高二数学上学期期末考试试题理(1)

高二数学上学期期末考试试题理(1)

‎××市一高2017—2018学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）试卷 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分(含选考题）．考试时间120分钟，满分150分．‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 注意事项：‎ １． 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．‎ ２． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干　　‎ 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎（1）抛物线的焦点到准线的距离是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）命题“若，则”的逆否命题为（ ）‎ ‎（A）若，则 （B）若，则 ‎ ‎（C）若，则 （D）若，则 ‎（3）已知集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知函数，则是“函数的最小正周期”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎（5）若的两个顶点坐标分别为、，的周长为，则顶点的轨迹方程为(　　)‎ - 9 -‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为(　　)‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石，报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲、乙、丙、丁中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下：‎ 甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯； 乙：丁是罪犯；‎ 丙：乙是盗窃犯，三天前，我看见他在黑市上卖一块钻石； 丁：乙同我有仇，有意诬陷我.‎ 因为口供不一致,无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是 ( ) ‎ ‎（A） 甲 （B） 乙 （C） 丙 （D）丁 ‎ ‎（8）若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知，则的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知从开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，，第三行为，，，第四行为，，，，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（11）双曲线＝1的离心率为，过双曲线上一点M作直线 - 9 -‎ 交双曲线于两点，且斜率分别为，若直线过原点O，则值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）定义在上的偶函数满足且当时，，若函数有三个零点，则正实数的取值范围为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 注意事项：本卷包括必考题和选考题两部分.第题至题为必考题，每个试题考生都必须作答.第题、第题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎（13）已知函数，则.‎ ‎（14）已知实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎（15）已知点在曲线:上，则曲线在处切线的倾斜角的取值范围是.‎ ‎（16）若对恒成立，则的最大值为.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（17）(本小题满分12分)‎ 已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线．‎ ‎（I）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．‎ - 9 -‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为.‎ ‎（I）求椭圆的离心率的值；‎ ‎（II）若为椭圆的过点且以点为中点的弦，求直线的方程.‎ （19） ‎（本小题满分12分）‎ 如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若,且.‎ ‎（Ⅰ）若，，证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. ‎ （20） ‎(本小题满分12分）‎ 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值． ‎ ‎（21） (本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，.‎ ‎（I）若，求的单调区间；‎ ‎（II）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.‎ 选做题（请考生在第、题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ - 9 -‎ ‎（22）（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 已知直线的参数方程为．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知函数, ‎ ‎（Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎ 一、选择题 ‎ 二．填空题 13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，‎ 所以，解得，即.………………5分 ‎（Ⅱ）若方程有两个不等式的正根，则，‎ - 9 -‎ 解得，即.………………7分 因或为真，所以、至少有一个为真．又且为假，所以、至少有一个为假．‎ 因此，、两命题应一真一假，当为真，为假时，，解得；……9分 当为假，为真时，，解得．…………………………………………11分 综上，或．………………………………………………………………………12分 ‎（18）解：（1）由条件知：，又知，‎ 椭圆，因此.…………………………………（4分）‎ ‎（2）椭圆，易知点在椭圆的内部，设，则 ‎，（1）（2）得：，‎ 易知的斜率存在，‎ ‎，所以直线.…………………………………（12分）(19)（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：……2分；又，则∥……4分；‎ 平面，平面，可得：∥平面……6分；‎ ‎（Ⅱ）侧面是梯形，，,,‎ 则为二面角的平面角， ……7分；‎ - 9 -‎ 均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,故点，……9分；‎ 设平面的法向量为，则有：……10分；‎ 设平面的法向量为，则有：……11分；‎ ‎，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为……12分；‎ ‎（20）解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为，则，故，‎ - 9 -‎ 所以，椭圆方程为．…………………………………（3分）‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为．‎ 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，‎ 由，消去得，…………………………………（5分）‎ 则，将式子中的换成，得：．…………………（7分）‎ ‎，（10分）‎ 设，则．故，取等条件为即，‎ 即，解得时，取得最大值．…………………………………（12分）‎ ‎（21）解：（Ⅰ）若，则，，‎ 由得；由得，‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． ……………（4分）‎ ‎（Ⅱ），所以当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 又，，所以在上的最大值为．‎ 由题意，若对任意的，都有成立，‎ - 9 -‎ 即对任意的，都有恒成立，即恒成立，‎ 即对任意的恒成立，所以．‎ 设，，则，，‎ 所以在上单调递减，则，‎ 所以在上单调递减，又，‎ 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ ‎∴在上的最大值为，∴，‎ 所以的取值范围是． ………………………………………………（12分）‎ ‎(22)解：（Ⅰ）由题意知：…………3分，‎ ‎；…………5分 ‎（Ⅱ）；…………6分，‎ 直线分圆所得的弧长之比为弦长为；…………8分，‎ ‎；…………9分，或；…………10分，‎ ‎(23)解：（Ⅰ）可化为 ‎，或，或；…………………………2分 ‎，或，或； 不等式的解集为；……………………5分 ‎（Ⅱ）易知；所以，又在恒成立；………7分 在恒成立；…………………………8分 在恒成立；…………………………9分 - 9 -‎ ‎………………………10分 - 9 -‎