专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题

‎【考向解读】 ‎ 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．‎ ‎【命题热点突破一】函数零点的存在性定理 ‎1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ 例1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于 A.－ B. C. D.1‎ ‎【答案】C. ‎ ‎【变式探究】(1)已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．2 D．4‎ ‎(2)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】（1）B　（2）（－∞，0）∪（1，＋∞）　‎ ‎【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】当x∈（－∞，－a）时，函数f（x）单调递减，当x∈（－a，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以x＝－a为f（x）的最小值点，所以当a≥0时，M（a）＝f（1）＝|1＋a|＝1＋a，当a<0时，M（a）＝f（－1）＝|－1＋a|＝－（－1＋a）＝1－a，所以M（x）＝在同一坐标系中画出y＝M（x）和y＝|x2－1|的图像，如图所示，可知两个函数图像有3个不同的公共点，所以函数g（x）有3个零点.‎ ‎【探究提高】在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.‎ ‎【命题热点突破二】与函数有关的新定义问题 例2、已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)‎ A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]‎ D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]‎ ‎【答案】　B　‎ ‎【解析】不妨令f（x）＝x＋1，a＝2，则g（x）＝f（x）－f（2x）＝－x，故sgn[g（x）]＝sgn（－x），排除A；sgn[f（x）]＝sgn（x＋1）≠sgn[g（x）]，又sgn[g（x）]≠－sgn[f（x）]，所以排除C，D.故选B.‎ ‎【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．‎ ‎【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a，b]上存在x1，x2(a0，函数f（x）单调递增，在上，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，所以x＝是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝≈3.3时，函数f（x）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.‎ ‎【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．‎ ‎【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是关于车流密度x（单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20

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