2019届二轮复习指数与指数函数学案（全国通用）
2019 届二轮复习 指数与指数函数 学案 （全国通用）
1.了解指数函数模型的实际背景；学
2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，3，10，1
2
，1
3
的指
数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
1．根式的性质
(1)(n a)n＝a.
(2)当 n 为奇数时n an＝a.
当 n 为偶数时n an＝{a a≥0 －a a<0 .
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂：an＝a·a·…· an 个 (n∈N )．
②零指数幂：a0＝1(a≠0)．
③负整数指数幂：a－p＝ 1
ap(a≠0，p∈N )．
④正分数指数幂：am
n
＝n am(a>0，m、n∈N ，且 n>1)．
⑤负分数指数幂：a－m
n
＝ 1
am
n
＝
1
n am
(a>0，m、n∈N ，且 n>1)．
⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)； ]
②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0
0 时，y>1；
x<0 时，00 时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
【必会结论】
1．(n a)n＝a(n∈N 且 n>1)．
2.n an＝
a，n 为奇数且 n>1，
|a|＝ a，a≥0，
－a，a＜0，
n 为偶数且 n>1.
3．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 a＞1，还是 0＜a＜1，在第一象限内底数越大，
函数图象越高．学 ——
高频考点一 指数幂的运算
例 1、求值与化简：
(1)8
2
3 ×100
－1
2 ×
1
4 －3×
16
81
－3
4 ；
(2)5
6a
1
3 ·b－2·(－3a
－1
2 b－1)÷(4a
2
3 ·b－3)
1
2 ；
(3)
3
a
9
2 a－3÷ 3 a－73 a13.
解 (1)原式＝(23)
2
3 ×(102)
－1
2 ×(2－2)－3×
2
3 4
－3
4 ＝22×10－1×26×
2
3 －3＝862
5.
(2)原式＝－5
2a
－1
6 b－3÷(4a
2
3 ·b－3)
1
2
＝－5
4a
－1
6 b－3÷(a
1
3 b
－3
2 )＝－5
4a
－1
2 ·b
－3
2
＝－5
4
· 1
ab3
＝－5 ab
4ab2 .
(3)原式＝(a
9
2 a
－3
2 )
1
3 ÷(a
－7
3 a
13
3 )
1
2 ＝(a3)
1
3 ÷(a2)
1
2
＝a÷a＝1.
【变式探究】化简：(1)
a3b23 ab2
a
1
4
b
1
2
4a
1
3
b
1
3
(a>0，b>0)；
(2)
2 1
1 03 227( ) 0.002 10( 5 2) ( 2 3) .8
－－ ＋ － － ＋ －
解 (1)原式＝
a3b2a
1
3 b
2
3
1
2
ab2a
1
3
b
1
3
＝a
3 1 112 6 3
b
1 11 23 3
＝ab－1.
(2)原式＝
1
2 2
327 1 10( )8 500 5 2
－ ＋ － ＋1
－
＝
1
2 2
38 1( ) 527 500
－ ＋ －10( + 2)＋1
＝4
9
＋10 5－10 5－20＋1＝－167
9 .
【方法规律】指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
【变式探究】 (1)[(0.064
1
5 )－2.5]
2
3 －3
33
8
－π0＝ .
(2)(1
4)
1
2
·
4ab－1 3
0.1 －1· a3·b－3
1
2 ＝ .
答案 (1)0 (2)8
5
高频考点二 指数函数的图象及应用
例 2、已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案 D
解析 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又 af(c)>f(b)，结合图象知 f(a)<1，
a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.
又 f(a)>f(c)，即 1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.
【变式探究】(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ．
解析 (1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，
又 e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除 B、C、D，只有 A 满足．
(2)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，
则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
答案 (1)A (2)[－1，1]
【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、
伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【变式探究】 (1)定义运算 a⊕b＝ a，a≤b，
b，a>b，
则函数 f(x)＝1⊕2x 的图象是( )
(2)方程 2x＝2－x 的解的个数是 ．
解析 (1)因为当 x≤0 时，2x≤1；当 x>0 时，2x>1.
则 f(x)＝1⊕2x＝ 2x，x≤0，
1，x>0，
图象 A 满足．
(2)方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
答案 (1)A (2)1
高频考点三 指数函数的图象和性质
命题角度 1 比较指数幂的大小
例 1、已知 a＝
1
2
2
3 ，b＝2
－4
3 ，c＝
1
2
1
3 ，则下列关系式中正确的是( )
A．c2
3>1
3
，所以
1
2
4
3 <
1
2
2
3 <
1
2
1
3 ，
即 b0 的解集是( )
A．{x|x<－2 或 x>2} B．{x|x<－2 或 x>4}
C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<1 或 x>5}
答案 D
解析 当 x≥0 时，由 f(x)＝3x－9>0 得 x>2，所以 f(x)>0 的解集为{x|x>2 或 x<－2}．将函数 f(x)的图象向
右平移 3 个单位，得到函数 f(x－3)的图象，所以不等式 f(x－3)>0 的解集为{x|x<1 或 x>5}．选 D.
命题角度 3 与指数函数有关的复合函数问题
例/3、 (1)已知函数 y＝2－x2＋ax＋1 在区间(－∞，3)内单调递增，则 a 的取值范围为 ．
答案 [6，＋∞)
解析 函数 y＝2－x2＋ax＋1 是由函数 y＝2t 和 t＝－x2＋ax＋1 复合而成．因为函数 t＝－x2＋ax＋1 在区间
－∞，a
2 上单调递增，在区间
a
2
，＋∞ 上单调递减，且函数 y＝2t 在 R 上单调递增，所以函数 y＝2－x2＋ax＋1
在区间 －∞，a
2 上单调递增，在区间
a
2
，＋∞ 上单调递减．又因为函数 y＝2－x2＋ax＋1 在区间(－∞，3)内单调
递增，所以 3≤a
2
，即 a≥6.
(2)函数 y＝
1
4 x－
1
2 x＋1 在 x∈[－3,2]上的值域为 ．
答案
3
4
，57
【变式探究】有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)．
(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值
范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，
其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，
最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质
例 4、设函数 f(x)＝kax－a－x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数．
(1)若 f(1)>0，试求不等式 f(x2＋2x)＋f(x－4)>0 的解集；
(2)若 f(1)＝3
2
，且 g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数，
所以 f(0)＝0，所以 k－1＝0，即 k＝1，f(x)＝ax－a－x.
(1)因为 f(1)>0，所以 a－1
a>0，
又 a>0 且 a≠1，所以 a>1.
因为 f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna>0，
所以 f(x)在 R 上为增函数，原不等式可化为 f(x2＋2x)>f(4－x)，
所以 x2＋2x>4－x，即 x2＋3x－4>0，
所以 x>1 或 x<－4.
所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<－4}．
【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a
的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结
合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．
【变式探究】(1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则 m 的取值
范围是 ．
(2)如果函数 y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是 14，则 a 的值为( )
A.1
3 B．1
C．3 D.1
3
或 3
答案 (1)(－∞，4] (2)D
解析 (1)令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间[m
2
，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m
2]上单调递减．而 y
＝2t 为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m
2≤2，即 m≤4，所以 m 的
取值范围是(－∞，4]．
(2)令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
当 a>1 时，因为 x∈[－1,1]，所以 t∈[1
a
，a]，
又函数 y＝(t＋1)2－2 在
1
a
，a 上单调递增，
所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(负值舍去)．
当 00，a≠1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a>1 与 00，且 a≠1)的图像如图 11 所示，则下列函数图像正确的是( )
图 11
A B
C D
【答案】B
【解析】由函数 y＝logax 的图像过点(3，1)，得 a＝3。选项 A 中的函数为 y＝
1
3
x
，则其函数图像不正
确；选项 B 中的函数为 y＝x3，则其函数图像正确；选项 C 中的函数为 y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选
项 D 中的函数为 y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．
（2014·江西卷）已知函数 f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若 f[g(1)]＝1，则 a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】g(1)＝a－1，由 f[g(1)]＝1，得 5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故 a＝1.
（2014·辽宁卷）已知 a＝2－1
3
，b＝log2
1
3
，c＝log1
2
1
3
，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为 0log1
2
1
2
＝1，所以 c>a>b.
（2014·山东卷）设集合 A＝{ －1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则 A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】C
【解析】根据已知得，集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以 A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选 C.
（2014·山东卷）已知实数 x，y 满足 ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. 1
x2＋1
＞ 1
y2＋1
B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
【答案】D
【解析】因为 ax＜ay(0＜a＜1)，所以 x＞y，所以 sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)， 1
x2＋1
＞ 1
y2＋1
都不
一定正确，故选 D.
（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x1
2 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝
1
2
x
D．f(x)＝3x
【答案】B
【解析】由于 f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项 A，C.又 f(x)＝
1
2
x
为单调递减函数，所以排除选项 D.
（2014·陕西卷）已知 4a＝2，lg x＝a，则 x＝ ．
【答案】 10
【解析】由 4a＝2，得 a＝1
2
，代入 lg x＝a，得 lg x＝1
2
，那么 x＝101
2
＝ 10.
（2013·安徽卷）已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 x |)x<－1 或 x>1
2
，则 f(10x)>0 的解集为( )
A．{x|x<－1 或 x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
【答案】D
【解析】根据已知可得不等式 f(x)>0 的解是－1a>0，c>b>0.
(1)记集合 M＝{(a，b，c)|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a＝b}，则(a，b，c)∈M 所对应
的 f(x)的零点的取值集合为 ；学
(2)若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
① x∈(－∞，1)，f(x)>0；
② x∈R，使 ax，bx，cx 不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC 为钝角三角形，则 x∈(1，2)，使 f(x)＝0.
【答案】(1){x|0a>0，c>b>0，则 0a
c
，
b
c
x
>b
c
，所以
a
c
x
＋
b
c
x
>a
c
＋b
c
，又 a，b，c 为三角形三边，则定有 a＋b>c，故对 x∈(－∞，1)，
a
c
x
＋
b
c
x
－1>0，即 f(x)＝ax＋bx－cx＝cx
a
c
x
＋
b
c
x
－1 >0，故①正确；取 x＝2，则
a
c
2
＋
b
c
2
0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知， x∈(1，2)，使
f(x)＝0，故③正确．故填①②③.
（2013·浙江卷）已知 x，y 为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
【答案】D
【解析】∵lg(xy)＝lg x＋lg y，∴2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lgx2lgy，故选择 D。
