2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学文试题（解析版）

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）下学期开学考试数学文试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 焦点坐标是，选A.‎ ‎2. 命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据命题的否定易得：命题“，”的否定是，‎ ‎3. 下列命题中，不是真命题的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆命题.‎ B. “”是“且”的必要条件.‎ C. 命题“若，则”的否命题.‎ D. “”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【答案】A ‎【解析】命题“若，则”的逆命题为：若，则,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.‎ ‎4. 某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为、、，且，则第二车间生产的产品数为（ ）‎ A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1500‎ ‎【答案】C ‎【解析】由分层抽样可得第二车间应抽取的产品数为：‎ ‎5. 下列命题中，说法错误的是（ ）‎ A. “若，则”的否命题是“若，则”‎ B. “是真命题”是 “是真命题”的充分不必要条件 C. “，”的否定是“，”‎ D. “若，则是偶函数”的逆命题是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】选项A中，由否命题的定义知，结论正确．‎ 选项B中，由“是真命题”可得“是真命题”，反之不成立．故“是真命题”是“是真命题”的充分不必要条件．所以B正确．‎ 选项C中，“ ”的否定是“ ”，故C不正确．‎ 选项D中，所给命题的逆命题为“若是偶函数，则”为真命题．故D正确．‎ 选C．‎ ‎6. 设，，若是与的等比中项，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是与的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当且，即时等号成立．选D．‎ ‎7. 甲、乙两名运动员在某项测试中的次成绩的茎叶图如图所示.，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名与动员这项测试成绩的方差，则有（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由茎叶图，可得，，即，，‎ ‎，‎ 即.故选D.‎ ‎8. 设为等比数列的前项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 故答案选A。‎ ‎9. 在中，内角所对应的边分别为，且，若的面积，则面积的最小值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以, ‎ 因为，所以 ‎ 因为 ‎ 因此 面积的最小值为，选B.‎ 点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎10. 已知函数，则的极大值与极小值之和为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， ，时取极小值 ‎ 当时， ，时取极大值 因此极大值与极小值之和为2，选D.‎ ‎11. 已知函数，若 恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知 是奇函数；， 可得单调递减，‎ ‎ ， 则 令 ，设 ， 单调递减 即 ，综上所述，答选A .‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.‎ ‎12. 已知函数f（x）＝－ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是 A. a＞e B. x1＋x2＞2‎ C. x1x2＞1 D. 有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0‎ ‎【答案】C ‎【解析】, ‎ 所以当时， 至多一个零点，所以 ‎ 由，当时当时 因此有极小值点 要使有两个零点 ，需 ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ，‎ 则,, ‎ 由得 ，所以C错，选C.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13. 若，，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎ ‎14. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ；当时， ，故数列的通项公式为 ‎ ‎15. 若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式的解集为， ∴方程 的两个实数根为-1和2， 由根与系数的关系得： ， 故可化为： ， ‎ 解得 ‎16. 已知直线，是之间的一定点，并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，，与直线交于点，则面积的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 过A作的垂线,分别交于E,F,则AE=1,AF=2,设,则中, 中, ,可得的面积当且仅当时,sin2=1取到最大值1,此时三角形ABC面积有最小值2,故填2.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，70分。)‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，确定单调性，进而确定最小值取法，代入即得最小值；（2）先分离得，再利用导数研究函数上单调性，进而确定最小值，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，，‎ 在，‎ 所以当时，取最小值且为 ‎（2）问题等价于： 对恒成立，‎ 令，则，‎ 因为，所以，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，所以 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎18. 如图，由围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与围城的三角形的面积最大，并求得最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：设 ，，求出的导数，求出切线的斜率，令，求得，的坐标，再求出三角形的面积，再由导数求出最大值.‎ 试题解析：设 ，则 ，‎ ‎∵ ，，‎ 即 ∴。 ‎ 令，得 , ∴, ‎ 令，得, ∴ . ‎ ‎∴ , ‎ ‎, ‎ 令，则（舍去）或， 即当时， , ‎ ‎∴ ,∴ .‎ ‎19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，‎ ‎（1）求证：A1C1⊥BC1；‎ ‎（2）求证：AC1∥平面CDB1．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，转证平面，（2）要证AC1∥平面CDB1，转证//即可.‎ 试题解析：‎ 证明(法一:故有,A.法二: ;由直三棱柱;;平面;平面,平面, 平面,‎ ‎(连接相交于点O,连OD,易知//,平面 ,平面,故//平面.‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20. 如图,直线与圆 且与椭圆相交于两点.‎ ‎(1)若直线恰好经过椭圆的左顶点,求弦长 ‎(2)设直线的斜率分别为,判断是否为定值,并说明理由 ‎(3)求，面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）当时， ‎ 故可得 ，令，则 ，故当 有最小值，且 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意直线斜率存在，设直线 因为直线与圆相切，‎ 所以 解得 当时，由解得，所以 当时，同理 所以。‎ ‎（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，得；‎ ‎（ⅱ）当的斜率存在时，设直线 ‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以 整理得所以①，‎ 由消去y整理得，‎ 由直线与圆相交得 设 则 ，②‎ 所以③，‎ 将①②代入③式得 综上可得 ‎ ‎（3）由（2）知 法一：（ⅰ）当斜率不存在或为时，可得,‎ ‎（ⅱ）当的斜率存在且不为时，设直线，‎ 由，解得 ‎ 所以点A的坐标为 同理点B的坐标为 所以 ，‎ 令，‎ 所以，‎ 故当 有最小值，且 .‎ 综上可得面积的最小值为 。 ‎ 法二：记直线与圆的切点为 设 所以，‎ 则 所以当时，.‎ 点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎21. 已知关于的不等式 ．‎ ‎（1）若关于的不等式 的解集为或，求的值；‎ ‎（2）解关于的不等式 .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）ax2-3x+2=0的两根为x=1或x=b，且a＞0，根据根与系数的关系即可求出a，b的值；（2）原不等式化为（ax-3）（x+1）＞0，然后分类讨论，从二次项系数的正负，根的大小方面进行讨论求出不等式的解集 试题解析：‎ ‎(1)解：由题，方程的两根分别为，，‎ 于是 解得.‎ ‎（2）原不等式等价于，等价于 ‎①当时，原不等式的解集为；‎ ‎②当时，，，‎ 当时，原不等式的解集为或；‎ 当时，‎ ‎（i）若，即时，原不等式解集为 ‎（ii）若，即时，原不等式解集为 ‎（iii）当，即时，原不等式的解集为.‎ 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，求不等式的解集需要先进行因式分解，从二次项系数的正负，根的大小方面进行讨论即得解.‎ ‎22. 已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）关于项与的递推式，往往有两种解决方法，其一是转化为与的递推式，先求再求；其二是转化为与的递推式再求，其中是 转化桥梁，本题将已知条件转化为，得数列为以2为公比的等比数列，进而求数列的通项公式；（2）首先求得，通过分析其结构，利用裂项相消法求和得，带入中转化为恒成立问题求解．‎ 试题解析：（1）当时，，当时，‎ 即：，数列为以2为公比的等比数列 ‎（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝＝＝－，‎ Tn＝1－＋－＋ ＋－＝1－＝.‎ ‎∵≤k（n＋4），∴k≥＝．‎ ‎∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，‎ ‎∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为 考点：1、等比数列通项公式；2、裂项相消法求和；3、基本不等式.‎