数学（理）卷·2018届内蒙古包头一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届内蒙古包头一中高二上学期期末考试（2017-01）

包头一中2016—2017学年度第一学期期末考试 ‎ 高二年级理科数学试题 ‎ 命题人： 段慧君 审题人：段慧君 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1．下列有关命题的说法正确的是（　　） A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.命题“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＞0”‎ ‎2．已知向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列向量中与向量=（2，3）垂直的是（　　） A.=（-2，3）  B.=（2，-3）  C.=（3，-2）  D.=（-3，-2）‎ ‎ ‎ ‎4．已知复数，其中是虚数单位．若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（　　）‎ A.0 B． C． D．‎ ‎5. 复数=（  ）‎ A. 1+2i    B.2﹣i     C. 2+i     D.1‎ ‎﹣2i ‎6．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝( )‎ A. B. C. D. ‎7. 由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为(  　)‎ A.     B．4       C.       D.6‎ ‎8. 用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（   ）‎ ‎ A.   B. C.且  D.或 ‎ ‎9.已知双曲线-=1（a＞b，b＞0）的离心率为，则椭圆+=1的离心率为（　　） A.  B. C.   D.‎ ‎10. 在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为( ) A.   B.  C.   D.‎ ‎11.已知函数，则（  ）‎ A．     B．     C．‎ ‎      D．‎ ‎12. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　 )‎ A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)‎ C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)‎ D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)‎ 二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知函数，则 f / (1)=__________.‎ ‎14. 抛物线y=4x2的准线方程是__________.‎ ‎15．函数y＝(1－sinx)2的导数是__________.‎ ‎16. 与双曲线共渐近线且过点的双曲线的标准方程是__________.‎ 三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分,共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）用数学归纳法证明：，n∈N．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，F是DD′的中点 （1）求证：CF∥平面A′DE （2）求二面角E-A′D-A的平面角的余弦值． ‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.‎ ‎(1)求证：平面PCD⊥平面PAC ；‎ ‎(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2 ，|PF1|=，|PF2|=． （Ⅰ）求椭圆C的方程 ； （Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程． ‎ ‎21.（本小题满分12分） 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.‎ ‎22.（本小题满分12分）设函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若关于的方程在区间内恰有两个不同的实根，求实数的取值范围.‎ 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)‎ ‎ CBCBA CADCB DB 二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 1 14. y=- 15. y＝sin2x－2cosx ‎16. ‎ 三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余各12分,共70分）‎ ‎17.解：证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．--（2分） （2）假设当n=k时，等式成立，即++…+=-----（4分） 那么，当n=k+1时，左边=++…++ =+=， 这就是说，当n=k+1时等式也成立．----------------------（8分） 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立．-----------------------（10分） ‎ ‎18.解：证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系， 则A'（2，0，2），E（1，2，0）， D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1）， 则， 设平面A'DE的法向量是， 则，取, ，∵，∴， 所以，CF∥平面A'DE．… ‎ ‎ 解：（2）由正方体的几何特征可得 是面AA'D的法向量 又由（1）中向量为平面A'DE的法向量 故二面角E-A'D-A的平面角θ满足； 即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为 ‎ ‎19. 解：如图，建立空间直角坐标系A－xyz.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°，‎ ‎∴∠PBA＝60°.‎ 取AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)．‎ ‎(1)∵＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－1,1,0)，‎ ‎∴·＝－1＋1＋0＝0，·＝0.‎ ‎∴AC⊥CD，AP⊥CD，‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.‎ ‎(2)∵＝，∴E(0，，)，∴＝(0，，)．又＝(1,0，－)，∴·＝－2.‎ ‎∴cos〈·〉＝＝＝－.‎ ‎∴异面直线AE与PB所成角的余弦值为.‎ ‎20.解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3． 在Rt△PF1F2中，|F1F2|=，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2-c2=4，‎ ‎ 所以椭圆C的方程为=1． （Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．若直线l斜率不存在，显然不合题意． 从而可设过点（-2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1， 代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0． 因为A，B关于点M对称，所以，解得k=， 所以直线l的方程为，即8x-9y+25=0． 经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意．                    ‎ ‎21.（Ⅰ） 当时，.‎ 所以. 依题意可得,，‎ 即解得 ‎（Ⅱ）当时，.‎ 所以.‎ 令，解得，.‎ 当变化时，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ 递增 递减 递增 所以当时，；当时，.‎ 不妨设. 因为三点共线，所以.‎ 即，解得. 故所求值为.‎ ‎ ‎ ‎ 22.‎