2019学年高二数学下学期期末质量检测试题 理（含解析） 人教新目标版

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‎2019学年高二数学下学期期末质量检测试题 理（含解析）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）‎ A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ ‎∴用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时，‎ 要做的假设是：方程没有实根。‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 , ‎ 故选D.‎ ‎3. ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，‎ 本题选择B选项.‎ ‎4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】D - 16 -‎ ‎【解析】由正态分布的性质可知：，结合题意可得：，则.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ‎①熟记P(μ－σ0时，有两个根，排除C.‎ 所以图象A正确，‎ 本题选择A选项.‎ ‎11. 已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止.若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（ ）‎ A. 24 B. 72 C. 96 D. 360‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，需要分2种情况讨论：‎ ‎①、2件次品一件在前3次测试中找到,另一件在第四次找到,有种情况，‎ ‎②、前4次没有一次发现次品,即前4次都是正品,第四次测试后剩下2件就是次品,有种情况，‎ 则不同测试方法数72+24=96种；‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．‎ ‎12. 已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意总有，则下列大小关系一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，则，...........................‎ 由，得f′(x)−2017f(x)>0，‎ 故g′(x)>0,g(x)在R递增，‎ - 16 -‎ 故，即，‎ 即，‎ 本题选择A选项.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：曲线，的交点为，所求封闭图形面积为.‎ 考点：曲边梯形面积.‎ ‎14. 设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作了10000小时的这种机械，它能够连续正常工作到15000小时的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设“某种机械设备能够连续正常工作10000小时”为事件A，‎ ‎“某种机械设备能够连续正常工作15000小时”为事件B，‎ P(A)=0.85,P(AB)=0.75，‎ 现有一台连续工作10000小时的这种机械，‎ 它能够连续正常工作15000小时的概率：‎ ‎.‎ ‎15. 若 （），则 的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,令x=0,可得a0=1；‎ 再令,可得：‎ - 16 -‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎16. 如果对定义在区间上的函数，对区间内任意两个不相等的实数，，都有 ，则称函数为区间上的“函数”.给出下列函数及函数对应的区间 ‎①，（）；②，；‎ ‎③，；④，.以上函数为区间上的“函数”的序号是__________．（写出所有正确的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式恒成立，‎ ‎∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0恒成立，‎ 即函数f（x）是定义在R上的增函数，‎ ‎①,，函数递增，‎ ‎②，，函数递增，‎ ‎③，，‎ 显然函数在（-∞，-2）递增，在（-2，1）递减，‎ ‎④，‎ ‎，函数递减，‎ 故答案为：①②．‎ 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)‎ - 16 -‎ 在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知复数（）.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）取什么值时，是纯虚数.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数a的方程组，求解方程组可得;‎ ‎(2)z为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)，‎ 解得，‎ 所以.‎ ‎(2)，‎ 解得，‎ 所以.‎ ‎18. 已知函数（）.‎ ‎（Ⅰ）当时，求在上的值域；‎ ‎（Ⅱ）若函数有三个不同的零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 值域为；(2) 当且仅当时，有三个不同零点．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先对函数求导，然后结合函数的单调性求得函数的最值可得函数在上的值域是;‎ ‎(2)首先利用导函数的性质可得原函数在上单调递减，在，‎ - 16 -‎ 上单调递增，据此得到关于实数b的不等式组，求解不等式可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)当时，，.‎ 当时，，故函数在上单调递减；‎ 当时，，故函数在上单调递增.‎ 由，.‎ ‎∴在上的值域为；‎ ‎(2)由(1)可知，，‎ 由得，由得或.‎ 所以在上单调递减，在，上单调递增；‎ 所以，，‎ 所以当且，即时，，，，使得，‎ 由的单调性知，当且仅当时，有三个不同零点.‎ ‎19. 在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量关于的回归方程模型，其对应的数值如下表：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3.00‎ ‎2.48‎ ‎2.08‎ ‎1.86‎ ‎1.48‎ ‎1.10‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明与之间存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立关于的回归方程并预测当时，对应的值为多少（精确到0.01）.‎ 附参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，，相关系数公式为：‎ - 16 -‎ 参考数据：‎ ‎，，，.‎ ‎【答案】(1) 与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2) 与的线性回归方程是；代入回归方程得0.38．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得；，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2)结合所给数据可求得回归方程为,.据此预测当时，对应的值为.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意，计算，‎ ‎，‎ 且，，.‎ ‎；‎ ‎∵，说明与之间存在线性相关关系；‎ ‎(2).‎ ‎∴.‎ ‎∴与的线性回归方程为.‎ 将代入回归方程得.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎20. 近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为，后2天均为，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨.‎ - 16 -‎ ‎（Ⅰ）求至少有一天需要人工降雨的概率；‎ ‎（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数的分布列和期望.‎ ‎【答案】(1) 至少有1天需要人工降雨的概率是；(2) 3.1 ．‎ ‎【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是P1=()3·()2=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P1=1-=.‎ ‎(2)x的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(x=5)=P1=,‎ ‎4天不需要人工降雨的概率是:‎ P(x=4)=()3×+()3()2=‎ ‎=,‎ ‎3天不需要人工降雨的概率是:‎ P(x=3)=()3()2+()3()()+()3()2=,‎ ‎2天不需要人工降雨的概率是:‎ P(x=2)=()3()2+()3()×()+()3×()2=,‎ ‎1天不需要人工降雨的概率是:‎ P(x=1)=()3()2+()3()()=,‎ ‎0天不需要人工降雨的概率是:‎ P(x=0)=()3()2=,‎ 故不需要人工降雨的天数x的分布列是:‎ x ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 不需要人工降雨的天数x的期望是:‎ E(x)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1.‎ - 16 -‎ ‎【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法 ‎(1)定义法:已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解.‎ ‎(2)性质法:已知随机变量ξ的均值与方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的均值与方差,可直接利用均值、方差的性质求解.‎ ‎(3)公式法:如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布,二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间.‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎(2) 整数的最小值为2.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;‎ ‎(2)将原问题转化为在上恒成立，考查函数的性质可得整数的最小值是2.‎ 试题解析：‎ ‎(1)，函数的定义域为.‎ 当时，，则在上单调递增，‎ 当时，令，则或(舍负)，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴当时，的单调递增区间为，无减区间，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ - 16 -‎ ‎(2)解法一：由得，‎ ‎∵，‎ ‎∴原命题等价于在上恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 令，则在上单调递增，‎ 由，，‎ ‎∴存在唯一，使，.‎ ‎∴当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ 又，则，‎ 由，所以.‎ 故整数的最小值为2.‎ 解法二：得，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎①时，，在上单调递减，‎ ‎∵，∴该情况不成立.‎ ‎②时，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ - 16 -‎ ‎∴，‎ 恒成立，‎ 即.‎ 令，显然为单调递减函数.‎ 由，且，，‎ ‎∴当时，恒有成立，‎ 故整数的最小值为2.‎ 综合①②可得，整数的最小值为2.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直角坐标系下曲线与曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最大值，并求此时点的坐标.‎ ‎【答案】(1) 曲线在直角坐标系下的方程为：；曲线在直角坐标系下的方程为：.‎ ‎(2) 的最大值为，‎ 此时点的坐标为.‎ ‎.‎ ‎【解析】试题分析：‎ - 16 -‎ ‎(1)将极坐标、参数方程转化可得直角坐标系下曲线与曲线的方程分别为,;‎ ‎(2)利用点到直线距离公式结合三角函数的性质可得点到上点的距离的最大值是,此时点的坐标是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由曲线，可得，两式两边平方相加得：.‎ 即曲线在直角坐标系下的方程为.‎ 由曲线，即，所以，‎ 即曲线在直角坐标系下的方程为.‎ ‎(2)由(1)知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为，‎ ‎∴当即时，的最大值为.‎ 此时点的坐标为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 解集为或；(2) 的取值范围为．‎ ‎【解析】试题分析：零点分区间去绝对值，分段解不等式；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式，找到左侧最值，，直接去掉绝对值分情况解出即可；‎ ‎（Ⅰ）当时，，等价于：‎ ‎①，得；‎ ‎②，无解；‎ - 16 -‎ ‎③，得；‎ 综上，解集为或.‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎，‎ 则或，‎ 得，所以的取值范围为.‎ 点睛：主要是第二问中，首先恒成立求参转化为函数最值问题，‎ 用到了绝对值三角不等式求最值．‎ ‎ ‎ - 16 -‎