高考数学一轮复习练案30第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第四讲平面向量的综合应用含解析

高考数学一轮复习练案30第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第四讲平面向量的综合应用含解析

- 7 -‎ ‎ [练案30]第四讲　平面向量的综合应用 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　B　)‎ A．内心　 B．外心　‎ C．垂心　 D．重心 ‎[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.‎ ‎2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　D　)‎ A．圆　　 B．椭圆 C．双曲线　　 D．抛物线 ‎[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.‎ ‎3．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　A　)‎ A．－　 B．　‎ C．0　 D． ‎[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.‎ ‎4．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　B　)‎ A．1　 B．　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，‎ ‎∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．‎ ‎∴|a－b|＝＝.‎ ‎∴|a－b|最大值为.故选B.‎ ‎5．(2020·河北省深州中学期中)已知不共线向量，夹角为α，||＝1，||＝2，＝(1－t)，＝t，(0≤t≤1)，||在t＝t0处取最小值，当00)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是(　AD　)‎ A．周期为4的函数 B．周期为2π的函数 C．奇函数 D．偶函数 ‎[解析]　由题图可得A(，)，B(，－)，‎ 由·＝0得－3＝0，又ω>0，‎ 所以ω＝，所以f(x)＝sin x，‎ 所以f(x＋1)＝sin [(x＋1)]＝cos x，它是周期4的偶函数．故选A、D.‎ 三、填空题 ‎9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于__2__.‎ ‎[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.‎ ‎10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是　　.‎ ‎[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋‎4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎11．已知向量m＝(sin ，1)，n＝(cos ，cos2)．若m·n＝1，则cos (－x)＝　－　.‎ - 7 -‎ ‎[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin (＋)＋，‎ 因为m·n＝1，所以sin (＋)＝.‎ 因为cos (x＋)＝1－2sin2(＋)＝，‎ 所以cos (－x)＝－cos (x＋)＝－.故填－.‎ ‎12．(2020·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为__1__.‎ ‎[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.‎ 解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.‎ 解法三：设＝t，‎ 则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.‎ 四、解答题 ‎13．(2020·河南洛阳期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－2b，a)，n＝(cos A，cos C)，且m⊥n.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)由m⊥n，得m·n＝0，‎ 即(c－2b)cos A＋acos C＝0.‎ 由正弦定理，得(sin C－2sin B)cos A＋sin Acos C＝0，‎ 所以2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，‎ ‎2sin B·cos A＝sin (A＋C)，‎ - 7 -‎ ‎2sin B·cos A＝sin B.‎ 因为0

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