数，所以该选项是错误的.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.‎ ‎10．已知过点，的直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据条件知道过点A(-2，m)和B(m，4)的直线斜率和已知直线的斜率之积为-1，‎ 故。‎ 故答案为：D。‎ ‎11．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆心和半径，即得圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题得OC中点坐标为（3,4），‎ 圆的半径为，‎ 所以圆的方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12．平面与平面平行的条件可以是（ ）‎ A．内有无穷多条直线都与平行 B．直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内 C．直线，直线，且∥，∥‎ D．内的任何直线都与平行 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，内有无穷多条直线都与平行，则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项B, 直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内, 则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项C, 直线，直线，且∥，∥,则可能与平行或相交，所以该选项错误；‎ 对于选项D, 内的任何直线都与平行,所以，所以该选项正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面平行的判断证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理空间想象能力.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以函数的最小正周期为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．已知变量满足约束条件，则的最小值为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出满足不等式组的可行域，由可得可得为该直线在轴上的截距，‎ 截距越大，越小，结合图形可求的最大值 ‎【详解】‎ 作出变量，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：‎ 由于可得，则表示目标函数在轴上的截距，截距越大，越小 作直线，然后把直线向平域平移，由题意可得，直线平移到时，最小，‎ 由可得，此时．‎ 故答案为：-3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．‎ ‎15．在的二项展开式中，的系数为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出展开式的通项公式为，再令的幂指数等于3求出的值，即可求得的系数．‎ ‎【详解】‎ 二项式的展开式的通项公式为．‎ 令，解得，‎ 展开式中的系数为，‎ 故答案为：-84‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于 中档题．‎ ‎16．设随机变量～，则 _____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，满足二项分布，所以 考点：1．二项分布公式；‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．等比数列中，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为的前项和．若，求．‎ ‎【答案】（1）或 .‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。‎ 详解：（1）设的公比为，由题设得．‎ 由已知得，解得（舍去），或．‎ 故或．‎ ‎（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．‎ 若，则．由得，解得．‎ 综上，．‎ 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。‎ ‎18．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．‎ ‎(1)证明：∥平面；‎ ‎(2)设二面角为，，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积，体积．‎ 试题解析：（1）证明：连，设，连，‎ ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎．‎ 设．则．‎ 设为平面的法向量，则 取．‎ 又为平面的一个法向量，‎ ‎∴，∴．‎ 因为为的中点，所以三棱锥的高为，‎ ‎∴．‎ 考点：线面平行的判定，二面角．‎ ‎19．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：‎ 经常进行网络购物 偶尔或从不进行网络购物 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎110‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？‎ ‎（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取人，从这人中随机选出人赠送网络优惠券，求选出的人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；‎ ‎（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为，求的期望和方差.‎ 附：，其中 ‎【答案】（1）不能（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由列联表中的数据计算的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽取的5名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量服从次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小．‎ 试题解析：（1）由列联表数据计算.‎ 所以，不能再犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.‎ ‎（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有人，偶尔或从不进行网购的有人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是.‎ ‎（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为.‎ 由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是.‎ 由于该市市民数量很大，故可以认为.‎ 所以，，.‎ ‎20．已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）已知直线经过原点，并且被圆C截得的弦长为，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意设出圆心C的坐标，由圆与直线相切的关系列出方程，求出圆C 的圆心坐标和半径，即可求出圆的方程；‎ ‎（2）设直线m的方程为y＝kx，根据弦长公式列出方程求出k即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心的坐标为，‎ 则.‎ 解得或. ‎ 所以，半径或 故圆的方程为：或. ‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为:，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件. ‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由题意得，解得，‎ 则直线的方程为. ‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查方程思想和待定系数法求圆的方程，属于中档题．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若函数是偶函数，求的值；‎ ‎（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 由于函数g(x)是偶函数，所以，‎ 所以k=2.‎ ‎（2）由题得在上恒成立，‎ 当x=0时，不等式显然成立.‎ 当，所以在上恒成立，‎ 因为函数在上是减函数，所以.‎ 当时，所以在上恒成立，‎ 因为函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以.‎ 综合得实数k的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为 ‎（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标化直角坐标的公式求解即可；（2）设,利用三角函数图像和性质解答得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题得，所以.‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ 设,‎ 所以，‎ 其中在第一象限，且.‎ 所以x+2y最大值为5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查三角函数的恒等变换和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲 已知函数，集合 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义，将函数化为分段函数的形式，画出图像，根据图象即可求得；（2）结合（1）得，作差，化简即可得证.‎ 试题解析：(1)函数 首先画出与的图象如图所示：‎ 可得不等式解集为：.‎ ‎ (2) ∵‎ ‎∴.‎ ‎∴ ‎ ‎∴,故.‎