【推荐】专题1-4 全称量词与存在量词-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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‎1.4 全称量词与存在量词 ‎1．全称量词和全称命题 ‎（1）短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．‎ ‎（2）含有____________的命题，叫做全称命题．‎ ‎（3）全称命题：“对M中任意一个x，有成立”，可用符号简记为____________．‎ ‎2．存在量词和特称命题 ‎（1）短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．‎ ‎（2）含有____________的命题，叫做特称命题．‎ ‎（3）特称命题：“存在M中的元素x0，有p（x0）成立”，可用符号简记为________________________．‎ ‎3．含有一个量词的命题的否定 ‎（1）全称命题，它的否定：________________；‎ ‎（2）特称命题，它的否定：________________．‎ ‎4．命题的否定与否命题 命题的否定只否定____________，否命题既否定___________，又否定___________．‎ K知识参考答案：‎ ‎1．（1）所有的　任意一个　∀　（2）全称量词 （3）‎ ‎2．（1）存在一个　至少有一个　∃ （2）存在量词 （3）∃x0∈M，p（x0）‎ ‎3．（1），；（2），‎ ‎4．结论　结论　条件 K—重点 掌握全称量词与存在量词的的意义以及掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法 K—难点 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断；明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题 K—易错 易混淆全称命题与特称命题 用量词表示命题 由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了．‎ 用全称量词或存在量词表示下列语句：‎ ‎（1）有理数都能写成分数形式；‎ ‎（2）整数中1最小；‎ ‎（3）方程有实数解；‎ ‎（4）有一个质数是偶数．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【名师点睛】（1）利用相关量词表示命题尤其是全称命题和特称命题，可以更准确地表述命题的含义，这就需要我们对量词及全称命题、特称命题有较好的把握，能够准确体会其意义，并且适当引入量词．‎ ‎（2）全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等．‎ 全称命题与特称命题的真假判断 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．‎ ‎（1）在平面直角坐标系中，任一有序实数对都对应一点；‎ ‎（2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；‎ ‎（3）对任意实数，若，则；‎ ‎（4）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．‎ ‎【答案】（1）全称命题，真命题；（2）特称命题，真命题；（3）全称命题，假命题；（4）特称命题，真命题．‎ ‎【解析】（1）（3）是全称命题，（2）（4）是特称命题．‎ ‎（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．‎ ‎（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．‎ ‎（3）存在，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．‎ ‎（4）存在一个函数，它既是偶函数又是奇函数，所该命题是真命题．‎ ‎【解题技巧】（1）判断命题是全称命题还是特称命题，关键是找出命题中含有的量词，隐含量词需依据命题的特征挖掘出来．‎ ‎（2）①要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．‎ ‎②要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．‎ 含有一个量词的命题的否定 确定所给命题是全称命题还是特称命题 ‎→针对量词和结论同时进行否定 →命题的否定 →‎判断真假 写出下列命题的否定，并判断其真假．‎ ‎（1）每一个素数都是奇数；‎ ‎（2）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；‎ ‎（3）有些实数的绝对值是正数；‎ ‎（4）某些平行四边形是菱形．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）由于全称量词“每一个……”的否定为“存在一个……”，因此，存在一个素数不是奇数，是真命题．‎ ‎（2）是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．‎ ‎（3）由于特称量词“有些……”的否定为“所有……”，因此，所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．‎ ‎（4）由于特称量词“某些……”的否定为“每一个……”，因此，每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．‎ ‎【名师点睛】（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．‎ ‎（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．‎ 利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 含有变量的语句为命题，即对变量有了限制条件，而它的真假要根据限制条件中变量的取值来确定．因此可将此类题目看成全称命题来解决，即不等式的解集内的任意一个的取值都使得为真命题．‎ 若命题是真命题，则实数a的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】是真命题，即不等式对恒成立，‎ 即恒成立．‎ 当a＋2＝0时，不符合题意．‎ 故有，即，解得．故选B．‎ 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵命题“”是假命题，‎ ‎∴命题“”是真命题，‎ 即对应的判别式，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 故答案为．‎ ‎【解题技巧】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：‎ ‎（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．‎ ‎（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．‎ 对含有一个量词的命题否定不完全 ‎ 已知命题：存在一个实数，使得，写出．‎ ‎【错解一】：存在一个实数，使得．‎ ‎【错解二】：对任意的实数x，都有．‎ ‎【错因分析】该命题是特称命题，其否定应是全称命题，但错解一得到的仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定．错解二只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．‎ ‎【正解】：对任意的实数x，都有．‎ ‎【名师点睛】对含有量词的命题进行否定时，（1）牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定;也不能只否定量 词，而忘记了对结论的否定．（2）牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此检验命题的否定是否正确．‎ ‎1．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．下列全称命题为真命题的是 A．所有的自然数都是正数 B．，‎ C．对每一个无理数，也是无理数 D．所有的平行向量都相等 ‎3．下列特称命题中真命题的个数是 ‎①；‎ ‎②至少有一个整数，它既不是的倍数，也不是的倍数；‎ ‎③，．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．命题“,”的否定为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是 A．所有被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数不能被5整除 ‎6．已知命题：“，”，若命题是真命题，则实数的取值范围为 A． B．或 C． D．‎ ‎7．命题“，如果，则”的否命题为 A．，如果，则 B．，如果，则 C．，如果，则 D．，如果，则 ‎8．下列命题为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．命题“对于任意正实数，都有”的否定是________________．‎ ‎10．命题“”是真命题，则实数的取值范围为________________．‎ ‎11．已知，若为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎12．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）在实数范围内，有些一元二次方程无解；‎ ‎（4）正数的对数都是正数．‎ ‎13．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎14．已知命题，，命题，，则 A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是假命题 D．命题是真命题 ‎15．已知三个命题如下：‎ ‎①所有的素数都是奇数；‎ ‎②；‎ ‎③有的无理数的平方还是无理数．‎ 这三个命题中既是全称命题又是真命题的个数是 A． B．‎ C． D．‎ ‎16．若命题，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎17．已知命题，使得，命题，则下列命题为真的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎18．给出下列三个命题：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③对，则．‎ 其中所有真命题的序号是________________．‎ ‎19．若命题“，使”的否定是假命题，则实数的取值范围是________________．‎ ‎20．用“”“”写出下列命题的否定，并判断真假．‎ ‎（1）二次函数的图象是抛物线；‎ ‎（2）直角坐标系中，直线是一次函数的图象；‎ ‎（3），方程恰有一解；‎ ‎（4），．‎ ‎21．设命题；命题．如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎22．（2015新课标全国I）设命题，则为 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎23．（2017山东）已知命题，；命题若，则，下列命题为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎24．（2016浙江）命题“，使得”的否定形式是 A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 ‎25．（2017山东文）已知命题p：;命题q：若，则．下列命题为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎26．（2013四川文）设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，，则 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎27．（2012福建）下列命题中，真命题是 A． ‎ B．，‎ C．的充要条件是 D．，是的充分条件 ‎28．（2015山东）若“”是真命题，则实数m的最小值为__________________．‎ ‎29．（2013湖南）设函数 ‎（1）记集合不能构成一个三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为__________________．‎ ‎（2）若是的三条边长，则下列结论正确的是__________________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎①，；‎ ‎②，使不能构成一个三角形的三条边长；‎ ‎③若为钝角三角形，则，使．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，所以量词和结论要一同否定，故选B．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】A选项，是自然数，但不是正数，A选项错误；‎ C选项，为无理数，但为有理数，C选项错误；‎ D选项，相等向量是平行向量，反之不成立，故选项D错误．‎ 故选B．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】显然①是假命题，②是真命题，如，；易知③是真命题，只需满足．故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】原命题的否定为“”，故选C．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，故C正确．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】若为真，则，即对恒成立，因为的最小值为，所以，故选A．‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】“，如果，则”的否命题是“，如果，则”．故选D．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】A中，当时命题成立，故为真命题；‎ B中，由知，，故为假命题；‎ C、D中，当时，命题不成立，故C、D为假命题．‎ 故选A．‎ ‎9．【答案】存在一个正实数，使得 ‎【解析】根据全称命题的否定可得“对于任意正实数，都有”的否定是“存在一个正实数，使得”．‎ ‎10．【答案】‎ ‎【解析】原命题是真命题，只需满足，，故实数的取值范围为．‎ ‎11．【答案】．‎ ‎【解析】由题意知，真或真，‎ 当真时，，当真时，，解得，‎ 因此，当为真命题时，或，即．‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎12．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．‎ ‎【解析】（1）假命题，否定为：．‎ ‎（2）真命题，否定为：．‎ ‎（3）真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．‎ ‎（4）假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．‎ ‎13．【答案】A ‎【解析】由题意知不等式对一切恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是，故选A．‎ ‎14．【答案】D ‎【解析】当时，，所以命题为真命题，‎ 当时，，所以命题是假命题，所以为真命题，‎ 即命题是真命题，故选D．‎ ‎15．【答案】B ‎【解析】对于命题①，其结论是错误的，如是素数但不是奇数；‎ 对于命题②，因为，所以，命题成立；‎ 对于命题③，因为该命题中含有“有的”，所以该命题属于特称命题，不是全称命题．‎ 故选B．‎ ‎16．【答案】A ‎【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，．故选A．‎ ‎17．【答案】C ‎【解析】命题中，当时成立，因此命题是真命题；命题中，‎ 恒成立，所以命题是真命题，所以是真命题．故选C．‎ ‎18．【答案】③‎ ‎【解析】，故①错；‎ 画出，图象可知②错；‎ 的最小值为原点到直线的距离的平方，为，所以③正确．‎ 综上可知，真命题的序号是③．‎ ‎19．【答案】‎ ‎【解析】由题意得“，使”是真命题，则函数有两个零点，所以，得或．故实数的取值范围是．‎ ‎20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．‎ ‎【解析】（1）：{二次函数}，的图象不是抛物线．假命题．‎ ‎（2）：在直角坐标系中，{直线}，不是一次函数的图象．真命题．‎ ‎（3）：，方程无解或至少有两解．真命题．‎ ‎（4）：，是假命题．‎ ‎21．【答案】．‎ ‎【解析】当命题为真时，，解得或，‎ 当命题为真时，恒成立，‎ ‎∴且，则．‎ 由题意得，命题和命题一真一假．‎ 当命题为真，命题为假时，得或；‎ 当命题为假，命题为真时，得．‎ ‎∴实数a的取值范围为．‎ ‎22．【答案】C ‎【解析】根据定义可知，为，故选C．‎ ‎23．【答案】B ‎【解析】由时，，知p是真命题．由，但可知q是假命题，则是真命题，故选B．‎ ‎【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断．‎ ‎24．【答案】D ‎【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．‎ ‎25．【答案】B ‎【解析】由时成立知p是真命题，由，可知q是假命题，所以是真命题，故选B．‎ ‎【名师点睛】判断一个命题为真命题，要给出推理与 证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎26．【答案】D ‎【解析】注意到“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”，将改为，将改为，于是有：，，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题考查命题的含义以及全称命题的否定，注意：“任意”的否定是“存在”，“属于”的否定是“不属于”．‎ ‎27．【答案】D ‎【解析】因为，，所以排除A；取，则，故排除B；‎ ‎，取，则不能推出，故排除C．故选D．‎ ‎28．【答案】1‎ ‎【解析】若“”是真命题，则，其中，‎ ‎∵函数，的最大值为1，∴，即的最小值为1．‎ ‎29．【答案】（1）；（2）①②③．‎ ‎【解析】（1）由题设知，，则，即．‎ 又从而，，∴，解得．‎ 故所求取值集合为．‎ ‎（2）由题设知即 ‎∴①正确；由（1）可知②正确；由为钝角三角形，知∴‎ 又，∴∴由零点存在性定理可知③正确．故填①②③．‎ ‎ ‎ ‎ ‎