【百强校】湖南省长沙市第一中学2020届高三第七次大联考数学（理）试题

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炎德·英才大联考长沙市一中 2020 届高三月考试卷（七） 数学（理科） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知全集U Z ，  1,2,3,4A  ，    | 1 3 0,B x x x x Z     ，则  UA C B  （ ） A.  1,2 B.  2,3 C.  1,2,3 D.  1,2,3,4 2. 已知复数 1 2 iz i   ，则 z 的共轭复数 z  （ ） A. 1 3 5 5 i B. 1 3 5 5 i C. 1 3 5 5 i  D. 1 3 5 5 i  3. 函数 1 ( 0, 1)xy a a aa     的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4.   61 2 1t t  的展开式中， 3t 项的系数为（ ） A. 20 B. 30 C. -10 D. -24 5. 2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是 希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p 使得 2p  是素数，素数对  , 2p p  称为孪生素数.从 20 以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A. 1 14 B. 1 7 C. 3 14 D. 1 3 6. 如图所示的程序框图，则输出的 x ， y ， z 的值分别是（ ） A. 1300 9 ，600，1120 3 B. 1200，500，300 C. 1100，400，600 D. 300，500，1200 7. 若 ,4 2        ， 3 7sin 2 8   ，则sin  （ ） A. 3 5 B. 4 5 C. 7 4 D. 3 4 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：  2 2 0y px p  的焦点为 F ， M 是抛物线 C 上的一点，若 OFM△ 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为 36 ，则 p  （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 在三棱锥 P ABC 中， PA  平面 ABC ， ABC△ 为等边三角形， PA AB ， E 是 PC 的中点，则异 面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 10. 直 线 2x  与 双 曲 线 2 2 116 9 x y  的 渐 近 线 交 于 A ， B 两 点 ， 设 P 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 若 OP aOA bOB    （ ,a b R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 2ab  B. 2 2 4a b  C. 2a b  D. 2a b  11. 已知函数   cos sin 2f x x x ，给出下列命题： ① x R  ，都有    f x f x   成立； ②存在常数 0T  ， x R  恒有    f x T f x  成立； ③  f x 的最大值为 2 3 9 ； ④  y f x 在 ,6 6      上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 12. 已知函数   21ln ( 1) ( 0)2x ax af ax x a      的值域与函数   f f x 的值域相同，则 a 的取值范 围为（ ） A.  0,1 B.  1, C. 40, 3      D. 4 ,3    第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上. 13. 已知向量  1,4a  ，  2,b k  ，且 2a b  与 2a b  共线，则实数 k ______. 14. 某中学有学生 3600 名，从中随机抽取 300 名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过 1 公里 的学生共有 15 人，不超过 2 公里的学生共有 45 人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在 1,2 公里的学生有______人. 15. 如图所示，在正四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， E ， F 分别是 AB ，CD 的 中点， 2cos 2PEF  ，若 A ， B ，C ， D ， P 在同一球面上，则此球的体积为______. 16. 如 图 ， 在 ABC△ 中 ， AC BC ， D 为 BC 边 上 的 点 ， M 为 AD 上 的 点 ， 1CD  ， CAB MBD DMB     ，则 AM  ______. 三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知等差数列 na 和递增的等比数列 nb 满足： 1 1a  ， 1 3b  且 3 5 22 3b a a  ， 2 4 2b a  . （1）分别求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 nS 表示数列 na 的前 n 项和，若对任意的 *n N ， n nkb S 恒成立，求实数 k 的取值范围. 18. 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ， 1AB AA ， 1 60BAA   . （1）求证： 1 1 1AC B A ； （2）若平面 ABC  平面 1 1ABB A ，且 AB BC ，求直线 1CB 与平面 1A BC 所成角的正弦值. 19. 2019 年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价 格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励 有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场 供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产.决策层调阅了该企业过去 生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下 表： 生猪存栏数量 x （千头） 2 3 4 5 8 一头猪每天平均成本 y （元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 （1）研究员甲根据以上数据认为 y 与 x 具有线性回归关系，请帮他求出 y 关于 x 的线性回归方程    1 y bx a  ；（保留小数点后两位有效数字） （2）研究员乙根据以上数据得出 y 与 x 的回归模型：  2 4.8 0.8y x   .为了评价两种模型的拟合效果，请完 成以下任务： ①完成下表（计算结果精确到 0.01 元）（备注： ie 称为相应于点  ,i ix y 的残差）； 生猪存栏数量 x （千头） 2 3 4 5 8 一头猪每天平均成本 y （元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲 估计值  1 iy 残差  1 ie 模型乙 估计值   2 iy 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差  2 ie 0 0 0 0.14 0.1 ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 1Q 及 2Q ，并通过比较 1Q ， 2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更 好. （3）根据市场调查，生猪存栏数量达到 1 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.5 元；生猪存栏数量 达到 1.2 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.2 元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头 猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择 1 万头还是 1.2 万头能获得更多利润？请说明理由.（利润＝收入－ 成本） 参考公式：      1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx                  ，  y bx a  . 参考数据：   5 1 5.3i i i x x y y      ，  5 2 1 21.2i i x x    . 20. 已 知  0,0A x ，  00,B y 两 点 分 别 在 x 轴 和 y 轴 上 运 动 ， 且 1AB  ， 若 动 点  ,P x y 满 足 2 3OP OA OB    . （1）求出动点 P 的轨迹C 的标准方程； （2）设动直线 l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆 2 2 7x y  相交于两点 1P ， 2P （两点均不在坐标轴 上），求直线 1OP 、 2OP 的斜率之积. 21. 已知函数   ln1 af x xx   （ a R ， a 为常数）. （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）若函数  f x 在 ,e  内有极值，试比较 1ae  与 1ea  的大小，并证明你的结论. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知 在平 面直 角坐 标系 xOy 中 ，直线 l 的参 数方 程为 4 x t y t      （ t 为参 数 ），曲 线 1C 的方 程为  22 1 1x y   .以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线 1C 的极坐标方程； （2）曲线 2C ： 0,0 2           分别交直线l 和曲线 1C 于点 A ，B ，求 OB OA 的最大值及相应 的 值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数   3 3f x x a x    . （1）若 3a  ，解不等式   6f x  ； （2）若不存在实数 x ，使得   1 6 2f x a x    ，求实数 a 的取值范围. 炎德·英才大联考长沙市一中 2020 届高三月考试卷（七） 数学（理科）参考答案 一、选择题 1-5：CBDCB 6-10：BDDBD 11-12：DD 1. C 【 解 析 】 由 题    | 1 3 0,UC B x x x x Z        | 1 3, 1,0,1,2,3x x x Z       ， 则    1,2,3UA C B  ，故选 C. 2. B 【解析】 1 (1 )(2 ) 2 2 1 1 3 2 (2 )(2 ) 5 5 5 i i i i iz ii i i             ，∴ 1 3 5 5z i  ，故选 B. 3. D 【解析】∵ 0a  ，∴ 1 0a  ，∴函数 xy a 需向下平移 1 a 个单位，不过 0,1 点，所以排除 A.当 1a  时，∴ 10 1a   ，所以排除 B.当 0 1a  时，∴ 1 1a  ，所以排除 C.故选 D. 4. C 【解 析】  61 t 展开 式的通 项为 1 6 r r rT C t  ， 所以   61 2 1t t  的展 开式中 3t 项的 系数为 3 2 6 62 10C C   ，故选 C. 5. B 【解析】依题意，20 以内的素数共有 8 个，从中选两个共包含 2 8 28C  个基本事件，而 20 以内的孪生 素数有 3,5 ， 5,7 ， 11,13 ， 17,19 共四对，包含 4 个基本事件，所以从 20 以内的素数中任取两个， 其中能构成孪生素数的概率为 2 8 4 1 7P C   .故选 B. 6. B 【解析】根据程序框图得：① 300y  ， 1i  ，满足 3i  ；② 400y  ， 2i  ，满足 3i  ；③ 500y  ， 300z  ， 1200x  ， 3i  ，不满足 3i  .故输出的 1200x  ， 500y  ， 300z  .故选 B. 7. D 【 解 析 】 ∵ ,4 2        ， ∴ 2 ,2       ， ∴ 2 9 7 1cos2 1 sin 2 1 64 8           ， ∵ 2cos2 1 2sin   ，sin 0  ，∴ 1 cos2 3sin 2 4    ，故选 D. 8. D 【解析】依题意得， OFM△ 的外接圆半径为 6， OFM△ 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分 线 4 px  上，圆心到准线 2 px   的距离等于 6，即有 64 2 p p  ，由此解得 8p  ，故选 D. 9. B 【解析】取 BC 的中点 F ，连接 EF ，AF ，则 / /EF PB ，所以 AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角.因为 ABC△ 为正三角形，所以 60BAC   .设 2PA AB a  ，因为 PA  平面 ABC ，所以 3AF a ， 2AE a ， 2EF a ，所以 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) 1cos 42 2 2 a a aAEF a a       ，故选 B. 10. D【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为 3 4y x  ，联立直线 2x  ，解得 3 2y   ，∴不妨设 32, 2A     ， 32, 2B    ，  ,P x y ，∵ OP aOA bOB    ，∴ 2 2x a b  ， 3 3 2 2y a b  ， ∵ P 为双曲线 C 上的任意一点，∴ 2 2 3 3 (2 2 ) 2 2 116 9 a ba b       ，∴ 1ab  ， ∴ 2 2 2( ) 2 4 4a b a b ab ab      （ a b 时等号成立），可得 2a b  ，故选 D. 11. D 【 解 析 】 ①        cos sin 2 cos sin 2f x x x x x f x        ， 为 奇 函 数 ， 正 确 ； ②    2f x f x  ，为周期函数，正确；③    2 22sin cos 2sin 1 sinx x x xf x    32sin 2sinx x  ， 令 sint x ，  1,1t   ，则   32 2y t t t  ，令 2' 2 6 0y t   ，得 3 3t   ，且  1 0y   ， 3 4 3 3 9y       为最大值，错误；④当 ,6 6x       时， 1 1 3 3sin , ,2 2 3 3x            ，所以  f x 在 ,6 6      上为增 函数，正确.故选 D. 12. D 【解析】   1 ( 1)(1 )1' axa xf xx ax x      ， 1x  时，  ' 0f x  ；0 1x  时，  ' 0f x  ， ∴  f x 在  0,1 上递增，在 1, 上递减，    max 31 12f x f a   ，即  f x 的值域为 3, 12 a     . 令  f x t ，则     3 12y f f x f t t a           ，∵  f t 在  0,1 上递增，在  1, 上递减，要使  y f t 的值域为 3, 12 a     ，则 3 1 12 a   ， 4 3a  ，∴ a 的取值范围是 4 ,3    ，故选 D. 二、填空题 13. -8 14. 360 15. 36 16. 2 13. -8 【解析】由已知得，  2 3,4 2a b k     ，  2 4,8a b k    ，由于 2a b  与 2a b  共线， 所以 3(8 ) 4 (4 2 )k k     ，得 8k   .故答案为-8. 14. 360 【解析】依题意可知，样本中  1,2 公里的人数所占的比例为 45 15 0.1300   ，故全体学生中居住地 到学校的距离在 1,2 公里的人数为3600 0.1 360  人. 15. 36 【解析】由题意得，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， 2cos 2PEF  ，故高 1PO 为 2.易知正 四棱锥 P ABCD 的外接球的球心在它的高 1PO 上，记球心为 O ，则 1 2 2AO  ， PO AO R  ， 1 2PO  ， 1 2OO R  或 1 2OO R  （ 此 时 O 在 1PO 的 延 长 线 上 ）， 在 直 角 1AO O△ 中 ， 2 2 2 2 2 1 1 (2 2) (2 )R AO OO R     ，解得 3R  ，所以球的体积为 3 34 4 3 363 3V R      . 16. 2 【解析】设 CAB MBD DMB       ，在 AMB△ 中， 90 2MBA    ， 180BMA    ， 由正弦定理得：    sin 90 2 sin 180 AM AB     ，即 cos2 sin ABAM    ，在 ACD△ 中， 90ACD  ， 2CDA   ，由正切定义： tan 2AC  ，在 ACB△ 中， 90ACB   ， BAC   ，由余弦定义： tan 2 cos cos ACAB     ，∴ tan 2 cos2cos 2sinAM       . 三、解答题 17.【解析】（1）由题意，设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q ， 由 2 3 5 2 2 4 2 3 3 5 11 2 1 b a a q d b a q d             ， 则 23 11 6 0q q   ，解得 2 3q  （舍去）或 3， 所以 3n nb  ； 代入方程组得 2d  ，因此 2 1na n  . 综上， 2 1na n  ， 3n nb  . （2）由题意，  1 2 2 n n n a aS n   ， 由 *n N  ， n nkb S 得 2 3n nk  ， 设 2 3n n nc  ， 2 2 2 1 1 1 ( 1) 2 2 1 3 3 3n n n n n n n n nc c          ， 当 1n  ， 2 1 0c c  ；当 2n  ， 1 0n nc c   ； 由数列 nc 的单调性可得，    2max 4 9nc c  ， 所以 4 ,9k     . 18.【解析】如图，设 AB 的中点为 D ，连接 CD ， 1A D ， 又设 2AB  ，则 1 1 12AD AA  . （1）在 ABC△ 中， AC BC ， AB 的中点为 D ，故 AB CD ， 在 1ABA△ 中， 1AB AA ， 1 60BAA   ，所以 1ABA△ 为等边三角形. 又 AB 的中点为 D ，所以 1AB DA ， 因为 AB CD ， 1AB DA ，且 1CD DA D ， 所以 AB  平面 1CDA ，∵ 1CA  平面 1CDA ， 所以 1AC BA ， 又 1 1/ /AB B A ，所以 1 1 1AC B A . （2）因为平面 ABC  平面 1 1ABB A ，平面 ABC  平面 1 1ABB A AB ，且 AB CD ， 故CD  平面 1 1AA B B ，如图，建立空间直角坐标系， 则  0,0,0D ，  1 0, 3,0A ，  0,0, 3C ，  1,0,0B  ，  1 2, 3,0B  ， 故  1 0, 3, 3CA   ，  1,0, 3CB    ，  1 2, 3, 3CB    ， 设平面 1ACB 的法向量  1 1 1 1, ,n x y z ，则有 1 1 1 1 3 3 0 3 0 y z x z       ， 令 1 1z  ，得  1 3,1,1n   ， 设直线 1CB 与平面 1A BC 所成角为 ，则 1 1 1 1 1 1 2 3 6sin cos , 55 10 CB n CB n CB n              ， 故直线 1CB 与平面 1A BC 所成角的正弦值为 6 5 . 19.【解析】（1）由题知： 4.4x  ， 2.2y  ，      1 2 1 5.3 0.2521.2 n i i i n i i x x y y b x x             ，  2.2 0.25 4.4 3.30a y bx      ， 故   1 0.25 3.30y x   . （2）①经计算，可得下表： 生猪存栏数量 x （千头） 2 3 4 5 8 一头猪每天平均成本 y （元） 3.2 2.4 2 1.9 1.5 模型甲 估计值  1 iy 2.80 2.55 2.30 2.05 1.30 残差  1 ie 0.40 -0.15 -0.30 -0.15 0.20 模型乙 估计值   2 iy 3.2 2.4 2 1.76 1.4 残差  2 ie 0 0 0 0.14 0.1 2 2 2 2 2 1 (0.40) ( 0.15) ( 0.30) ( 0.15) (0.20)Q         ， 2 2 2 (0.14) (0.1)Q   ， 因为 1 2Q Q ，故模型   2 4.8 0.8y x   的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到 1 万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为 4.8 0.8 1.2810   元， 这样一天获得的总利润为 7.5 1.28 10000 62200   （元）； 若生猪存栏数量达到 1.2 万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为 4.8 0.8 1.212   元， 这样一天获得的总利润为 7.2 1.2 12000 72000   （元）， 因为 72000 62200 ，所以选择生猪存栏数量 1.2 万头能获得更多利润. 20.【解析】（1）因为 2 3OP OA OB    ，即       0 0 0 02 ,0 3 0, 2 ,, 3x y xx y y   ， 所以 02x x ， 03y y ，所以 0 1 2x x ， 0 3 3y y ， 又因为 1AB  ，所以 2 2 0 0 1x y  ，即 221 3 12 3x y             ，即 2 2 14 3 x y  . 所以曲线C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  . （2）当直线l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx m  . 由方程组 2 2 14 3 y kx m x y     得 2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m     . ∵直线 l 与椭圆C 有且仅有一个公共点， ∴   2 2 2 1 (8 ) 4 4 3 4 12 0km k m      ，即 2 24 3m k  . 由方程组 2 2 7 y kx m x y      得 2 2 21 2 7 0k x kmx m     ， 则   2 2 2 2 (2 ) 4 1 7 0km k m      . 设  1 1 1,P x y ，  2 2 2,P x y ，则 1 2 2 2 1 kmx x k    ， 2 1 2 2 7 1 mx x k    ， 设直线 1OP ， 2OP 的斜率分别为 1k ， 2k ， 所以   1 21 2 1 2 1 2 1 2 kx m kx my yk k x x x x     2 2 1 2 1 2 1 2 k x x km x x m x x    2 2 2 2 22 2 2 2 2 7 2 71 1 7 7 1 m kmk km m m kk k m m k           ， 将 2 24 3m k  代入上式，得 2 1 2 2 3 3 3 4 4 4 kk k k     . 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为 2x   . 此时，圆 2 2 7x y  与l 的交点 1P ， 2P 也满足 1 2 3 4k k   . 综上，直线 1OP ， 2OP 的斜率之积为定值 3 4  . 21.【解析】（1）定义域为   0,1 1, ，   2 2 2 1 ( 2) 1 ( 1) ( 1)'f x a x a x x x x x       ， 设    2 2 1h x x a x    ，  22 4a    ， 当 4 0a   时，  22 4 0a     ，此时   0h x  ，从而  ' 0f x  恒成立， 故函数  f x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是增函数； 当 4a   时，函数    2 2 1h x x a x    图象开口向上，对称轴 2 02 ax   ，又  0 1 0h   ， 所以此时   0h x  ，从而  ' 0f x  恒成立， 故函数  f x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是增函数； 当 0a  时，  22 4 0a     ，设    2 2 1h x x a x    有两个不同的实根 1x ， 2x ， 其中 1 2 2 0x x a    ， 1 2 1x x  ，令 1 20 1x x   ， 则 2 1 ( 2) 4 2 a a ax    ， 2 2 ( 2) 4 2 a a ax    ， 令  ' 0f x  ，得 10 x x  或 2x x ；令  ' 0f x  ，得 1 1x x  或 21 x x  ， 故函数  f x 在  10, x 上是增函数，在 2,x  上是增函数，在  1,1x 上是减函数，在 21, x 上是减函数. 综上，当 0a  时，函数  f x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是增函数； 当 0a  时，函数  f x 在 2( 2) 40, 2 a a a       上是增函数，在 2( 2) 4 ,2 a a a        上是增函数， 在 2( 2) 4 ,12 a a a       上是减函数，在 2( 2) 41, 2 a a a       上是减函数. （2）要使  y f x 在 ,e  上有极值，由（1）知 0a  ，① 则    2 2 1h x x a x    有一变号零点在区间 ,e  上，不妨设 2x e ， 又因为 1 2 1x x  ，∴ 1 2 10 x e xe     ，又  0 1h  ， ∴只需 1 0h e      ，即  2 1 12 1 0ae e     ，∴ 1 2a e e    ，② 联立①②可得： 1 2a e e    . 从而 1ae  与 1ea  均为正数. 要比较 1ae  与 1ea  的大小，同取自然底数的对数， 即比较 1 lna e 与 1 lne a 的大小，再转化为比较 ln 1 e e  与 ln 1 a a  的大小. 构造函数    ln 11 xx xx    ，则   2 11 ln ' ( 1) xx xx     ， 再设   11 lnm x xx    ，则   2 1' xm x x  ，从而  m x 在 1, 上单调递减， 此时    1 0m x m  ，故  ' 0x  在 1, 上恒成立，则   ln 1 xx x    在 1, 上单调递减. 综上所述，当 1 2,a e ee       时， 1 1a ee a  ； 当 a e 时， 1 1a ee a  ； 当  ,a e  时， 1 1a ee a  . 22.【解析】（1）∵ 4y x   ，∴直线l 的普通方程为： 4 0x y   ， 直线l 的极坐标方程为 cos sin 4 0      . 曲线 1C 的普通方程为 2 2 2x y y  ，因为 cosx   ， siny   ， ∴ 1C 的参数方程为： 2sin  . （2）直线l 的极坐标方程为 cos sin 4 0      ，令  ，则 4 cos sinOA    .又 2sinOB  ， ∴  1 sin sin cos2 OB OA      21 1 1sin sin cos (1 cos2 sin 2 )2 2 4          2 1sin 24 4 4       ， ∵ 0 2   ，∴ 324 4 4       ， ∴ 2 4 2     ，即 3 8   时， OB OA 取得最大值1 2 4  . 23.【解析】（1） 3a  ，   3 3 3 6f x x x     ， 当 3x   时， 3 3 3 6x x    ，解得 3 2x   ，∴ x ； 当 3 1x   时，3 3 3 6x x    ，解得 0x  ，∴  0,1x ； 当 1x  时，3 3 3 6x x    ，解得 3 2x  ，∴ 31, 2x     . 综上所述，不等式   6f x  的解集为 3| 0 2x x     . （2）不存在实数 x ，使得   1 6 2f x a x    ，等价于   1 6 2f x a x    恒成立， 即 3 9 3 1x a x a     恒成立. ∵    3 9 3 3 9 3x a x x a x       9a  ，∴ 9 1a a   ， 当 9a   时， 9 1a a    ，解得 a； 当 9a   时， 9 1a a   ，解得 4a   . ∴ 4a   时，不存在实数 x ，使得   1 6 2f x a x    .