2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南康中学高二下学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数满足，其中为虚数单位，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意知，故选A.‎ ‎【考点】复数的除法 ‎2．已知集合，，则集合的子集个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，因此，所以集合的子集个数是，故选B.‎ ‎【考点】1.集合的交集运算；2.集合子集的个数 ‎3．幂函数在为增函数，则的值为（ ）‎ A．1或3 B．1 C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，选B．‎ ‎【考点】幂函数定义及性质 ‎4．命题“对任意，都有”的否定是（ ）‎ A．存在，使得 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．对任意，都有 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意知命题“对任意，都有”的否定是“存在，使得”，故选C.‎ ‎【考点】全称命题的否定 ‎5．已知命题直线是曲线的对称轴；命题抛物线的准线方程为则下列命题是真命题的是（ ）‎ A． 且 B． 且 C． 且 D． 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现根据正弦函数的性质求出已知函数的对称轴，判断命题的真假，再根据抛物线的性质求出已知抛物线的标准方程，判断命题的真假，根据复合命题的真值表，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由正弦函数的性质可知，令，得，‎ 即，取时，，故命题是真命题，‎ 已知抛物线的标准方程为，可知，且焦点在轴上，‎ 所以其准线方程为，故命题是假命题，则为真命题，‎ 故且为假命题，且为真命题，且为假命题，或为假命题，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记三角函数的图象与性质以及抛物线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． 16 D． 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其中底面是对角线长为4的正方形，一条高为2且测棱垂直于底面，再根据锥体的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其中底面是对角线长为4的正方形，一条高为2且测棱垂直于底面，‎ 所以该几何体的体积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.‎ ‎7．执行如下图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是（ ）‎ A． 15 B． 105 C． 120 D． 720‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：第一次进行循环体后，，满足继续循环的条件，则，；当时，满足继续循环的条件，则，；当时，满足继续循环的条件，则，；当时，不满足继续循环的条件，故输出的的值是．故答案为B.‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图，属于高考中的高频考点，当循环的次数不多时，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，当循环次数较多时，应找到其规律，按规律求解．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的体积是（ ） ‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，平面，并且是半径，由四棱锥的体积公式求出球的半径，然后求出的体积，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，正四棱锥的底面的四个顶点在球的同一个大圆上，‎ 点在球面上，所以平面，，‎ 所以，解得，‎ 所以球的体积为，故选D.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了球的组合体的应用，对于一个求解一个外接球的体积时，关键是求出外接球的半径，常见的方法：（1）构造三角形解三角形求出半径；（2）找出几何体上到各个顶点距离相等的点，即球心，进而求出半径；（3）将结合体补成一个长方体，其对角线即为求的直径，进而求解球的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.‎ ‎9．已知实数满足条件，若目标函数的最大值为9，则的最小值为（ ）‎ A． B． 16 C． 4 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合确定目标函数的最优解，利用基本不等式求解最值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，‎ 由，得，‎ 因为，所以的斜率，‎ 平移直线，由图可知当直线过定点B时，得到目标函数的最大值，‎ 又由，解得，此时，即，‎ 则，‎ 当且仅当，即时取得等号，‎ 所以的最小值为，故选A.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎10．设函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A． 函数在上单调递增 B． 函数在上单调递减 C． 若，则函数的图像在点处的切线方程为 D． 若，则函数的图像与直线只有一个公共点 ‎【答案】C ‎【解析】函数f（x）=x3﹣12x+b，可得f′（x）=3x2﹣12，令3x2﹣12=0，可得x=﹣2，或x=2．函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，所以A、B都不正确；‎ b=﹣6，f′（﹣2）=0．f（﹣2）=10，则函数f（x）的图象在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y=10，C正确；‎ 若b=0，则函数f（x）的极大值为：16，图象与直线y=10只有一个公共点错误；‎ 故选：C．‎ 点睛：利用导数确定单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎11．已知数列、满足，则数列的前10项的和为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题可知，则数列即为数列奇数项，则数列仍为等比数列，其首项为公比为原数列公比的平方，则数列的前10项的和为 ‎【考点】等比数列的性质 ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现求出，设的夹角为，则，利用余弦定理，计算，得，进而得到，利用三角形的面积公式，即可求解答案.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的一条渐近线方程为，‎ 所以，所以，所以，‎ 设的夹角为，则，‎ 又由余弦定理得，所以，‎ 因为，所以，所以，所以，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中熟记双曲线的几何性质和合理应用正弦、余弦定理，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 二、填空题 ‎13．设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为为定义在上的奇函数，所以，‎ ‎【考点】奇函数 ‎14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0，进而求解函数的定义域，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，函数的定义域为，‎ 令，解得，‎ 又由，解得，‎ 所以函数的定义域是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数的定义域的求解问题，其中熟记函数定义域的定义，合理计算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到函数的周期为2，又由，得到，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数满足，即，即函数的周期为2，‎ 当时，，可得函数为单调递增函数，且，‎ 当时，，‎ 由，可得在上的图象，‎ 由图象可知当时，，当时，，即，‎ 当直线经过点时，此时两个函数有2个交点，此时，解得，‎ 直线经过点时，此时两个函数有4个交点，此时，解得，‎ 所以要使得函数有且仅有3个零点，则直线的斜率满足，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.‎ ‎16．已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点为其右焦点，若,设,且，则椭圆的离心率的取值范围为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用已知条件射出椭圆的左焦点，进一步跟进垂直的条件得到长方形，得到，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案.‎ ‎【详解】‎ 已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，‎ 设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，‎ 根据椭圆的定义，且，则，‎ 所以，‎ 又由离心率的公式得，‎ 由，则，‎ 所以 ，即椭圆的离心率的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据椭圆的几何性质，把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换的公式，化简，利用三角函数的图象与性质，即可得到函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）由（1），令，求得的值，再由正弦定理和余弦定理，即可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴‎ ‎ ‎ ‎⑵‎ 又 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质以及利用正弦、余弦定理解三角形问题，其中熟记三角函数的图象与性质，以及合理利用正弦、余弦定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎18．某工厂生产两种元件，其质量按测试指标划分为：为正品，为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎6‎ 由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得，且两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等．‎ ‎（1）求表格中与的值；‎ ‎（2）若从被检测的5件种元件中任取2件，求取出的2件都为正品的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题可知，将A,B的平均值以及方差表示出来，由两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，得出，即；（2）利用枚举法将10个基本事件全部列出，记“2件都为正品”为事件 ‎，通过观察知事件包含以下6个基本事件，故＝＝；‎ 试题解析：（1）因为，‎ 且，所以.① 2分 因为，‎ ‎，且，‎ 所以.② 4分 由①②解得, 因为，所以6分 ‎（2）记被检测的5件种元件分别为，其中为正品的是，从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：‎ ‎； 8分 记“2件都为正品”为事件，则事件包含以下6个基本事件： 10分 所以＝＝，即2件都为正品的概率为12分 ‎【考点】平均数以及方差的计算‚随机事件的概率 ‎19．如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.‎ ‎(1)求证：平面平面； ‎ ‎(2)三棱锥的体积 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由底面，得，进而得，证得平面，从而得到，再由三角形的性质得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面，从而得到；‎ ‎(Ⅱ)作，得 面，利用，求得，再由锥体的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵底面，且底面， ∴ ‎ 由，可得 ‎ 又∵ ，∴平面 ‎ 注意到平面， ∴ ‎ ‎∵,为中点，∴ ‎ ‎∵， 平面 ‎ ‎ 而平面，∴‎ ‎(2) ,作, 面ABC ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎20．已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程和离心率e的值；‎ ‎（2）已知过点H（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的方程求出点的坐标，代入椭圆的方程，即可求得的值，进而得到离心率的值；‎ ‎（2）设直线 的方程为，由抛物线的方程得，则，所以切线的斜率分别为，，有题设条件得，再由直线的方程和抛物线的方程联立，利用韦达定理，得，即可求得，得到直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵x2＝2py，∴，∴代入得 ‎∴代点A到得t＝4．‎ ‎∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率． ‎ ‎（2）依题意，直线l的斜率必存在，‎ 设直线l的方程为y＝k（x－2），M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 因为所以 所以切线l1，l2的斜率分别为，．‎ 当l1⊥l2时，，即x1x2＝－2．‎ 由得，‎ 所以，解得．‎ 又恒成立，‎ 所以存在直线l的方程是，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系，解答过程中注意认真审题，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线方程为，求的极值；‎ ‎（2）若，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），无极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算，得到关于的方程组，解出即可求得的表达式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值即可；‎ ‎ （2）求出的导数，通过讨论的取值范围，判断函数的单调性，从而确定的范围即可。‎ 试题解析：（1）依题意， ，‎ 又由切线方程可知， ，斜率，‎ 所以，解得，所以，‎ 所以，‎ 当时， 的变化如下：‎ ‎+‎ ‎－‎ 极大值 所以，无极小值.‎ ‎（2）依题意， ，所以，‎ ‎①当时， 在上恒成立，故无极值；‎ ‎②当时，令，得，则，且两根之积，‎ 不妨设，则，即求使的实数的取值范围.‎ 由方程组消去参数后，得，‎ 构造函数，则，所以在上单调递增，‎ 又，所以解得，即，解得.‎ 由①②可得， 的范围是.‎ 点睛：本题考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及曲线在某点处的切线方程的应用等知识点考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把函数的极值大于零，转化为导数的恒成立问题，进一步利用函数的性质，转化为导数的应用是解答的关键。‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）可直接将原式两边同时平方然后由，即可消参求解；（2）先求出直线的普通方程然后根据直线与圆的弦长公式求解即可.‎ 详解：‎ ‎（1）由已知，由，消 去得：普通方程为，化简得 ‎ ‎（2）由 sin(-)+=0知，‎ 化为普通方程为，‎ 所以圆心到直线的距离，由垂径定理 ‎ 点睛：考查参数方程，极坐标与普通方程的互化，对公式的熟悉是解题关键，对于第二问则是常规的直线与圆的弦长问题，直接利用即可，属于基础题.‎ ‎23．已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）去掉绝对值，求出x的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出a的值即可； （2）根据绝对值的性质求出f（x）+f（x+5）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．‎ 详解：‎ ‎（1）由，得，∴，‎ 又的解集为．解得：；‎ ‎（2）．‎ 又对一切实数x恒成立， ‎ 点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档题．‎