2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第7节 解三角形的综合应用

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第7节 解三角形的综合应用

www.ks5u.com 多维层次练27‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15° B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ 解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，‎ 所以∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ 所以α＝90°－45°－30°＝15°.‎ 所以点A在点B的北偏西15°.‎ 答案：B ‎2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．①②③‎ 解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．‎ 答案：D ‎3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．‎ 答案：A ‎4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．75°‎ 解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，‎ 又CD＝50 m，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝＝‎ ＝＝，‎ 又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案：B ‎5．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40 m．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为(　　)‎ A．210(＋) m B．140 m C．210 m D．20(－) m 解析：由题意，设AC＝x m，则BC＝(x－40) m，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，‎ 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420.‎ 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，‎ ‎∠CHA＝90°－30°＝60°，‎ 由正弦定理，＝，‎ 可得CH＝AC·＝140(m)．‎ 答案：B ‎6．在△ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，c，若·＝20，b＝7，则△ABC的内切圆的半径为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D．3‎ 解析：因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，‎ 又A＋B＋C＝π，所以B＝.‎ 因为·＝accos B＝20，所以ac＝40.‎ 所以S△ABC＝acsin B＝10.‎ 由余弦定理得cos B＝＝＝，‎ 所以a＋c＝13，设△ABC的内切圆的半径为r，‎ 则S△ABC＝(a＋b＋c)r＝10r，所以10＝10r，解得r＝.‎ 答案：A ‎7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两艘船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两艘船与炮台底部连线成30°角，则两艘船相距________m.‎ 解析：由题意画示意图，如图所示，‎ OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得 MN＝ ＝＝10 (m)．‎ 答案：10 ‎8．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船行驶的速度是每小时________海里．‎ 解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，‎ 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，‎ 在Rt△ABC中，得AB＝5，‎ 于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．‎ 答案：10‎ ‎9．(2020·福州模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．‎ 解析：因为sin∠BAC＝，且AD⊥AC，‎ 所以sin＝，‎ 所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理，‎ 得BD＝＝‎ ‎ ＝.‎ 答案： ‎10．如图所示，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取＝1.4，＝1.7)‎ 解：如图，作CD垂直于直线AB于点D，‎ 因为∠A＝15°，∠DBC＝45°，‎ 所以∠ACB＝30°，‎ 在△ABC中，由正弦定理得，‎ ＝，‎ AB＝50×420＝21 000.‎ 所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．‎ 因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin ∠DBC＝10 500×(－)×＝10 500×(－1)＝7 350.‎ 故山顶的海拔高度为h＝10 000－7 350＝2 650 m.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·广州模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为cos C＋cos A＝1，‎ 所以由余弦定理可得·＋·＝1，化简可得b2＝ac，‎ 则cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，取“＝”．‎ 所以≤cos B<1.‎ 答案：D ‎12．如图所示，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.‎ 解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．‎ 答案：15‎ ‎13.如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin ∠ABD的值；‎ ‎(2)若∠BCD＝，求CD的长．‎ 解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.‎ 又BD＝，∠DAB＝，‎ 在△ABD中，由余弦定理得 ‎()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，‎ 解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，‎ sin ∠ABD＝＝＝.‎ ‎(2)因为AB⊥BC，所以cos ∠DBC＝sin ∠ABD＝，‎ 所以sin ∠DBC＝，‎ 所以＝，‎ 所以CD＝＝＝.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14.如图所示，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.‎ 解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，‎ 则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.‎ 因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，所以△A1AC∽△CBB1，所以＝，‎ 所以AA1·BB1＝900，所以3 600tan αtan 2α＝900，‎ 所以tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.‎ 答案：　45‎